Đề thi THPT Quốc gia môn Toán năm 2015, De thi thu THPT Quoc Gia nam 2015

You are here: Home »

Like VNMATH on FACEBOOK để ủng hộ VNMATH.

Đề thi Olympic Toán quốc tế năm 2015 (IMO 2015)

VNMATH.COM 11 tháng 7, 2015 , 0

Kì thi Olympic Toán quốc tế 2015 diễn ra tại Chiang Mai, Thái Lan từ 4 đến 16 tháng 7 năm 2015. Sau đây là đề thi IMO 2015.

Ngày thi thứ nhất 10/7/2015

Bài 1.
Một tập hợp hữu hạn $S$ các điểm nằm trên mặt phẳng là cân bằng nếu như với hai điểm $A,B$ phân biệt thuộc $S$, luôn tồn tại một điểm $C$ thuộc $S$ mà $AC=BC.$ Ta gọi tập hợp $S$ là không tâm nếu như với mọi bộ ba điểm $A,B$ và $C$ thuộc $S,$ không tồn tại điểm $P$ thuộc $S$ sao cho $PA=PB=PC.$
a) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n\ge 3$, tồn tại một tập hợp cân bằng có $n$ điểm.
b) Tìm tất cả các số tự nhiên $n\ge 3$ sao cho tồn tại một tập vừa cân bằng, vừa không tâm và có $n$ điểm.

Bài 2.
Xác định tất cả bộ ba $(a,b,c)$ các số nguyên dương sao cho các số

$ab-c,\text{ }bc-a,\text{ }ca-b$
đều là các lũy thừa của $2$,

Bài 3.
Cho tam giác $ABC$ nhọn với $AB>AC.$ Gọi $\Gamma $ là đường tròn ngoại tiếp tam giác, $H$ là trực tâm của tam giác và $F$ là chân đường cao kẻ từ đỉnh $A.$ Gọi $M$ là trung điểm của $BC$. Gọi $Q$ là điểm nằm trên $\Gamma $sao cho $\angle HQA=90^\circ $và gọi $K$ là điểm nằm trên $\Gamma $sao cho $\angle HKQ=90^\circ $. Giả sử các điểm $A,B,C,K$và $Q$ đều phân biệt và nằm trên $\Gamma $ theo thứ tự đó. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp hai tam giác $KQH$ và $FKM$ tiếp xúc nhau.

Ngày thi thứ hai 11/7/2015


Về VNMATH.COM

VNMATH hoạt động từ năm 2008 với slogan Trao đổi để học hỏi, Sẻ chia để vươn lên. Hiện nay VNMATH.COM là trang web Toán học có lượt truy cập lớn nhất Việt Nam.

Chia sẻ bài viết này


Bài viết liên quan

Không có nhận xét nào :

Để lại Nhận xét