Đề thi THPT Quốc gia môn Toán năm 2015, De thi thu THPT Quoc Gia nam 2015

You are here: Home »

Like VNMATH on FACEBOOK để ủng hộ VNMATH.

Đề thi Olympic Toán sinh viên Đại học sư phạm Hà Nội năm 2015

VNMATH.COM 27 tháng 1, 2015 , 0

Đề thi Olympic Toán sinh viên Đại học sư phạm Hà Nội năm 2015.

Đề thi môn Đại số

Bài 1:
Cho $A,B$ là hai ma trận vuông thực cấp $n \in \mathbb{N}^*$. Giả sử tồn tại $n+1$ số thực phân biệt $t_1,...,t_{n+1}$ sao cho $C_i=A+t_iB,\;i=1,...,n+1$ là lũy linh. Hãy chứng minh rằng $A,B$ là các ma trận lũy linh.

Bài 2:
Cho $a_0$ và $d$ là các số thực.Với $j=0,...,n$, đặt $a_j=a_0+jd$. Cho
$$A=\begin{pmatrix}a_0 &a_1 &a_2 &\cdots &a_n \\a_1 &a_0 &a_2 &\cdots & a_{n-1}\\ a_2 &a_1 &a_0 &\cdots &a_{n-2} \\ \vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\a_n &a_{n-1} &a_{n-2} &\cdots &a_0 \end{pmatrix}.$$

Hãy tính định thức của $A$ theo $a_0,d,n$.

Bài 3:
Cho $A$ là ma trận thực vuông cấp $n \in \mathbb{N}^*$ thỏa mãn $A^3=A+I_n$ với $I_n$ là ma trận đơn vị cấp $n$. Chứng minh rằng $\det A>0$.

Bài 4:
Tìm tất cả ma trận thực vuông $A$ cấp $2$ sao cho $A^2=I_2$ với $I_2$ là ma trận đơn vị cấp 2.

Bài 5:

Cho bất phương trình
$$\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x-2}+\frac{1}{x-3}+\frac{1}{x-4}>2015.$$

Hãy tìm tổng độ dài các khoảng nghiệm trên trục số.

Bài 6:
Cho $P(x)$ là đa thức bậc $n\in \mathbb{N}^*$ với các hệ số thực và chỉ có nghiệm thực. Chứng minh rằng

$$(n-1)\left(P^{'}(x) \right)^2 \ge nP(x)P^{''}(x).$$


Đề thi môn Giải tích

Bài 1:
Cho hai số thực dương $a$ và $a_1$. Định nghĩa dãy $(a_n)_{n \ge 1}$ bới
$$a_{n+1}=a_n(2-aa_n) ,\; \forall n \in \mathbb{N}^*.$$

Xét sự hội tụ và tìm giới hạn (nếu có) của $(a_n)_{n}$.

Bài 2:
Cho $f:[0;1] \to \mathbb{R}$ là hàm thỏa mãn $f(0)<0,\; f(1)>0$ . Giả sử tồn tại hàm liên tục $g$ trên $[0;1]$ sao cho hàm $f+g$ giảm trên $[0;1]$. Chứng minh rằng phương trình $f(x)=0$ có nghiệm trong $(0;1)$.

Bài 3:
Tìm tất cả các hàm liên tục $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ thỏa mãn
$$f(xf(y))=yf(x), \;\; \forall x,y \in \mathbb{R}.$$

Bài 4:
Giả sử $f:[a;b] \to \mathbb{R}\;,\; b-a\ge 4$ là hảm khả vi trên $(a;b)$. Chứng minh tồn tại $x_0\in (a;b)$ sao cho
$$f^{'}(x_0)<1+f^2(x_0).$$

Bài 5:
Giả sử $f:[-1;1] \to \mathbb{R}$ là hàm khả vi đến cấp 3 và biết rằng $f(-1)=f(0)=f^{'}(0)=0,f(1)=1$. Chứng minh rằng tồn tại $c \in (-1;1)$ sao cho $f^{'''}( c ) \ge 3. $

Bài 6:
Giả sử $R=\{ f\in C^2[0;1]:\; f(0)=f(1)=0, f^{'}(0)=a \}$.

Tìm $\min\limits_{f \in R} \int_0^1 \left( f^{''}(x) \right)^2 dx. $

Về VNMATH.COM

VNMATH hoạt động từ năm 2008 với slogan Trao đổi để học hỏi, Sẻ chia để vươn lên. Hiện nay VNMATH.COM là trang web Toán học có lượt truy cập lớn nhất Việt Nam.

Chia sẻ bài viết này


Bài viết liên quan

Không có nhận xét nào :

Để lại Nhận xét