Đã đăng: Đề thi môn Toán vào lớp 10 các tỉnh 2009-2013
20) Tiếp tục cập nhật.
19) Đề thi vào lớp 10 môn Toán chuyên Lê Quý Đôn Bình Định năm học 2013 - 2014. Download
18) Đề thi vào lớp 10 môn Toán chuyên Nguyễn Trãi Hải Dương năm học 2013 - 2014.
Bài 1: ($2$ điểm)
$1)$ Phân tích đa thức sau thành nhân tử
$a^2(b-2c)+b^2(c-a)+2c^2(a-b)+abc$.
$2)$ Cho $x,y$ thỏa
$x=\sqrt[3]{y-\sqrt{y^2+1}}+\sqrt[3]{y+\sqrt{y^2+1}}$.
Tính giá trị biểu thức sau
$A=x^4+x^3y+3x^2+xy-2y^2+1$.
Bài 2: ($2$ điểm)
$1)$ Giải phương trình:
$(x^2-4x+11)(x^4-8x^2+21)=35$.
$2)$ Giải hệ phương trình sau
$\left\{\begin{matrix} (x+\sqrt{x^2+2012})(y+\sqrt{y^2+2012})=2012\\ \\ x^2+z^2-4(y+z)+8=0 \end{matrix}\right.$
Bài 3: ($2$ điểm)
$1)$ Chứng minh rằng với mọi số nguyên $n$ thì $n^2+n+1$ không chia hết cho $9$
$2)$ Xét phương trình ẩn $x$: $x^2-m^2x+2m+2=0(1)$. Tìm $m$ nguyên dương để $(1)$ có nghiệm nguyên.
Bài 4: ($3$ điểm)
Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $AB< AC$ ngoại tiếp đường tròn tâm $O$. Gọi $D,E,F$ lần lượt là tiếp điểm của $(O)$ với các cạnh $AB,AC,BC$. $BO$ cắt $EF$ tại $I$. $M$ là điểm di chuyển trên đoạn $CE$.
$1)$ Tính số đo góc $BIF$.
$2)$ Gọi $H$ là giao điểm của $BM$ và $EF$. Chứng minh rằng nếu $AM=AB$ thì tứ giác $ABHI$ nội tiếp.
$3)$ Gọi $N$ là giao điểm của $BM$ với cung nhỏ $EF$ của đường tròn $(O), P$ và $Q$ lần lượt là hình chiếu của $N$ trên các đường thẳng $DE,DF$. Xác định vị trí của $M$ để độ dài đoạn $PQ$ lớn nhất.
Bài 5: ($1$ điểm)
Cho ba số a,b,c thỏa mãn $0\leq a\leq b\leq c\leq 1$.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
$$B=(a+b+c+3)(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1})$$.
17) Đề thi vào lớp 10 môn Toán thành phố Hà Nội năm học 2013 - 2014. Xem ở đây/
16) Đề thi tuyển sinh lớp 10 Trường Phổ thông Năng khiếu năm học 2013-2014 môn Toán (không chuyên). Toán chuyên xem số 1.
