Đề thi THPT Quốc gia môn Toán năm 2015, De thi thu THPT Quoc Gia nam 2015

You are here: Home »

Like VNMATH on FACEBOOK để ủng hộ VNMATH.

Đề thi Olympic Toán sinh viên Kinh tế quốc dân Hà Nội 2015

VNMATH.COM 23 tháng 1, 2015 0

Đề thi Olympic Toán sinh viên Kinh tế quốc dân Hà Nội 2015.
Môn Giải tích
Bài 1:
Cho dãy $\{x_n\}$ được xác định như sau
$$x_1>0, \;\;\;, x_{n+1}=\dfrac{x_n^3+4x_n}{x_n^2+1},\; n \ge 1$$

Chứng minh rằng $\lim_{n \to +\infty} \dfrac{x_n}{n^2}=0$

Bài 2:
Cho hàm số $f(x)$ thỏa mãn các điều kiện: $f(x)>0$, đơn điệu tăng và $f^{''}(x)<0 \;, \forall x>0$. Chứng minh tồn tại số $M$ sao cho
$$f(x)<Me^\frac{x}{2014} ,\; \forall x>0$$

Bài 3:
Cho $f:[0;1] \to [0;+\infty)$ khả vi và hàm đạo hàm cấp một đơn điệu giảm và $f(0)=0,\; f^{'}(1)>0$, chứng minh
$$\int_{0}^1 \dfrac{dx}{f^2(x)+1} \le \dfrac{f(1)}{f^{'}(1)}$$
Khi nào đẳng thức xảy ra?

Bài 4:
Cho $f,g: \mathbb{R} \to [0;+\infty)$ là các hàm số liên tục thỏa mãn
$$\left| f(x)-x \right| \le g(x)-g(f(x)) \;, \forall x \in \mathbb{R}$$
Chứng minh rằng phương trình $f(x)=x$ có nghiệm.

Bài 5:
Chứng minh nếu $f(x)$ là hàm số liên tục và $f(x) \neq x\;, \forall x \in \mathbb{R}$ thì $f(f(x)) \neq x ,\; \forall x \in \mathbb{R}$

Bài 6:
Tìm hàm số $f(x)$ đơn điệu tăng trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn:

  • $f(-x)=-f(x), \; \forall x \in \mathbb{R}$

  • $f(x+1)=f(x)+1 ,\; \forall x \in \mathbb{R}$

  • $f(\frac{1}{x})=\dfrac{f(x)}{x^2},\; \forall x \neq 0$


Môn Đại số

Bài 1:
Cho các số thực $a_1,...,a_n,x_1,...,x_n , \; n \ge 2$, tính định thức cấp $n$ sau:

$$D=\begin{vmatrix}a_1& a_2& a_3& \cdots& a_{n-1}&a_n\\-x_1 &x_2 &0 &\cdots &0 &0  \\0 &-x_2 &x_3 &\cdots &0 &0  \\\cdots \cdots&\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots  \\0 &0 & 0& \cdots& -x_{n-1}& x_n\end{vmatrix}$$

Bài 2:
Cho $A,B$ là các ma trận thực cấp $n$ khác nhau thỏa mãn $A^3=B^3,\; A^2B=B^2A$. Chứng minh $A^2+B^2$ suy biến.

Bài 3:
Cho $A,B$ là các ma trận vuông khả nghịch, chứng minh nếu $A+B$ khả nghịch thì $A^{-1}+B^{-1}$ cũng khả nghịch.

Bài 4:
Cho $A$ là ma trận thức cấp $4\times 2$ và $B$ là ma trận thực cấp $2 \times 4$ sao cho
$$AB=\begin{pmatrix}1&0&-1&0 \\0&1&0&-1 \\-1&0&1&0 \\0&-1&0&1 \end{pmatrix}$$

Tìm $BA$

Bài 5:

Xác định ma trận $A$ biết rằng ma trận phụ hợp của nó là
$$A^{*}=\begin{pmatrix} m^2-1&1-m&1-m\\1-m&m^2-1&1-m \\1-m&1-m&m^2-1 \end{pmatrix}\;, m \neq 1, m\neq -2$$

Bài 6:

Cho hệ phương trình

$$\begin{cases} a_{11}x_1+a_{12}x_2+a_{13}x_3=0\\a_{21}x_1+a_{22}x_2+a_{23}x_3=0 \\ a_{31}x_1+a_{32}x_2+a_{33}x_3=0\end{cases}$$

Với các hệ số $a_{ij}$ thỏa mãn
  • $a_{11},a_{22},a_{33}$ là các số thực dương
  • Tất cả các hệ số khác âm
  • Trong mỗi phương trình, tổng các hệ số là số thực dương
Chứng minh hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $x_1=x_2=x_3=0$

Về VNMATH.COM

VNMATH hoạt động từ năm 2008 với slogan Trao đổi để học hỏi, Sẻ chia để vươn lên. Hiện nay VNMATH.COM là trang web Toán học có lượt truy cập lớn nhất Việt Nam.

Chia sẻ bài viết này


Bài viết liên quan

Không có nhận xét nào :

Để lại Nhận xét