Kì thi Olympic Toán Sinh viên Quốc tế năm 2014 (IMC 2014) diễn ra tại Blagoevgrad, Bulgaria từ 29 tháng 7 đến 4 tháng 8 năm 2014.
Sau đây là
đề thi Olympic Toán Sinh viên Quốc tế năm 2014. Đề thi gồm 2 vòng, mỗi vòng 5 tiếng.
Ngày thi thứ nhất
Câu 1.
Tìm tất cả các cặp số thực

sao cho tồn tại duy nhất ma trận thực M đối xứng

thỏa mãn

và

.
Câu 2.
Xét dãy số
Tìm các cặp số thục dương

sao cho
Câu 3.
Cho

là số nguyên dương. Chứng tỏ rằng tồn tại các số thực dương

sao cho với mỗi sự lựa chọn dấu, đa thức
có

nghiệm thực phân biệt.
Câu 4.
Cho

là một số hoàn hảo và

là dạng phân tích thành các số nguyên tố của nó

. Chứng minh rằng

là số chẵn.
Một số tự nhiên

được gọi lag hoàn hảo nếu

, trong đó

là tổng các ước của

.
Câu 5.
Cho

là một đường gấp khúc khép kín gồm

đoạn thẳng trong mặt phẳng Euclid. Giả sử rằng không có ba đỉnh nào của nó thẳng hàng và với mỗi chỉ số

, tam giác

định hướng theo chiều ngược chiều kim đồng hồ và

, ở đây ta dùng các kí hiệu theo modulo

. Chứng minh rằng số điểm tự cắt nhau đường gấp khúc nhiều nhất là

.
Ngày thi thứ hai
Đang cập nhật
Không có nhận xét nào :