Bài 1: (2 điểm)
a/ Giải phương trình: $\sqrt{x+1}=x-2$
b/ Tìm chiều dài của một hình chữ nhật có chu vi là $a$ (mét), diện tích là $a$ (mét vuông) và đường chéo là $3\sqrt 5$ (mét)
Bài 2: (2 điểm)
Cho phương trình $\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {x^2 - 5x + m - 1} \right) = 0\quad \left( 1 \right)$
a/ Giải phương trình (1) khi $m=-1$
b/ Tìm $m$ để phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt $x_1,x_2,x_3$ thỏa
\[
x_1 + x_2 + x_3 + x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + x_1 .x_2 + x_2 .x_3 + x_3 .x_1 = 31
\]
Bài 3: (2 điểm)
a/ Với $0<b<a$, hãy rút gọn biểu thức\[
P = \left( {\frac{1}{{\sqrt {1 + a} - \sqrt {a - b} }} + \frac{{\sqrt {a + 2 + b} - \sqrt {a - b} }}{{b + 1}} - \frac{1}{{\sqrt {1 + a} + \sqrt {a - b} }}} \right)
\]\[:\left( {1 + \sqrt {\frac{{a + 2 + b}}{{a - b}}} } \right)\]
b/ Giải hệ phương trình$\left\{ \begin{array}{l} \left( {x - y} \right)^2 = \frac{1}{x} - \frac{1}{y} \\ x - y = xy - 2 \\ \end{array} \right.$
Bài 4: (1 điểm)
Có hai vòi nước $A,B$ cùng cung cấp nước cho một hồ cạn nước và vòi $C$ (đặt sát đáy hồ) lấy nước từ hồ cung cấp cho hệ thống tưới cây. Đúng $6$ giờ, hai vòi $A$ và $B$ được mở; đến $7$ giờ vòi $C$ được mở; đến $9$ giờ thì đóng vòi $B$ và $C$; đến $10$ giờ $45$ phút thì hồ đầy nước. Người ta thấy rằng nếu đóng vòi $B$ ngay từ đầu thì phải đến $13$ giờ hồ mới đầy. Biết lưu lượng vòi $B$ là trung bình cộng của lưu lượng vòi $A$ và vòi $C$, hỏi một mình vòi $C$ tháo cạn hồ nước đầy trong bao lâu?
Bài 5: (3 điểm)
Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp trong đường tròn đường kính $AC$, $AC=2a$. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $AD$.
a) Tính $BC$ và $CN$ theo $a$.
b) Gọi $H$ là trực tâm của tam giác $CMN$, $MH$ cắt $CN$ tại $E$, $MN$ cắt $AC$ tại $K$. Chứng minh năm điểm $B,M,K,E,C$ cùng thuộc đường tròn $(T)$.
Đường tròn $(T)$ cắt $BD$ tại $F (F \ne B)$, tính $DF$ theo $a$.
c) $KF$ cắt $ME$ tại $I$. Chứng minh $KM$ tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác $MIF$. Tính góc $IND$.
15) Đề thi vào lớp 10 môn Toán chuyên Đại học Vinh năm học 2013 - 2014 (vòng 2).
Câu 1 (1,5 điểm). Giả sử $n$ là số nguyên tố lớn hơn $2$. Chứng minh rằng $\frac{2013n^2+3}{8}$ là số nguyên dương.
Câu 2 (1,5 điểm). Rút gọn biểu thức
$A=\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{5}}$
Câu 3 (1,5 điểm). Giải hệ phương trình
$\left\{\begin{matrix} x^2+y^2+6xy=17\\ 6y^2-xy+x-5y-1=0 \end{matrix}\right.$
Câu 4 (1,5 điểm). Cho tam giác $ABC$ có $BC=a$, $CA=b$, $AB=c$ và $\widehat{A}\geq \widehat{B}\geq \widehat{C}$.
Chứng minh rằng $9ab\geq (a+b+c)^2$
Câu 5 (4,0 điểm). Cho tam giác $ABC$. Gọi $H$ làg chân đường cao kẻ từ $A$, biết rằng $H$ nằm trên đoạn thẳng $BC$ và không trùng với $B$ hoặc $C$. Đường thẳng $AB$ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $ACH$ tại $D$ phân biệt với $A$. Đường thẳng $AC$ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABH$ tại $E$ phân biệt với $A$.
a) Gọi $I$ và $J$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $AC$. Chứng minh rằng bốn điểm $I,J,D,E$ cùng nằm trên một đường tròn.
b) Chứng minh rằng $HA$ là tia phân giác của $\widehat{EHD}$.
c) Xác định mối liên hệ giữa $AB$, $AC$ và $AH$ để $DE$ tiếp xúc với cả hai đường tròn nói trên.
14) Đề thi vào lớp 10 môn Toán chuyên Đại học Vinh năm học 2013 - 2014 (vòng 1).
