Đề thi THPT Quốc gia môn Toán năm 2015, De thi thu THPT Quoc Gia nam 2015

You are here: Home »

Like VNMATH on FACEBOOK để ủng hộ VNMATH.

Cách nhìn hình học về số ảo (i^2=-1)

VNMATH.COM 4 tháng 12, 2014 , 0


Có lẽ phần lớn chúng ta khi lần đầu tiên gặp phải số ảo i đều cảm thấy con số này kỳ quặc quá. Ai đời lại có con số mà bình phương lên lại ra số âm -1! Đó cũng là lý do mà trong khoảng thời gian đầu tiên số i được giới thiệu với cộng đồng toán học, nó đã từng bị coi là con số ngu ngốc (idiot) hoặc chỉ là sản phẩm của tưởng tượng (imaginary). Tuy nhiên càng ngày số phức càng tỏ ra hữu ích và dần dần trở thành không thể thiếu trong toán học cũng như trong vật lý và các tính toán ứng dụng (nhất là từ sau các công trình của 2 nhà toán học vĩ đại Euler và Gauss). Vậy thì có cách nhìn nào về con số i giúp chúng ta dễ hiểu hơn đẳng thức “kỳ quặc”: $i^{2}=-1$.

Vâng, Hamilton và một số nhà toán học khác đã khám phá ra cách nhìn như vậy. Khi đã hiểu được cách nhìn ấy ta không những thấy đẳng thức trên trở nên khá tự nhiên mà còn thấy được sự tự nhiên của một số công thức khác, ví dụ như công thức De Moivre
$$\left ( \cos \left ( \varphi  \right )+i\sin \left (\varphi   \right ) \right )^{n}=\cos n\varphi +i\sin n\varphi $$
Chúng ta hãy cùng tìm hiểu cách nhìn ấy.

Ý nghĩa hình học của số phức:





Trước hết ta hãy nhìn số thực khác đi một chút như sau. Nhớ lại rằng khi ta nhân một số thực r với một vector v thì chính là ta thực hiện 1 phép co/giãn vector ấy (tùy theo |r| lớn hay nhỏ hơn 1) nhưng ta vẫn giữ nguyên phương của vector. Như vậy 1 số thực có thể coi như 1 phép biến hình co giãn (scaling; vì vậy
số thực trong tiếng Anh còn có tên gọi khác là scalar) và tập các số thực là tập các phép co/giãn. Tuy nhiên các phép biến đổi này không thay đổi phương của vector vì vậy chúng không bao gồm phép quay. Nói cách khác nếu chỉ dùng các số thực thì không thể biểu diễn phép quay. Vậy thì liệu có loại số nào cho phép ta
biểu diễn các phép quay? Hamilton đã chỉ cho ta thấy chúng chính là số phức!


Thật vậy, sau khi xem xét kỹ phép nhân các số phức, ông đã khám phá ra điều thú vị sau đây: nhân 1 vector với 1 số phức z tương đương với việc quay vector đó 1 góc nào đấy (tương ứng với số phức z, bạn sẽ rõ ngay góc này là gì trong phần tiếp theo).


Số (hay chính xác hơn là phép nhân với ibiểu diễn phép quay góc $+90^{\circ}$. Khi đó đẳng thức $i^{2}=-1$ có thể được hiểu như sau. Vế trái $i^{2}$, nhân với hai lần liên tiếp, chính là quay 1 vector liên tiếp 2 lần, mỗi lần bởi góc $+90^{\circ}$, tổng cộng là quay góc $180^{\circ}$. Thế thì cũng như nhân vector đó với -1. Nên  $i^{2}=-1$.

Tổng quát hơn, Hamilton đã phát hiện ra là số phức $z=cos\varphi +i\sin \varphi $ (chính xác là phép nhân với z) biểu diễn phép quay góc $\varphi$. (Đến đây bạn hãy thử lý giải xem tại sao trường hợp của số ảo i là 1 trường hợp riêng của nhận xét tổng quát này nhé). Hơn nữa tích hai số phức $z_{1}=cos\varphi _{1} +i\sin\varphi_{1}$ và $z_{2}=cos\varphi _{2} +i\sin\varphi_{2}$ chính là tích hợp nối (composition) của 2 phép quay với các góc $\varphi _{1}$  và  $\varphi _{2}$. Nói cách khác khi ta nhân 1 vector với tích $z_{1}z_{2}$ thì cũng giống như ta quay vector đó 1 góc $\varphi _{1}$ rồi quay tiếp kết quả 1 góc $\varphi _{2}$. Bạn đã nhận ra điều gì chưa, phân tích này vừa cho chúng ta một chứng minh hình học của đẳng thức: 
 $$\left ( cos\varphi _{1} +i\sin\varphi_{1} \right ).\left ( cos\varphi _{2} +i\sin\varphi_{2} \right )=cos\left ( \varphi _{1}+\varphi _{2} \right ) +i\sin\left ( \varphi_{1}+\varphi _{2} \right )$$


(nếu bạn chưa nhận ra thì hãy thử suy nghĩ thêm một chút, không khó đâu bạn ạ. Bạn nào chưa thấy chứng minh công thức này bằng biến đổi lượng giác thì cũng có thể thử tự chứng minh hoặc tìm trong các sách về số phức.) Nếu nhân 2 số phức là thực hiện liên tiếp 2 phép quay thì lũy thừa một số phức $z=cos\varphi +i\sin \varphi $  lên n lần là gì nhỉ? Hura, đó chính là quay liên tiếp n lần với cùng 1 góc $\varphi$, tức là quay góc $n\varphi$! Bạn biết tôi đang đề cập đến cái gì không, một cách nhìn khác cho công thức De Moivre đấy: 

  $$\left ( cos\varphi +i\sin\varphi \right )^{n}=  cos n\varphi +i\sin n\varphi.$$

Kết thúc kỳ này có 1 câu hỏi nhỏ dành cho bạn:

Phép nhân với số phức tổng quát $z=r\left( cos\varphi +isin\varphi \right)$  tương ứng với các phép biến hình nào?




Lưu Minh Đức

Về VNMATH.COM

VNMATH hoạt động từ năm 2008 với slogan Trao đổi để học hỏi, Sẻ chia để vươn lên. Hiện nay VNMATH.COM là trang web Toán học có lượt truy cập lớn nhất Việt Nam.

Chia sẻ bài viết này


Bài viết liên quan

Không có nhận xét nào :

Để lại Nhận xét