Đề thi THPT Quốc gia môn Toán năm 2015, De thi thu THPT Quoc Gia nam 2015

You are here: Home »

Like VNMATH on FACEBOOK để ủng hộ VNMATH.

Thiết kế quả bóng đá cho các kì Worldcup và toán học

VNMATH.COM 29 tháng 10, 2014 0

Một quả bóng đá tốt phải như thế nào? Bất kỳ cầu thủ hay một fan bóng đá nào cũng có thể nhanh chóng liệt kê các chỉ tiêu chất lượng. Quả bóng phải tròn một cách hoàn hảo và có thể giữ được hình dạng cũng như áp suất bên trong sau vô số tác động vật lý. Nó cũng phải tâng tốt, nhưng không tâng quá mức khi đá hoặc đánh đầu và nó phải không thấm nước. Và cuối cùng, nó phải di chuyển nhanh khi được chuyền giữa hai cầu thủ và phải có khả năng bay với một tốc độ ấn tượng trong những cú sút vào cầu môn.

Chỉ tiêu cuối trông có vẻ tầm thường: các quả bóng hẳn phải đi nhanh hơn khi được đá mạnh hơn? Điều này nói chung là đúng, nhưng bao nhiêu phần trăm lực của cú đá được giữ lại trên đường bay của quả bóng phụ thuộc chủ yếu vào những gì xảy ra khi không khí di chuyển quanh bề mặt quả bóng. Có lẽ các nghiên cứu tập trung vào yếu tố này nhiều hơn bất kỳ điều gì khác trong thiết kế của quả bóng. Để hiểu rõ hơn, chúng ta hãy xem một vài hình ảnh về các đường hầm gió, cái mà các nhà khí động học gọi là flow visualizations.

Phân luồng và nhiễu loạn lực kéo

Hình ảnh sau cho thấy một quả bóng mô hình được đặt vào một đường hầm gió. Quả bóng được cố định nhưng ta có thể mô phỏng quả bóng đang bay bằng cách thay đổi vận tốc không khí thổi vào quanh nó. Khói giúp ta ghi nhận hình ảnh chuyển động của không khí.

Phân luồng và các điểm chuyển đổi ở một quả bóng mô hình trong đường hầm gió. Hình bên trái cho thấy phân luồng sớm và lực kéo lớn, còn hình bên phải cho thấy phân luồng muộn và lực kéo nhỏ. (Hình ảnh của Henri Werlé, Phòng thí nghiệm Hàng không Pháp)

Ở tốc độ rất nhỏ, luồng khí theo sát bề mặt của quá bóng nhưng khi tốc độ tăng, như trong hình bên trái, dòng khí bắt đầu phân tán ở các điểm chia cắt được đánh dấu mũi tên. Lưu ý là khi sự phân chia xuất hiện ở tốc độ thấp, có một vùng chắn khí phía sau quả bóng thấy rõ trong hình. Sự ngăn cản này là nguyên nhân tạo ra sức kéo khí động học, làm giảm nhanh chóng động năng của quả bóng.

Dù vậy, khi tốc độ tiếp tục tăng lên, một điều bất ngờ xảy ra. Các điểm chia cắt di chuyển về phía sau quả bóng như trong hình bên phải và dòng khí lại theo sát bề mặt quả bóng. Vùng chặn khí được giảm đáng kể, làm suy yếu phần lớn lực kéo khí động học. Chuyển biến này rất tức thì và vô cùng quan trọng trong trận bóng. Nhân tố gây ra điều này là độ nhám bề mặt và, trái với cảm giác của chúng ta, một bề mặt thô nhám một chút sẽ có hiệu quả khí động học hơn là bề mặt trơn láng.
Lực kéo khí động học có thể được đo khá chính xác bằng các công cụ rất nhạy đặt ở móc dùng để cố định quả bóng. Lực kéo F được đặc trưng bởi công thức.

F = \frac{1}{2}{C_d}\rho A{V^2}
Ở đây,  \rho  là mật độ không khí,  là diện tích mặt cắt của quả bóng và  là vận tốc của nó (cũng là vận tốc dòng khí trong đường hầm gió). Tham số {C_d} là hệ số kéo, phụ thuộc vào tốc độ.
Hiểu biết về thay đổi của  theo tốc độ rất quan trọng trong thiết kế bóng và việc tìm giá trị của nó khá đơn giản: F được đo tại một tốc độ cho trước và {C_d}  được xác định dựa vào công thức trên. Đồ thị sau cho thấy một vài kết quả thí nghiệm theo cách này dành cho quả bóng 32 (bề mặt được may bởi 12 mảnh ngũ giác và 20 mảnh lục giác) (đo bởi các nhà nghiên cứu Nhật Bản) và cho quả banh trơn (đo bởi các nhà nghiên cứu Đức).
Biến đổi của (drag coefficient) theo tốc độ bóng (ball speed) khác nhau. Vùng tốc độ tiêu chuẩn của các quả ném xa (long throws) và đá phạt (free kicks) được tô màu xám. Đường xanh là của quả bóng 32 và đường đỏ là của quả bóng trơn.