Câu 1 (2,0 điểm). Tìm hai số nguyên $a$ và $b$ sao cho
$\frac{1}{a-1966}+\frac{1}{b-2013}=1$.
Câu 2 (2,5 điểm). Cho phương trình $x^2-2mx+m(m+1)=0$ ($*$).
a) Tìm $m$ để phương trình ($*$) có hai nghiệm phân biệt.
b) Tìm $m$ để phương trình ($*$) có nghiệm bé là $x_1$, nghiệm lớn là $x_2$ thỏa mãn điều kiện $x_1+2x_2=0$.
Câu 3 (1,5 điểm). Giả sử $x$ và $y$ là các số dương có tổng bằng $1$. Đặt $S=xy+\frac{1}{xy}$.
a) Tìm giá trị nhỏ nhất của $S$.
b) Biểu thức $S$ có giá trị lớn nhất hay không? Vì sao?
Câu 4 (4,0 điểm). Cho tam giác $ABC$ có $AB=6$, $AC=8$, $BC=10$. Gọi $M$, $N$, $P$ tương ứng là chân đường cao, chân đường phân giác, chân đường trung tuyến kẻ từ đỉnh $A$.
a) Chứng minh rằng, điểm $N$ nằm giữa hai điểm $M$ và $P$.
b) Tính diện tích các tam giác $ABP$, $ABN$ và $ABM$.
13) Đề thi tuyển sinh lớp 10 tỉnh Phú Thọ năm học 2013-2014 (18/6/2013). Download.
12) Đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Lê Quý Đôn, Quảng Trị năm học 2013-2014
Câu 1( 2.5 điểm )
1. Cho biểu thức $P=\frac{3a+\sqrt{9a}-3}{a+\sqrt{a}-2}-\frac{\sqrt{a}-2}{\sqrt{a}-1}+\frac{1}{\sqrt{a}+2}-1$.
a ) Rút gọn $P$
b) Tìm a nguyên để biểu thức P nguyên.
2. Hãy tính $A=2x^3+2x^2+1$ với $x= \frac{1}{3}(\sqrt[3]{\frac{23+\sqrt{513}}{4}}+\sqrt[3]{\frac{23-\sqrt{513}}{4}}-1)$
Câu 2 (1.5 điểm)
Cho $a,b,c$ là 3 số thực khác 0 thoã mãn $a+b+2c=0$.
Chứng minh rằng phương trình $ax^2+bx+c=0$ có 2 nghiệm phân biệt và có ít nhất 1 nghiệm dương.
Câu 3 (1.5 điểm )
Giải phương trình $x^2-7x+2+2\sqrt{3x+1}=0$.
Câu 4 (1.5 điểm) Tìm nghiệm nguyên phương trình $$x^2-3y^2+2xy-2x-10y+4=0.$$
Câu 5
1. Cho
$(O;R)$ với dây cung $BC$ cố định $(BC<2R)$ và điểm $A$ trên cung lớn $BC$ sao cho tam giác $ABC$ nhọn . Gọi $H$ là trực tâm với $A',B',C'$ là các chân đường cao tương ứng.
a) CM $OA$ vuông góc $B'C'$.
b) CM $BA.BH = 2R.BA'$ . Từ đó suy ra tổng $BA . BH + CA . CH $ không đổi.
2. Cho tam giác $ABC$ nhọn $\widehat{A}=30^{\circ}$ . Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $A$ trên $BC$ và $M,N$ lần lượt là các điểm trên 2 cạnh $AB.AC$ . Tìm vị trí $M,N$ để tam giác $HMN$ có chu vi nhỏ nhất.
11) Đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Lương Thế Vinh (Đồng Nai) năm học 2013-2014
Câu 1: (1,5 điểm)
1) Giải phương trình $x^{4}-x^{3}-x-1=0$
2) Cho $x_{1},x_{2}$ là hai nghiệm của phương trình $x^{2}-x-1=0$
Tính giá trị biểu thức $(x_{1}-x_{2})(x_{1}^{3}-x_{2}^{3})$
Câu 2 : (1,5 điểm)
1) Cho $k$ là số thực lớn hơn $\frac{1}{2}$. Chứng minh:
$$\frac{1}{(2k-1)\sqrt{2k+1}+(2k+1)\sqrt{2k-1}}=\frac{1}{2}(\frac{1}{\sqrt{2k-1}}-\frac{1}{\sqrt{2k+1}})$$
2) Rút gọn :
$$F=\frac{1}{1\sqrt{3}+3\sqrt{1}}+\frac{1}{3\sqrt{5}+5\sqrt{3}}+...+\frac{1}{97\sqrt{99}+99\sqrt{97}}$$
Câu 3: (2 điểm)
Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} \frac{1}{x}+y=2 & & \\ x^{2}+\frac{2}{y}=3& & \end{matrix}\right.$
Câu 4: (1 điểm)
Cho $a,b,c,d$ là các số nguyên dương thỏa $a^{2}+b^{2}-ab=c^{2}+d^{2}-cd$
Chứng minh $(a+b)^{2}-(c+d)^{2}=3(ab-cd)$ và chứng minh $a+b+c+d$ là hợp số
Câu 5: (1 điểm)
Cho đa giác $GHMNPQRSTUVW$ (đa giác nếu không nói gì thêm thì hiểu là đa giác lồi)
1) Tính số đường chéo của đa giác đã cho có điểm chung với đoạn $GS$
2) Tính số 10-giác (đa giác có 10 đỉnh) biết các đỉnh thuộc tập hợp $ \{ G,H,M,N,P,Q,R,S,T,U,V,W \}$
Câu 6: (3 điểm)
Cho tam giác nhọn $ABC$. Tia phân giác góc $CAB$ cắt $BC$ tại $D$, phân giác góc $ABC$ cắt $AC$ tại $E$, phân giác góc $ADB$ cắt $BE$ tại $K$, phân giác góc $ADC$ cắt $BE$ tại $L$.
1) Chứng minh $AKDL$ là tứ giác nội tiếp và tâm $O$ của đường tròn này là trung điểm của đoạn $KL$
2) Gọi $I$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $ABC, J$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $AIC$. Chứng minh $B,I,J$ thẳng hàng.
10) Đề thi vào lớp 10 trung học THực Hành, ĐH Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh năm học 2013-2014.
Câu 1: Cho phương trình : \[{x^2} - \left( {2m - 3} \right)x + {m^2} - 2m + 2 = 0\] ( m là tham số )
1) Tìm m để phương trình có một nghiệm là -1. Tìm nghiệm còn lại.
2) Tìm m để phương trình có hai nghiệm $x_1 , x_2$ thỏa :$x_1^2 + x_2^2 + {x_1} + {x_2} = 2$.
Câu 2: Cho hàm số :\[y = - \frac{{{x^2}}}{2}\,\,(P)\,\text{và}\,\,y = mx - 4\,\,\,\,(D)\] với $m \ne 0$.
1) Khi $m = 1$ , hãy vẽ $(P)$ và $(D)$ cùng trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$. Tìm tọa độ giao điểm của $(D)$ và $(P)$ bằng phép tính.
2) Tìm m để $(P)$ , $(D)$ và $(D')$ :$y = x + \frac{1}{2}$ đồng quy.
Câu 3: Cho biểu thức :
$$P = \frac{{3x + 5\sqrt x - 11}}{{x + \sqrt x - 2}} - \frac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x - 1}} + \frac{2}{{\sqrt x + 2}} - 1$$ với $x \ge 0\,\,\text{và}\,x \ne 1$.
1) Rút gọn $P$.
2) Tìm $x$ để $P$ nhận giá trị nguyên.
Câu 4: Giải hệ phương trình : $\left\{ \begin{array}{l}
{x^2} + 4x + y = 0\\
{\left( {x + 2} \right)^4} + 5y = 16.
