Đề thi THPT Quốc gia môn Toán năm 2015, De thi thu THPT Quoc Gia nam 2015

You are here: Home »

Like VNMATH on FACEBOOK để ủng hộ VNMATH.

Giải đề thi THPT quốc gia 2015 bằng nhiều cách

Câu 10. Cho các số thực $ a,b,c $ thuộc đoạn $ [1;3] $ và thỏa mãn $ a+b+c=6 $. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \[ P=\dfrac{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+12abc+72}{ab+bc+ca}-\dfrac{1}{2}abc. \]

Cách 1.
Ta có $ a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2=(ab+bc+ca)^2-2abc(a+b+c)=(ab+bc+ca)^2-12abc $ và $ (a-1)(b-1)(c-1)\geqslant 0\Leftrightarrow abc+a+b+c-ab-bc-ca-1\geqslant0\Rightarrow abc\geqslant ab+bc+ca-5 $.
Do đó \[ P\leqslant \dfrac{(ab+bc+ca)^2+72}{ab+bc+ca}-\dfrac{1}{2}(ab+bc+ca-5). \]
Nếu đặt $ ab+bc+ca=t $ thì $ P\leqslant t+\dfrac{72}{t}-\dfrac{t}{2}+\dfrac{5}{2}=\dfrac{t}{2}+\dfrac{72}{t}+\dfrac{5}{2}$.
Mặt khác ta có \[(3-a)(3-b)(3-c)\geqslant 0 \Leftrightarrow 27+3(ab+bc+ca)\geqslant 9(a+b+c)+abc\geqslant 54+ab+bc+ca-5,\] suy ra $ ab+bc+ca\geqslant 11 $.
Kết hợp với $ (a+b+c)^2\geqslant 3(ab+bc+ca)\Rightarrow ab+bc+ca\leqslant 12 $ để có $11\leqslant t\leqslant 12 $.
Hàm số $ f(t)=\dfrac{t}{2}+\dfrac{72}{t}+\dfrac{5}{2} $ có $ f'(t)=\dfrac{1}{2}-\dfrac{72}{t^2}=\dfrac{(t-12)(t+12)}{2t^2}\leqslant 0 $ với mọi $ t\in [11;12] $ nên hàm $ f(t) $ nghịch biến trên $[11;12] $, dẫn đến $ P=f(t)\leqslant f(11)=\dfrac{160}{11} $.
Vậy GTLN của $ P $ bằng $\dfrac{160}{11}$ đạt tại $ a=1, b=2, c=3 $ và các hoán vị của nó.

Cách 2.
Đặt $p=a+b+c=6, q=ab+bc+ca, r=abc$ và $f(x)=x^3-6x2+qx-r$.
Ta có $ a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2=(ab+bc+ca)^2-2abc(a+b+c)=(ab+bc+ca)^2-12abc $ và $f'(x)=3x^2-12x+q$.
Khi đó $$P=q+\frac{72}{q}-\frac{r}{2}$$ và $a, b, c$ là nghiệm của phương trình $f(x)=0$.
Vì $a, b, c\in [1,3]$ nên $f(1)\leq 0, f(3)\geq 0, \Delta_{f'}\geq 0$.
Suy ra $r\geq q-5, r\leq 3q-27, 11\leq q\leq 12$.
Từ đó $$P\leq q+\frac{72}{q}-\frac{q-5}{2}=\frac{q}{2}+\frac{72}{q}+\frac{5}{2}.$$
$P$ lớn nhất khi $r=q-5$.
Vậy GTLN của $ P $ bằng $\dfrac{160}{11}$ đạt tại $ a=1, b=2, c=3 $ và các hoán vị của nó.

Câu 9. Giải phương trình $ \dfrac{x^2+2x-8}{x^2-2x+3}=(x+1)(\sqrt{x+2}-2) $ trên tập số thực.

Cách 1.

Cách 2. Đặt $t=\sqrt{x+2}$.
Khi đó phương trình đã cho có dạng $-t^7+2 t^6+7 t^5-13 t^4-17 t^3+32 t^2+11 t-30=0$
hay $(t-2) (t^2-t-3) (t^4+t^3-3 t^2-t+5) =0$.

Về VNMATH.COM

VNMATH hoạt động từ năm 2008 với slogan Trao đổi để học hỏi, Sẻ chia để vươn lên. Hiện nay VNMATH.COM là trang web Toán học có lượt truy cập lớn nhất Việt Nam.

Chia sẻ bài viết này


Bài viết liên quan

Không có nhận xét nào :

Để lại Nhận xét