Đề thi Olympic Toán sinh viên năm 2015 Đại học Bách Khoa Hà Nội.

Môn Giải tích

Câu 1. Tìm giới hạn $$\lim\limits_{x\to \infty} x^{\frac{7}{4}}\left ( \sqrt[4]{1+x}+\sqrt[4]{1-x}-2\sqrt[4]{x} \right ).$$

Câu 2. Tính tích phân $$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{dx}{1+\left ( \tan x \right )^{\sqrt{2}}}.$$

Câu 3. Tìm tât cả các hàm số $f(x)$ thỏa mãn $$f(x)+f\left ( \frac{1}{1-x} \right )=x.$$

Câu 4. Cho các hàm số $f_1, f_2, ..., f_n,...$ thỏa mãn $$\left\{\begin{matrix}f_1(x)=2x^2-1\\f_{n+1}=f_1\left ( f_n(x) \right ), \, \forall n\geq 1 \end{matrix}\right.$$ Giải phương trình $f_n(x)=0$.

Câu 5. Cho hàm số $f(x)$ xác định và khả vi hai lần trên $(0, \infty)$, thỏa mãn các điều kiện sau $$\left\{\begin{matrix} f'(x)>0\\f\left ( f'(x) \right )=-f(x)\end{matrix}\right., \, \forall x>0.$$ Tìm $f(x)$.

Câu 6. Cho hàm số liên tục trên $[0;1]$ thỏa mãn $\int\limits_{0}^{1}f(x)x^ndx=0,\, \forall n\in \mathbb{N}$. Chứng minh rằng $f(1)=0$.

Môn Đại số
Câu 1. Cho ma trận vuông $A$ cấp 2015. Chứng minh tồn tại hai ma trận $B, C$ thỏa mãn $A=B+C$ và $\det BC\neq 0$.