\end{array} \right.$
Câu 5: Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC ) có đường cao AH . Vẽ đường tròn (O) đường kính AB cắt AC tại N. Gọi E là điểm đối xứng của H qua AC , EN cắt AB tại M và cặt (O) tại điểm thứ hai D .
1) Chứng minh AD = AE.
2) Chứng minh HA là phân giác của góc MHN.
3) Chứng minh:
a/ 5 điểm A , E , C , M , H thuôc đường tròn (O1).
b/ 3 đường thẳng CM , BN , AH đồng quy.
4) DH cắt (O1) tại điểm thứ hai Q. Gọi I , K lần lụợt là trung điểm của DQ và BC . Chứng tỏ I thuộc đường tròn (AHK).
9) Đề thi vào lớp 10 chuyên Thoại Ngọc Hầu, An Giang năm học 2013-2014 (Toán chung, ngày 15/6/2013). Download.
8) Đề thi vào lớp 10 chuyên Hà Tĩnh, Hà Tĩnh năm học 2013-2014
Câu 1. Cho biểu thức $P=\left ( \frac{8}{\sqrt{x}-3}+\frac{2\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+3} \right )\left ( \frac{x\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+1}+\sqrt{x}-10 \right )$
a. Tìm điều kiện của $x$ để biểu thức $P$ có nghĩa và rút gọn $P$.
b. Tìm các giá trị của $x$ để $P=30$.
Câu 2. Cho phương trình $3x^2+2(m-1)x-(2m+1)=0$ ($m$ là tham số).
a. Giải phương trình khi $m=-1$.
b. Tìm tất cả các giá trị của $m$ để phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_1,x_2$ thỏa mãn $(x_1+1)(x_2+1)=x_1^2x_2+x_2^2x_1+2$.
Câu 3.
a. Giải phương trình $\sqrt{x-1}+\sqrt{4x+1}=4$.
b. Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} 4xy^2-2x^2y=x-2y\\ 2x^3-x-8y+3=0 \end{matrix}\right.$
Câu 4. Cho tam giác nhọn $ABC$ có $AB<AC$ và $AH$ vuông góc với $BC$ tại $H$. Gọi $D,E$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $H$ lên $AB,AC$. Đường thẳng $DE$ cắt tia $CB$ tại $S$.
a. Chứng minh rằng $ADHE$ và $BCED$ là các tứ giác nội tiếp được trong đường tròn.
b. Đường thẳng $SA$ cắt đường tròn đường kính $AH$ tại $M$ ($M$ khác$A$). Các đường thẳng $BM$ và $AC$ cắt nhau tại $F$. Chứng minh $FA.FC+SB.SC=SF^2$.
Câu 5. Cho $a,b,c$ là độ dài ba cạnh của tam giác. Chứng minh rằng $$\frac{b^2+c^2-a^2}{bc}+\frac{c^2+a^2-b^2}{ac}+\frac{a^2+b^2-c^2}{ab}>2$$
7) Đề thi vào lớp 10 chuyên toán Lê Hồng Phong Nam Định năm học 2013-2014. Download.
6) Đề thi vào lớp 10 chuyên tỉnh Quảng Nam năm 2013-2014. Download.
5) Đề thi vào lớp 10 môn Toán chuyên Đại học Khoa học Tự nhiên Hà Nội năm học 2013 - 2014 (vòng 2, ngày 9/6/2013)
Câu 1:
$1)$ Giải hệ phương trình:
$$\left\{\begin{matrix} x^3+y^3 = 1+y-x+xy\\ 7xy+y-x = 7 \end{matrix}\right.$$
$2)$ Giải phương trình:
$$x + 3 = \sqrt{1-x^2} + 3\sqrt{x+1} + \sqrt{1-x}.$$
Câu 2:
$1)$ Giải phương trình nghiệm nguyên ẩn $x,y$:
$$ 5x^2 + 8y^2 = 20412. $$
$2)$ Với $x,y$ là các số thực dương thỏa mãn $x+y \leq 1$, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$$ P = (\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y})\sqrt{1+x^2y^2}. $$
Câu 3:
Cho tam giác nhọn $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$ có trực tâm $H$. Gọi $P$ là điểm nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác $HBC$ sao cho $P$ khác $B$, $C$, $H$ và nằm trong tam giác $ABC$. $PB$ cắt $(O)$ tại $M$ khác $B$, $PC$ cắt $(O)$ tại $N$ khác $C$. $BM$ cắt $AC$ tại $E$, $CN$ cắt $AB$ tại $F$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $AME$ và đường tròn ngoại tiếp tam giác $ANF$ cắt nhau tại $Q$ khác $A$.