Sự thay đổi từ cao xuống thấp của {C_d}  tại một số tốc độ nhất định rất đột ngột và do đó sự chuyển đổi này được gọi là nhiễu loạn lực kéo. Lưu ý rằng sự thay đổi ở quả bóng 32 xảy ra ở tốc độ thấp hơn nhiều so với quả bóng trơn, khoảng 12 m/s so với 37 m/s. Đây là điều khá may mắn vì phần lớn động tác quan trọng trong bóng đá như quả ném xa, phạt góc và phạt trực tiếp diễn ra ở đoạn lực kéo nhỏ.

Để minh họa điều này tôi đã mô phỏng quả phạt trực tiếp thực hiện bởi quả bóng 32 và quả bóng trơn dựa trên số liệu ở trên. Quỹ đạo được suy ra từ một vài công thức vật lý và các điều kiện đầu khá thực tế: tốc độ đá 26 m/s và cự ly 22 mét.


Cú sút vào quả bóng 32, đến khung thành trong 0,97 giây, sẽ gây khó khăn cho thủ môn hơn so với cú sút vào quả bóng trơn. Quả bóng trơn sẽ đến khung thành trễ hơn, sau một phần tư giây nữa. Nó trở nên dễ dàng đối với một thủ môn chuyên nghiệp. Nhìn vào tốc độ bóng khi đến khung thành càng làm sáng tỏ vấn đề. Quả bóng 32 đạt tốc độ 21 m/s, so với 14,5 m/s của quả bóng trơn. Lực kéo khí động học đã lấy đi 35% động năng của quả bóng thông thường. Trong khi đó, nó lấy đi 70% động năng của quả bóng trơn!
Như vậy, các mảnh và đường may (đường mà hai mảnh liền kề được may lại với nhau) trên bề mặt rất quan trọng và sẽ rất hữu ích nếu ta biết một quả bóng hiện đại có bao nhiêu đường may.
Nhập cuộc bay

Hãy tưởng tượng chúng ta thuyết phục được một con ruồi đi vòng quanh các đường may trên một quả bóng 32, ghi lại độ dài nó đã di chuyển. Chúng ta cho chú ruồi một chỉ dẫn cẩn thận: chỉ đi mỗi đoạn một lần. Nó bắt đầu đi khá tốt. Nhưng khi gặp ngã rẽ, một ý nghĩ kinh dị xuất hiện: giả sử chỉ dẫn của chúng ta được theo quá chặt chẽ và con ruồi bắt đầu nghĩ về bài toán Bảy cây cầu Konigsberg. Chúng ta có thể mất hàng năm! Nhưng con ruồi bắt đầu lại, và ta thấy nó đi một vòng quanh một hình lục giác rồi lại một vòng quanh một hình ngũ giác. Và sau đó thay vì nói cho chúng ta kết quả nó bay vòng vòng và kêu vo vo theo cách khó chịu và rất “ruồi”.

Hiển nhiên là ta có một lời giải gọn gàng cho vấn đề này và một ý tưởng nhỏ cho thấy suy luận của chú ruồi. Hai hình liền kề nhau có đúng 1 cạnh chung. Như vậy, nếu ta tính toán số cạnh của tất cả hình lục giác và ngũ giác rồi chia 2 ta sẽ có câu trả lời. Có 20 lục giác và 12 ngũ giác với tổng số cạnh , chia 2 ta được 90 đường may. Tổng độ dài các đường may trên quả bóng sẽ là

           L = 90s

Với s là độ dài một cạnh của lục giác hay ngũ giác. Ta có thể đo s bằng cách ép phẳng một quả bóng 32 truyền thống. Nhưng ta có thể sử dụng tính toán thêm một chút. Diện tích của một ngũ giác đều và một lục giác đều lần lượt cho bởi

{A_p} = \frac{{\sqrt {25 + 10\sqrt 5 } }}{4}{s^2}
            

 {A_h} = \frac{{3\sqrt 3 }}{2}{s^2}
            .
Cho bán kính quả bóng là R (chính xác là 0,11 m cho một quả bóng đá tiêu chuẩn) ta có xấp xỉ tốt sau:
            
20{A_h} + 12{A_h} = 4\pi {R^2}.

