Đề thi THPT Quốc gia môn Toán năm 2015, De thi thu THPT Quoc Gia nam 2015

You are here: Home »

Like VNMATH on FACEBOOK để ủng hộ VNMATH.

Đề thi Olympic Toán Sinh viên Quốc tế năm 2014

VNMATH.COM 1 tháng 8, 2014 , 0

Kì thi Olympic Toán Sinh viên Quốc tế năm 2014 (IMC 2014) diễn ra tại Blagoevgrad, Bulgaria từ 29 tháng 7 đến 4 tháng 8 năm 2014.

Sau đây là đề thi Olympic Toán Sinh viên Quốc tế năm 2014. Đề thi gồm 2 vòng, mỗi vòng 5 tiếng.
Ngày thi thứ nhất
Câu 1.
Tìm tất cả các cặp số thực  {(a,b)}  sao cho tồn tại duy nhất ma trận thực M đối xứng {2 \times 2} thỏa mãn {tr(M)=a} và {\det(M)=b}.
Câu 2.
Xét dãy số
\displaystyle (a_n)_{n=1}^\infty = (1,1,2,1,2,3,1,2,3,4,1,2,3,4,5,1,...)
Tìm các cặp số thục dương {(\alpha,\beta)} sao cho
\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{\sum_{k=1}^n a_k}{n^\alpha}=\beta.
Câu 3.
Cho {n} là số nguyên dương. Chứng tỏ rằng tồn tại các số thực dương {a_0,a_1,...,a_n} sao cho với mỗi sự lựa chọn dấu, đa thức
\displaystyle \pm a_nx^n\pm a_{n-1}x^{n-1}\pm ... \pm a_1x\pm a_0
có {n} nghiệm thực phân biệt.
Câu 4.
Cho {n > 6} là một số hoàn hảo và {n = p_1^{e_1}...p_k^{e_k}} là dạng phân tích thành các số nguyên tố của nó {1<p_1<...<p_k}. Chứng minh rằng {e_1} là số chẵn.
Một số tự nhiên {n}được gọi lag hoàn hảo nếu {s(n)=2n}, trong đó {s(n)} là tổng các ước của {n}.
Câu 5.
Cho {A_1A_2...A_{3n}} là một đường gấp khúc khép kín gồm {3n} đoạn thẳng trong mặt phẳng Euclid. Giả sử rằng không có ba đỉnh nào của nó thẳng hàng và với mỗi chỉ số {i=1,2,...,3n}, tam giác {A_iA_{i+1}A_{i+2}} định hướng theo chiều ngược chiều kim đồng hồ và {\angle A_iA_{i+1}A_{i+2}=60^\circ}, ở đây ta dùng các kí hiệu theo modulo {3n}. Chứng minh rằng số điểm tự cắt nhau đường gấp khúc nhiều nhất là {\displaystyle \frac{3}{2}n^2 -2n+1}.

Ngày thi thứ hai
Đang cập nhật

Về VNMATH.COM

VNMATH hoạt động từ năm 2008 với slogan Trao đổi để học hỏi, Sẻ chia để vươn lên. Hiện nay VNMATH.COM là trang web Toán học có lượt truy cập lớn nhất Việt Nam.

Chia sẻ bài viết này


Bài viết liên quan

Không có nhận xét nào :

Để lại Nhận xét