$1)$ Chứng minh $M,N,Q$ thẳng hàng.
$2)$ Giả dụ $AP$ là phân giác $\widehat{MAN}$. Chứng minh $PQ$ đi qua trung điểm của $BC$.
Câu 4:
Giả dụ dãy số thực có thứ tự $x_1 \leq x_2 \leq .... \leq x_{192}$ thỏa mãn điều kiện
$$\left\{\begin{matrix} x_1 + x_2 + x_3 + ... + x_n = 0\\ \begin{vmatrix} x_1 \end{vmatrix} +\begin{vmatrix} x_2 \end{vmatrix} + ... + \begin{vmatrix} x_{192} \end{vmatrix} = 2013 \end{matrix}\right.$$
Hãy chứng minh $$x_{192} - x_1 \geq \dfrac{2013}{96}.$$
4) Đề thi môn Toán vào lớp 10 chuyên Đại học Khoa học Tự nhiên Hà Nội năm học 2013 - 2014 (vòng 1, ngày 8/6/2013)
Câu 1:
$1)$ Giải phương trình
$$\sqrt{3x+1} + \sqrt{2-x} = 3.$$
$2)$ Giải hệ phương trình
$$\left\{\begin{matrix} x+\dfrac{1}{x}+ y + \dfrac{1}{y} = \dfrac{9}{2}\\ \dfrac{1}{4} + \dfrac{3}{2}(x + \dfrac{1}{y}) = xy + \dfrac{1}{xy}. \end{matrix}\right.$$
Câu 2:
$1)$ Giả dụ $a,b,c$ là các số thực khác $0$ thỏa mãn đẳng thức $(a+b)(b+c)(c+a) = 8abc$. Chứng minh rằng:
$$\dfrac{a}{b+c} + \dfrac{b}{c+a} + \dfrac{c}{a+b} = \dfrac{3}{4} + \dfrac{ab}{(a+b)(b+c)} + \dfrac{bc}{(b+c)(c+a)} + \dfrac{ca}{(c+a)(a+b)}.$$
$2)$ Hỏi có bao nhiêu số nguyên dương có 5 chữ số $\overline{abcde}$ sao cho $\overline{abc} - (10d+e)$ chia hết cho $101$?
Câu 3:
Cho $\triangle ABC$ nhọn nội tiếp $(O)$ với $AB < AC$. Đường phân giác của $\angle BAC$ cắt $(O)$ tại $D \neq A$. Gọi $M$ là trung điểm của $AD$ và $E$ là điểm đối xứng với $D$ qua $O$. Giả dụ $(ABM)$ cắt $AC$ tại $F$. Chứng minh rằng
$1) \triangle BDM \sim \triangle BCF$
$2) EF \perp AC.$
Câu 4: Giả sử $a,b,c,d$ là các số thực dương thỏa mãn $abc + bcd + cad + bad = 1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của: $$P = 4(a^3 + b^3 + c^3) + 9d^3.$$
3) Đề tuyển sinh vào lớp 10 THPT Chuyên ĐH Sư phạm Hà Nội năm học 2013 - 2014 (dành cho thí sinh chuyên Toán Tin)
Câu 1: (2,5 điểm)
1, Các số thực $a,b,c$ đồng thời thỏa mãn 2 đẳng thức :
i) $(a+b)(b+c)(c+a)=abc$.
ii) $(a^3+b^3)(b^3+c^3)(c^3+a^3)=a^3b^3c^3$.