Từ đó ta có một phương trình ẩn s và khi giải ra ta được s=4,58  . Ta có thể kiểm chứng bằng một quả bóng thật. Đo cẩn thận 10 đường may và tính trung bình, chúng tôi được 4,57 cm – rất đáng hài lòng. Cuối cùng, ta có tổng chiều dài đường may là L=90s=4,12cm.

Thật ra, kết quả trên có thể được thực hiện mà không cần con ruồi, bằng cách sử dụng công thức nổi tiếng của nhà toán học Thụy Sĩ Leonhard Euler. Bỏ qua độ cong bề mặt, quả bóng 32 tương đương với một khối 20 mặt đều, một trong 13 hình đa diện được gọi là các khối rắn Archimedes. Các khối này có các mảnh (hay mặt theo cách nói truyền thống) có hình đa giác chính quy như tam giác, hình vuông, ngũ giác, v.v… Tập hợp đầy đủ có thể xem trên Wikipedia và một vài khối có thể xem trong hình dưới đây.



Với các vật thể này, công thức Euler khẳng định V+E-F=2, với E và F là số các cạnh và mặt (đường may và mảnh) và V là số đỉnh của hình khối.

Như vậy nếu ta yêu cầu một quả bóng với đường may dài hơn, con quái vật có tên là Cửu-Thập-Nhị-Diện (Snub Dodecahedron, hay Khối Chín Mươi Hai Mặt theo tiếng Việt thứ thiệt) có thể được dùng. Từ công thức Euler ta có thể thấy số cạnh là 150. Bằng cách tính toán tương tự như trên, ta có quả bóng Cửu-Thập-Nhị-Diện có đường may dài 9.5 mét. Tất nhiên không nhà sản xuất nào làm một quả bóng như vậy: may 92 mảnh khít khao quá vất vả trong khi một quả bóng 32 là đủ tốt rồi. Nhưng nếu ta đi theo hướng ngược lại, giảm số mảnh và theo đó giảm chiều dài đường may, điều gì xảy ra?

Càng ít mảnh ghép bóng càng trơn

Ta có thể tìm hiểu mối liên hệ giữa các mảnh ghép và đường may bằng cách xem lại các khối Archimedes. Như ta đã thấy, công thức Euler giúp liên hệ dễ dàng các biến số trên. Nhìn lướt qua các khối Archimedes ở trên, ta có thể thấy các khối có ít hơn 32 mặt không khối nào trông giống một quả bóng đá. Sẽ rất dễ dàng để làm một quả bóng dựa trên khối 8 mặt với diện tích bề mặt giống như quả bóng truyền thống, nhưng sẽ không có mấy thú vị khi đá một quả bóng như vậy trong sân. Hình sau cho thấy một vài trường hợp khác.



Dễ thấy rằng hai mảnh ghép tạo ra độ dài đường may 0.69 mét, chỉ 17% so với của quả bóng 32. Giảm số mảnh ghép khiến cho bề mặt ít gồ ghề hơn và đó chính là vấn đề. Một bề mặt trơn hơn có lẽ không phải là mục tiêu thiết kế khôn ngoan nhất cho một quả bóng hiện đại. Và dù vậy, từ năm 2006 đó là xu hướng chính với số mảnh ghép giảm từ 32 xuống còn 14 cho World Cup 2006 và chỉ còn 8 cho World Cup 2010 ở Nam Phi.


Nốt sần, đường vân và khớp bóng

Các thủ môn tại World Cup 2006 than phiền cay đắng về đường bay không thể dự đoán được của quả Teamgeist (Tiếng Đức, nghĩa là “tinh thần đồng đội”), được thiết kế bởi nhà sản xuất Adidas đặc biệt dành cho mùa giải. Khuôn mẫu 32 mảnh, dùng cho mọi kỳ World Cup từ 1970, đã bị thay thế bởi thiết kế mới với chỉ 14 mảnh đính vào một bề mặt liên tục và những đường rãnh nhân tạo đại diện cho các đường may trước đây ở biên của các mảnh. Nhìn qua quả bóng Teamgeist trong hình, ta thấy sự phức tạp của hình dạng các mảnh ghép. Chúng được định hình lại theo mặt cong và quả bóng được quảng cáo một cách tự hào là vật thể “tròn trịa” nhất được đưa vào sân bóng. Như ta đã thấy, giảm số mảnh ghép ảnh hưởng đến tổng đường may và độ thô của bề mặt.

