Đề thi THPT Quốc gia môn Toán năm 2015, De thi thu THPT Quoc Gia nam 2015

You are here: Home »

Like VNMATH on FACEBOOK để ủng hộ VNMATH.

Có bao nhiêu số tự nhiên 2014 chữ số chia hết cho 3 tạo từ các chữ số 1, 3, 5, 9?

VNMATH.COM 22 tháng 10, 2014 , 0

Bài toán: 
Từ các chữ số $1, 3, 5, 9$ có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên 2014 chữ số và chia hết cho 3.

Hướng dẫn giải.

Cách 1:
Gọi $a_n$ là số các số tự nhiên chia hết cho 3 và có $n$ chữ số tạo thành từ các chữ số $1, 3, 5, 9$; $b_n$ là số các số tự nhiên chia 3 dư 1 và có $n$ chữ số tạo thành từ các chữ số $1, 3, 5, 9$ và $c_n$ là số các số tự nhiên chia 3 dư 2 và có $n$ chữ số tạo thành từ các chữ số $1, 3, 5, 9$. Dễ thấy $a_1=2;\,b_1=c_1=1$.

Một số tự nhiên chia hết cho 3 và có $n+1$ chữ số lập ra từ các chữ số $1, 3, 5, 9$, chỉ có 3 cách tạo như sau:

  1. Thêm chữ số 3 hoặc 9 vào cuối số tự nhiên chia hết cho 3 và có $n$ chữ số lập ra từ các chữ số $1, 3, 5, 9$. Trường hợp này có $2a_n$ khả năng.
  2. Thêm chữ số 5 vào cuối số tự nhiên chia 3 dư 1 và có $n$ chữ số lập ra từ các chữ số $1, 3, 5, 9$. Trường hợp này có  $b_n$ khả năng.
  3. Thêm chữ số 1 vào cuối số tự nhiên chia 3 dư 2 và có $n$ chữ số lập ra từ các chữ số $1, 3, 5, 9$. Trường hợp này có $c_n$ khả năng.
Ta được công thức truy hồi $$a_{n+1}=2a_n+b_n+c_n.$$
Mặt khác, $a_n+b_n+c_n=4^n$ vì đó là số cách tạo nên một số có $n$ chữ số từ $1, 3, 5, 9$, do đó $${a_1} = 2;\,\,{a_{n + 1}} = {a_n} + {4^n} = {a_1} + 4 + 4^2 + \ldots + {4^n} = \frac{{{4^{n + 1}} + 2}}{3}.$$

Từ đó ta suy ra kết quả cần tìm là $\frac{4^{2014}+2}{3}$.

Cách 2: 
Một số tự nhiên chia hết cho 3 khi và chỉ khi tổng các chữ số của nó chia hết cho 3.
Xét đa thức
$ P(x) = (x + x^3 + x^5 + x^9)^{2014} =\sum x^{a_1+a_2+...+a_{2014}} $ trong đó $ a_i \in \{1, 3, 5, 9\}$. Số các số có 2014 chữ số lập từ các chữ số 1, 3, 5, 9 và chia hết cho 3, kí hiệu là $S_{2014}$, bằng tổng các hệ số của các số mũ chia hết cho 3 của P(x).

Đặt
$$\epsilon= \cos \frac{{2\pi }}{3} + i\sin \frac{{2\pi }}{3}.$$

Ta có $\epsilon^3 = 1$ và $\epsilon^2+\epsilon +1=0$ và $P(1)+P(\epsilon)+P(\epsilon)=3S$.

Từ $ P(1) = 4^{2014}, P(\epsilon) = 1, P(\epsilon^2) = 1$ kết quả cần tìm là $ S= \frac{4^{2014}+2}{3}$.

Một số bài tập tương tự

1. Có bao nhiêu số tự nhiên khác nhau nhỏ hơn 2.10^8, chia hết cho 3, có thể được viết bởi các chữ số 0, 1, 2.
2. (PTNK 2009) Có bao nhiêu số tự nhiên gồm n chữ số được lập từ các chữ số:3,4,5,6 và chia hết cho 3.
3. Có bao nhiêu số có 6 chữ số không chứa số 0 và chia hết cho 7.
4. Có bao nhiêu số có n chữ số được lập từ các chữ số 1, 3, 4, 6, 7, và 9 có tổng các chữ số chia hết cho 7.
5. (ĐH Huế 2000) Có bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau chia hết cho 9. Có bao nhiêu số có 5 chữ số khác nhau chia hết cho 9.
6. Có bao nhiêu số có 9 chữ số không chứa số 0 và chia hết cho 11.


Về VNMATH.COM

VNMATH hoạt động từ năm 2008 với slogan Trao đổi để học hỏi, Sẻ chia để vươn lên. Hiện nay VNMATH.COM là trang web Toán học có lượt truy cập lớn nhất Việt Nam.

Chia sẻ bài viết này


Bài viết liên quan

Không có nhận xét nào :

Để lại Nhận xét