Chứng minh rằng $abc=0$
2, Các số thực dương $a,b$ thỏa mãn $ab>2013a+2014b$. Chứng minh bất đẳng thức:
$$a+b>(\sqrt{2013}+\sqrt{2014})^2$$
Câu 2: (2 điểm)
Tìm tất cả các cặp số hữu tỉ $(a;b)$ thỏa mãn hệ phương trình:
$\left\{\begin{matrix} x^3-2y^3=x+4y\\ 6x^2-19xy+15y^2 = 1 \end{matrix}\right.$
Câu 3: (1 điểm)
Với mỗi số nguyên dương $n$, kí hiệu $S_n$ là tổng $n$ số nguyên tố đầu tiên. CHứng minh rằng tr0ng dãy số $S_1,S_2,...$ không tồn tại 2 số chính phương liên tiếp.
Câu 4: (2,5 điểm)
Tam giác $ABC$ không cân nội tiếp $(O)$, $BD$ là phân giác góc $ABC$. Đường thẳng $BD$ cắt $(O)$ tại điểm thứ 2 $E$. Đường tròn $(O_1)$ đường kính $DE$ cắt $(O)$ tại điểm thứ 2 $F$
1. Chứng minh đường thẳng đối xứng với đường thẳng $BF$ qua đường thẳng $BD$ đi qua trung điểm $AC$.
2. Biết tam giác $ABC$ vuông tại $B$. $\widehat{BAC}=60^{o}$ và bán kính $(O)$ bằng $R$, tính bán kính $(O_1)$ theo $R$.
Câu 5: (1 điểm)
Độ dài 3 cạnh tam giác $ABC$ là 3 số nguyên tố, chứng minh điện tích tam giác $ABC$ không phải là số nguyên.
Câu 6: (1 điểm)
$a_1, a_2, .. a_{11}$ là các số nguyên dương lớn hơn hay bằng 2, đôi một khác nhau và thỏa mãn $a_1 + a_2 + .. + a_{11} = 407$. Tồn tại hay không số nguyên dương $n$ sa0 cho tổng các số dư của các phép chia $n$ cho 22 số $a_1, a_2, ... a_{11} , 4a_1, ... 4a_{11}$ bằng $2012$.
2) Đề tuyển sinh vào lớp 10 THPT Chuyên ĐH Sư phạm Hà Nội năm học 2013 - 2014 (dành cho mọi thí sinh)
Câu 1: (2,5 điểm)
1. Cho biểu thức :
$$Q= \dfrac{\left(\dfrac{a-b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\right)^3 + 2a\sqrt{a}+b\sqrt{b}}{3a^3 + 3b\sqrt{ab}} + \dfrac{\sqrt{ab}-a}{a\sqrt{a}-b\sqrt{a}}.$$
Với $a,b>0, a\neq b$. Chứng minh giá trị của $Q$ không phụ thuộc vào $a,b$.
2. Các số thực $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c=0$, chứng minh đẳng thức:
$$(a^2+b^2+c^2)^2=2(a^4+b^4+c^4).$$
Câu 2: (2 điểm)
Cho Parabol (P) : $y=x^2$ và đường thẳng (d) : $y=-mx+\frac{1}{2m^2}$ (Tham số $m\neq 0$)
1. Chứng minh rằng với mỗi $m\neq 0$, (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt.
2. Gọi $A(x_1;y_1),B(x_2;y_2)$ là 2 giao điểm đó, tìm giá trị nhỏ nhất của $M=y_1^2+y_2^2$.
Câu 3: (1,5 điểm)
Giả sử $a,b,c$ là các số thực, $a\neq b$ sa0 ch0 2 phương trình $x^2+ax+1=0,x^2+bx+c=0$ có nghiệm chung và 2 phương trình $x^2+x+a=0,x^2+cx+b=0$ có nghiệm chung. Tính $a+b+c$.
