Đề thi THPT Quốc gia môn Toán năm 2015, De thi thu THPT Quoc Gia nam 2015

You are here: Home »

Like VNMATH on FACEBOOK để ủng hộ VNMATH.

Tính tổng $1+2+3+4+\ldots+n$ bằng nhiều cách

Ta có $$1+2+3+4+\ldots+n = \dfrac{n\times(n+1)}{2}.$$
Đây là trường hợp đặc biệt của công thức $$1^p+...+n^p=\frac{B_{p+1}(n+1)-B_{p+1}(0)}{p+1}$$ trong đó $B_k(x)$ là đa thức Bernoulli thứ $k$ và có rất nhiều cách chứng minh.

Minh họa bằng hình học: Tổng n số tự nhiên đầu tiên bằng nửa diện tích hình chữ nhật có kích thước $n\times(n+1)$

Cách 0: Đây là một cấp số cộng có số hạng đầu bằng 1 và công sai bằng 1.

Cách sơ cấp nhất có lẽ bạn đã quen thuộc từ câu chuyện về việc tính nhanh của Gauss.
Cách 1:
Đặt $S = 1 + 2 + ... + (n-1) + n.$
Viết tổng trên theo chiều ngược lại ta có $S = n + (n-1) + ... + 2 + 1.$
Cộng vế tho vế ta có
$2S = (n+1) + (n+1) + ... + (n+1) = n(n+1).$
Suy ra $S = n(n+1)/2$.
Cách 2:
Ta có $\dfrac{k+1}2-\dfrac{k-1}2=1 \implies\dfrac{k(k+1)}2-\dfrac{(k-1)k}2=k$

$\implies \sum_{k=1}^n\Bigg(\dfrac{k(k+1)}2-\dfrac{(k-1)k}2\Bigg)=\sum_{k=1}^nk\implies\dfrac{n(n+1)}2-\dfrac{1(1-1)}2=\sum_{k=1}^nk$

$\implies\sum_{k=1}^nk=\dfrac{n(n+1)}2$.
Cách 3:
$$\sum_{i=0}^ni-\sum_{i=0}^{n-1}i=S_1(n)-S_1(n-1)=n,$$
$S_1(n)$ là một đa thức bậc hai theo $n$.
Dùng phương pháp hệ số bất định và để ý $S_1(0)=0$ ta có
$$S_1(n)-S_1(n-1)=n=(an^2+bn)-(a(n-1)^2+b(n-1))=\\=2an+b-a,$$
suy ra
$$a=b=\frac12.$$
$$S_1(n)=\frac{n^2+n}2.$$

Cách 4:
$\begin{aligned} \displaystyle & \sum_{0 \le k \le n}k^2 = \sum_{0 \le k \le n}(n-k)^2 = n^2\sum_{0 \le k \le n}-2n\sum_{0 \le k \le n}k+\sum_{0 \le k \le n}k^2 \\& \implies 2n\sum_{0 \le k \le n}k = n^2(n+1) \implies \sum_{0 \le k \le n}k = \frac{1}{2}n(n+1).\end{aligned}$

Cách 5:
Ta có $(i+1)^2-i^2=2i+1$
Khi đó

$$ \sum_{i=1}^n (2i+1) = \sum_{i=1}^n [(i+1)^2-i^2] = (n+1)^2-1=n^2+2n \,.$$

hay
$$n^2+2n= 2[\sum_{i=1}^n i] +n \,.$$
Cách 6: Quy nạp.

Cách 7:
Ta có $1 + x + x^2 + ... + x^n = \dfrac{x^{n+1} - 1}{x-1}$.
Đạo hàm hai vế $$ 1 + 2x + 3x^2 + ... + nx^{n-1} = \dfrac{ (n+1)x^n (x-1) - x^{n+1} + 1}{ (x-1)^2 }.$$
Cho x dần tới 1 trong vế phải ta được

$$ \lim_{x \to 1} \dfrac{ (n+1)x^n (x-1) - x^{n+1} + 1}{ (x-1)^2} = \lim_{x \to 1}\dfrac{ (n+1) [ (n+1)x^n - nx^{n-1} ] - (n+1)x^n }{2(x-1)} = $$
$$ \lim_{x \to 1} \dfrac{ (n+1)[(n+1)(n)x^{n-1} - n(n-1)x^{n-2}] - (n+1)(n)x^{n-1} } {2}$$

$$ =\dfrac{1}{2}(n+1)(n) [ (n+1) - (n-1) - 1] = \dfrac{ (n)(n+1)}{2}.$$

Cách 8:

Đỉnh $v_1$, được nối với $n-1$ đỉnh khác, do đó có $n-1$ cạnh. Theo chiều kim đồng hồ, đỉnh tiếp theo $v_2$ nối với $n-2$ đỉnh (không tính $v_1$ và $v_2$), ta có thêm $n-2$ cạnh, $v_3$ thêm vào $n-3$ cạnh, ... , $v_{n-1}$ thêm 1 cạnh và $v_n$ không tạo ra cạnh mới nào.

Do đó số cạnh của đồ thi $K_n$ là:

$$E = \sum\limits_{i=1}^{n-1} i$$
Mỗi cạnh gồm hai đỉnh, nên số cạnh bằng số cách chọn hai phần tử phân biệt từ tập hopwj gồm n phần tử. Do đó

$$E = \sum\limits_{i=1}^{n-1} i = \binom{n}{2} = \frac{n(n-1)}{2}$$

Cách 9:
Xét chuỗi lũy thừa

$$f(x)=\sum_{n=0}^\infty\left(\sum_{i=0}^{n}i\right)x^n==\frac{x}{(1-x)^3}.$$

Khai triển Taylor của hàm $\frac{x}{(1-x)^3}$ cho bởi công thức

$$\frac{x}{(1-x)^3}=\sum_{n=0}^\infty \frac{n(n+1)}{2}x^n$$

Do đó $$\sum_{i=0}^nj=\frac{n(n+1)}{2}.$$

Và ắt hẳn bạn còn nhiều cách khác.

Về VNMATH.COM

VNMATH hoạt động từ năm 2008 với slogan Trao đổi để học hỏi, Sẻ chia để vươn lên. Hiện nay VNMATH.COM là trang web Toán học có lượt truy cập lớn nhất Việt Nam.

Chia sẻ bài viết này


Bài viết liên quan

Không có nhận xét nào :

Để lại Nhận xét