Đề thi THPT Quốc gia môn Toán năm 2015, De thi thu THPT Quoc Gia nam 2015

You are here: Home »

Like VNMATH on FACEBOOK để ủng hộ VNMATH.

Đề thi học sinh giỏi quốc gia môn Toán năm 2015 (VMO 2015)

VNMATH.COM 8 tháng 1, 2015 , 0

VNMATH giới thiệu Đề thi học sinh giỏi quốc gia môn Toán năm 2015 (VMO 2015). Kì thi diễn ra trong hia ngày 8 và 9 tháng 1 năm 2015.

Đề thi học sinh giỏi quốc gia môn Toán năm 2015
Ngày thi thứ nhất.
Câu 1. Cho $a$ là một số thục không âm và $(u_n)$ là dãy số xác định bởi $$u_1=3,\, u_{n+1}=\frac{1}{2}u_n+\frac{n^2}{4n^2+a}\sqrt{u_n^2+3}\text{ với mọi } n\geq 1.$$

a) Với $a=0$, chứng minh dãy số có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.
b) Với mọi $a\in[0,1]$, chứng minh dãy số có giới hạn hữu hạn.

Câu 2. Cho $a, b, c$ là các số thực không âm. Chứng minh rằng $$3(a^2+b^2+c^2)\geq(a+b+c)(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca})+(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\geq(a+b+c)^2.$$

Câu 3. Cho số nguyên dương $K$. Tìm số tự nhiên $n$ không vượt quá $10^K$ thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:
i) $n$ chia hết cho 3
ii) các chữ số trong biểu diễn thập phân của $n$ thuộc tập hợp $\{2, 0, 1, 5\}$.

Câu 4. Cho dường tròn $(O)$ và hai điểm $B, C$ cố định trên $(O)$, $BC$ không là đường kính. Một điểm $A$ thay đổi trên $(O)$ sao cho tam giác $ABC$ nhọn. Gọi $E, F$ lần lượt là chân đường cao kẻ từ $B, C$ của tam giác $ABC$. Cho $(I)$ là đường tròn thay đổi đi qua $E, F$ và có tâm là $I$.

a) Giả sử $(I)$ tiếp xúc với $BC$ tại điểm $D$. Chứng ming rằng $\dfrac{DB}{BC}=\sqrt{\dfrac{\cot B}{\cot C}}.$
b) Giả sử $(I)$ cắt cạnh $BC$ tại hai điểm $M, N$. Gọi $H$ là trực tâm tam giác $ABC$ và $P, Q$ là các giao điểm của $(I)$ với đường tròn ngoại tiếp tam giác $HBC$. Đường tròn $(K)$ đi qua $P, Q$ và tiếp xúc với $(O)$ tại điểm $T$ ($T$ cùng phía $A$ đối với $PQ$). Chứng minh rằng đường phân giác trong của góc $\widehat{MTN}$ đi qua một điểm cố định.

Ngày thi thứ hai. Ngày 9/1/2015.
Đề thi học sinh giỏi quốc gia môn Toán năm 2015

\vskip .5truecm \noindent{\bf Câu 5.} Cho $(f_n(x))$ là dãy đa thức xác định bởi $$f_0(x)=2, f_1(x)=3x, f_{n}(x)=3xf_{n-1}(x)+(1-x-2x^2)f_{n-2}(x)\text{ với mọi }n\geq 2.$$
Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ để $f_n(x)$ chia hết cho đa thức $x^3-x^2+x.$
\vskip .5truecm \noindent{\bf Câu 6.} Với $a, n$ nguyên dương, xét phương trình $a^2x+6ay+36z=n$, trong đó $x, y,z$ là các số tự nhiên.\begin{itemize}
\item [a)] Tìm tất cả các giá trị $a$ để với mọi $n\geq 250$, phương trình đã cho luôn có nghiệm $(x,y,z)$.
\item [b)] Biết rằng $a>1$ và nguyên tố cùng nhau với $6$. Tìm giá trị lớn nhất của $n$ theo $a$ để phương trình đã cho không có nghiệm $(x, y,z)$.
\end{itemize}

\vskip .5truecm \noindent{\bf Câu 7.} Có $m$ học sinh nữ và $n$ học sinh nam $(m, n\geq 2)$ tham gia một Liên hoan Song ca. Tại Liên hoan Song ca, mỗi buổi biểu diễn một chương trình văn nghệ. Mỗi chương trình văn nghệ bao gồm một số bài song ca nam-nữ mà trong đó mỗi đôi nam-nữ chỉ hát với nhau không quá một bài và mỗi học sinh đều được hát ít nhất một bài. Hai chương trình được coi là khác nhau nếu có một cặp nam-nữ hát với nhau ở chương trình này nhưng không hát với nhau ở chương trình kia. Liên hoan Song ca chỉ kết thúc khi tất cả các chương trình khác nhau có thể có đều được biểu diễn, mỗi chương trình được biểu diễn đúng một lần.\begin{itemize}
\item [a)] Một chương trình được gọi là lệ thuộc vào học sinh $X$ nếu như hủy tất cả các bài song ca mà $X$ tham gia thì có ít nhất một học sinh không hát được bài nào trong chương trình đó. Chứng minh rằng trong tất cả các chương trình lệ thuộc vào $X$ thì số chương trình có số lẻ bài hát bằng số chương trình có số chẵn bài hát.
\item [b)] Chứng minh rằng Ban tổ chức Liên hoan có thể sắp xếp các buổi biểu diễn sao cho số các bài hát tại hai buổi biểu diễn liên tiếp bất kỳ không cùng tính chẵn lẻ.
\end{itemize}

Về VNMATH.COM

VNMATH hoạt động từ năm 2008 với slogan Trao đổi để học hỏi, Sẻ chia để vươn lên. Hiện nay VNMATH.COM là trang web Toán học có lượt truy cập lớn nhất Việt Nam.

Chia sẻ bài viết này


Bài viết liên quan

Không có nhận xét nào :

Để lại Nhận xét