Câu 4: (3 điểm)
Cho tam giác $ABC$ không cân, có 3 góc nhọn, nội tiếp đường tròn $(O)$. Các đường cao $AA_1,BB_1,CC_1$ cắt nhau ở $H$, $A_1C_1$ cắt $AC$ tại $D$. $X$ là giao điểm thứ 2 của $BD$ và $(O)$.
1. Chứng minh $DX.DB=DC_1.DA_1$.
2. Gọi $M$ là trung điểm $AC$, chứng minh $DH \perp BM$.
Câu 5: (1 điểm)
Các số thực $x,y,z$ thỏa mãn:
$$\left\{\begin{matrix} \sqrt{x+2011}+\sqrt{y+2012}+\sqrt{z+2013}=\sqrt{y+ 2011}+\sqrt{z+2012}+\sqrt{x+2013}\\ \sqrt{y+2011}+\sqrt{z+2012}+\sqrt{x+2013}=\sqrt{z+ 2011}+\sqrt{x+2012}+\sqrt{y+2013} \end{matrix}\right.$$
Chứng minh rằng $x=y=z$.
1) Đề tuyển sinh vào lớp 10 Chuyên Toán Phổ thông năng khiếu, ĐH Quốc Gia TP. HCM năm học 2013 - 2014
Câu 1:
Cho phương trình: $x^2-4mx+m^2-2m+1=0\quad (1)$ với $m$ là tham số.
a) Tìm $m$ để phương trình có hai nghiệm $x_1,x_2$ phân biệt. Chứng minh rằng khi đó hai nghiệm không thể trái dấu nhau.
b) Tìm $m$ sao cho $|\sqrt{x_1}-\sqrt{x_2}|=1$.
Câu 2:
Giải hệ phương trình: $$\begin{cases}3x^2+2y+1=2z(x+2)\\3y^2+2z+1=2x(y+2 )\\3z^2+2x+1=2y(z+2).\end{cases}$$
Câu 3:
Cho $x,y$ là hai số không âm thỏa mãn $x^3+y^3 \le x-y$.
a) Chứng minh rằng: $y\le x \le 1$.
b) Chứng minh rằng: $x^3+y^3 \le x^2+y^2 \le 1$.
Câu 4:
Cho $M=a^2+3a+1$ với $a$ là số nguyên dương.
a) Chứng minh rằng mọi ước của $M$ đều là số lẻ.
b) Tìm $a$ sao cho $M$ chia hết cho 5. Với những giá trị nào của $a$ thì $M$ là lũy thừa của 5.
Câu 5:
Cho $\Delta ABC$ có góc $A=60^o$. Đường tròn $(I)$ nội tiếp tam giác tiếp xúc với các cạnh $BC,CA,AB$ lần lượt tại $D,E,F$. Đường thẳng $ID$ cắt $EF$ tại $K$, đường thẳng qua $K$ song song $BC$ cắt $AB,AC$ lần lượt tại $M,N$.
a) Chứng minh rằng $IFMK$ và $IMAN$ là tứ giác nội tiếp.
b) Gọi $J$ là trung điểm $BC$. Chứng minh $A,K,J$ thẳng hàng.
c) Gọi $r$ là bán kính đường tròn $(I)$ và $S$ là diện tích tứ giác $IEAF$. Tính $S$ theo $r$ và chứng minh $S_{IMN}\ge \dfrac{S}{4}$.
Câu 6:
Trong một kì thi, 60 thí sinh phải giải 3 bài toán. Khi kết thúc kì thi, người ta nhận thấy rằng: với hai thí sinh bất kì luôn có ít nhất một bài toán mà cả hai thí sinh đó đều giải được. Chứng minh rằng:
a) Nếu có một bài toán mà mọi thí sinh đều không giải được thì phải có một bài toán khác mà mọi thí sinh đều giải được.
b) Có một bài toán mà có ít nhất 40 thí sinh giải được.
