Khi nghiên cứu cực trị địa phương của các hàm nhiều biến, ví dụ quen thuộc là xét hàm đa thức

$P(x,y)=x^2+3xy+3y^2-6x+3y-6.$

Ta có $P_x=2x+3y-6$ và $P_y=3x+6y+3$, nên điểm dừng của $P$ là $(15,-8).$ Vì $'P_{xx}=2$ và Hessian của $P$ bằng $2\times 6-3^2=3>0$, nên $'(15,-8)$ là điểm cực tiểu của $P$, giá trị cực tiểu bằng $P(15,-8)=-63.$
$P$ là đa thức, người ta hy vọng có một giả thíc đại số tại sao $-63$ là cực tiểu của nó và tại sao lại đạt được tại $(15,-8)$. Đối với hàm một biến: Nếu $p(x)=ax^2+bx+c$ và $a>0$ thì

$\displaystyle p(x)=a\left(x+\frac b{2a}\right)^2+\frac{4ac-b^2}{4a},$

 do đó $p$ đạt cực tiểu tại $x=-b/2a$,và giá trị cực tiểu là $(4ac-b^2)/4a.$
Đa thức P ở trên cũng có thể biểu diễn theo cách này. Một chút tính toán đại số cho ta

$\displaystyle P(x,y)=\left(x-3+\frac32 y\right)^2+3\left(\frac y2+4\right)^2-63,$>

và giá trị nhỏ nhất của $P(x,y)$ là $-63$, đạt được khi $x-3+3y/2=0$ và $4+y/2=0$, tức là tại $(15,-8)$.
(Ta có thể giải thích phân tích của $P$ ở trên bằng một thuật toán, nhưng ta tạm bỏ qua.)

Phân tích ở trên của  $P$ không chỉ là một sự trùng hợp. Bài toán thứ 17 trong 23 bài toán của Hilbert tại Đại hội Toán học Thế giới lần 2 ở Paris, 1900 phát biểu rằng liệu mọi đa thức với hệ số thực  không âm với mọi giá trị   là tổng các bình phương (gọi tắc là SOS) của các hàm số hữu tỉ. (Một hàm số hữu tỉ là thương của các đa thức.) Một đa thức như trên thường được gọi là xác định dương .

Nếu bài toán của Hilbert cho câu trả lời khẳng định, nó sẽ cho một lời giải thích rõ ràng tại sao P không âm. Chính Hilbert chứng minh rằng một đa thức không âm  là tổng các bình phương của các đa thức khi thuộc một trong các trường hopwj sau đây:

• là đa thức một biến,
•  là đa thức bậc hai n biến,
•  là đa thức bậc bốn hai biến.

Emil Artin đã giải bài toán Hilbert vào năm 1927 với câu trả lời khẳng định. Kết quả mạnh hơn, P là tổng các bình phương của các đa thức thật đáng tiếc là không đúng trong trường hợp tổng quát. Sau đây là một phản thí dụ:

Đa thức này không âm theo bất đẳng thức AM-GM (xem ví dụ 1 bên dưới). Đa thức này xuất hiện trong bài báo của Marie-Francoise Roy, The role of Hilbert’s problems in real algebraic geometry, ở tạp chí Proceedings of the ninth EWM Meeting, Loccum, Germany 1999, và ta có thể chứng minh rằng nó không phảo là tổng bình phương của các đa thức bằng thuật toán được giới thiệu bên dưới.

Mặc dù Hilbert đã biết một số đa thức không âm  không là tổng bình phương các đa thức nhưng ví dụ tường minh đầu tiên cho thấy một đa thức như vậy thuộc về nhà logic học Rafael Robinson trong bài báo Some definite polynomials which are not sums of squares of real polynomials, in Selected questions of algebra and logic(collection dedicated to the memory of A. I. Mal′cev) (Tiếng Nga), pp. 264-282, Izdat.‘‘Nauka’’ Sibirsk.Otdel.,Novosibirsk, 1973.

Ta trích dẫn bình luận trên Mathscinet của W. Ellison:

Chìa khóa của vấn đề là bổ đề sau: Một đa thức  có bậc tối đa bằng 3 triệt tiêu tại 8 trong 9 điểm  với  phải triệt tiêu tại điểm thứ 9.
Đa thức  triệt tiêu tại 9 điểm này và ta có thể tìm một đươngc cong bậc 6  không đi qua  nhưng triệt tiêu tại 8 điểm còn lại ví dụ như  Hàm  bị chặn trên trên mặt phẳng  plane. Do đó với   thích hopwj (thật ra ta có thể chọn  ) ta có  xác định dương và  Rõ ràng ta không thể có  với  là các đa thức hệ số thực, với bậc cao nhất bằng 3 và nó sẽ triệt tiêu tại  vì nó triệt tiêu tại 8 điểm khác.

Hơn nữa còn có một thuật toán cho vấn đề này, cho một đa thức không âm, có hay không một biểu diễn thành tổng các bình phương và nếu có, hãy tìm nó. Đây là kết quả chính của bài báo An algorithm for sums of squares of real polynomials, của Victoria Powers và Thorsten Woermann, J. Pure and Appl. Alg. 127 (1998), 99-104. (Bài báo này có tại trang web của Powers)

Nhiều bất đẳng thức thường gặp trong giải tích có thể chứng minh một cách hiệu quả dựa vào các đa thức không âm. Mời các bạn đón xem trong phần sau.

Còn nữa...