Teamgeist 2006 World Cup ball with14-panel structure
Vấn đề được phát hiện khi quả bóng được đá mạnh và ít xoáy. Sau đó, khi những đường rãnh xoay trong không khí, các điểm phân luồng (giống như trong hình về đường hầm gió ở trên) đổi vị trí và quả bóng dao động khôn lường. Chuyển động này được gọi là “khớp”, một thuật ngữ bóng chày để chỉ nỗ lực của người phát bóng để quả bóng bay ít xoáy. Cấu trúc đường may giới hạn của quả bóng chày (hai mảnh, một đường may) đảm bảo sự thất thường về chuyển động của quả bóng, thách thức khả năng của người đánh trả bóng.

Adidas nhanh chóng sửa chữa vào Euro 2008. Quả bóng thi đấu, “Europass”, xuất hiện với một lớp các nốt sần phủ lấy bề mặt trơn nhẵn trước kia của Teamgeist. Cách làm gồ ghề nhân tạo này được dùng để tạo sự ổn định động học, nhưng mọi thứ lại thay đổi trong World Cup 2010.
Europass 2008 Euro Championships ball with panel pimpling

Quả bóng Jabulani (Zulu, nghĩa là “ăn mừng”) chỉ có 8 mảnh ghép và việc chạm trổ bề mặt là bắt buộc. Thay cho các nốt sần là những vết lõm được sắp đặt tinh tế. Adidas gọi đây là công nghệ “rãnh và vân” (grip and groove), ngầm chỉ các thủ môn sẽ bắt bóng và giữ bóng dễ hơn. Quả Jabulani tỏ ra ổn định hơn quả Teamgeist. Nhưng có hai điều là chắc chắn. Các giải đấu lớn sẽ không còn dùng kiểu 32 mảnh nữa; thật sự, số mảnh có lẽ còn giảm hơn con số 8 hiện nay. Và việc chạm trổ cẩn thận sẽ rất cần thiết để bù lại độ thô nhám bề mặt bị mất đi.
Jabulani 2010 World Cup ball. Eight panels and aerodynamic grooves
Phải chăng các mảnh ghép đã thành quá khứ?

Cơ hội nghiên cứu những phát triển trong thiết kế bóng xuất hiện tại các kỳ Olympic và Giải vô địch bóng đá Châu Âu. Hai sự kiện sẽ được tổ chức vào mùa hè 2012. Hai năm từ mùa World Cup trước có lẽ quá ngắn cho những thay đổi căn bản trong thiết kế bóng nhưng có một sự tương tự đáng chú ý. Ba mươi năm trước Gordon Moore, đồng sáng lập hãng chip máy tính Intel, dự đoán sức mạnh tính toán sẽ tăng theo hàm số mũ của thời gian, vì số lượng transistors trong một microchip được đoán là gấp đôi sau hai năm một. Dự đoán này – Định luật Moore- đã được kiểm chứng là khá chính xác và ta có thể suy luận là thiết kế bóng có dạng ngược của Định luật Moore. Từ năm 2002, số mảnh đã giảm một nửa bốn năm một: 32 năm 2002, 14 năm 2006 và 8 năm 2010. Như vậy, đến World Cup 2022, các cầu thủ sẽ đá một quả bóng chỉ có một mảnh duy nhất. Nó sẽ có bề mặt được chạm trổ bởi những đường nét phức tạp và có thể giống với người anh em bé nhỏ của nó, quả bóng golf.

Thật sự, với tốc độ phát triển công nghệ, một thập kỷ có vẻ quá dài. Như vậy, với mùa World Cup 2022 ở Qatar, chúng ta tự tin khi dự đoán rằng sẽ có một quả banh một mảnh với chuyển động ổn định. Quả bóng sẽ được gọi là al-awhad, nghĩa là “đơn”, “cái một” và các thủ môn sẽ rất thích nó!

Dịch từ bài viết A fly walks round a football của nhà vật lí lý thuyết Ken Bray, Đại học Bath đăng trên Plus Maths bởi Võ Đức Huy.

Nguồn: Plus.Math.org

Về VNMATH.COM

VNMATH hoạt động từ năm 2008 với slogan Trao đổi để học hỏi, Sẻ chia để vươn lên. Hiện nay VNMATH.COM là trang web Toán học có lượt truy cập lớn nhất Việt Nam.

Chia sẻ bài viết này


Bài viết liên quan

Không có nhận xét nào :

Để lại Nhận xét