Đề thi THPT Quốc gia môn Toán năm 2015, De thi thu THPT Quoc Gia nam 2015

You are here: Home »

Like VNMATH on FACEBOOK để ủng hộ VNMATH.

Giả thuyết số nguyên tố sinh đôi

VNMATH.COM 24 tháng 4, 2014 , 0

Cặp số nguyên tố sinh đôi là một cặp số nguyên tố liền nhau có dạng (n , n +2). Cặp số nguyên tố đầu tiên là (3, 5), sau đó là (5, 7), (11, 13), ... Số nguyên tố sinh đôi cực hiếm. Tuy nhiên, cứ sau vài năm người ta lại tìm thấy một cặp số sinh đôi lớn hơn. Từ thời Hy Lạp cổ đại Ơclit (Euclide) đã tin rằng có vô số các cặp số nguyên tố sinh đôi. Đã hàng thế kỷ trôi qua mà vẫn chưa có ai chứng minh được dự đoán của Ơclit, đến mức nhiều người coi đó là một điều bí hiểm. Ngày nay người ta gọi điều này là giả thuyết số nguyên tố sinh đôi. Cái khó ở đây là không có công thức mô tả các số nguyên tố. Để tìm các số nguyên tố trong một bảng số thì người ta thường loại bỏ dần các hợp số là bội của các số nguyên tố trước đó. Phương pháp này được gọi là sàng Ơra-tô-xten (Erathostenes) theo tên một nhà toán học Hy Lạp cổ đại. Tuy nhiên phương pháp này chỉ hiệu quả khi tìm các số nguyên tố nhỏ hơn hàng chục triệu.

Năm 1849 nhà toán học Pháp de Polignac đưa ra giả thuyết tổng quát hơn là với mọi số chẵn k ≥ 2, tồn tại vô hạn các cặp số nguyên tố m,n sao cho m−n =k. Giả thuyết này cũng chưa được giải quyết cho bất kỳ một số nào. Người ta có thể tìm cách giải quyết giả thuyết yếu hơn là tồn tại vô hạn cặp số nguyên tố , sao cho 2 ≤ m−n ≤ k. Giả thuyết yếu này được gọi là giả thuyết về chặn trên cho khoảng cách các số nguyên tố. Tuy nó không tương đương với giả thuyết của de Polignac, nhưng trong trường hợp k = 2 thì nó chính là giả thuyết số nguyên tố sinh đôi. Nhiều nhà toán học cho rằng các phương pháp nghiên cứu hiện nay chưa đủ sức giải quyết ngay cả giả thuyết yếu trên. Nhà số học Goldston cho rằng “Đây là một trong những vấn đề mà ta không chắc loài người có thể giải được”.

Ngày 17/4/2013 tòa soạn tạp chí Annals of Mathematics (Một tạp chí toán học hàng đầu thế giới) nhận được bản thảo của một nhà toán học vô danh là Yitang Zhang khẳng định đã giải quyết được giả thuyết yếu trên cho k = 70 triệu. Tuy 70 triệu còn xa với mục tiêu k = 2, nhưng đây có thể coi là bước đi đột phá trong việc chứng minh giả thuyết số nguyên tố sinh đôi. Khoảng cách giữa 2 và 70 triệu tuy lớn nhưng vẫn không thấm gì so với khoảng cách giữa 70 triệu và vô hạn! Công trình của Zhang đã được thẩm định và được công bố trong Tập 179 Số 3 của tạp chí danh tiếng Annals of Mathematics, xuất bản tháng 3 năm 2014. An-drew Granville, một nhà số học có tiếng nói rằng “Không ai biết anh ta cả. Bỗng nhiên anh ta chứng minh được một trong những kết quả lớn nhất trong lịch sử lý thuyết số.”

Yitang Zhang of the University of New Hampshire.
Yitang Zhang sinh năm 1955 tại Trung Quốc. Năm 1985 ông sang Mỹ làm nghiên cứu sinh sau khi tham dự lớp cao học do nhà toán học Hoa kiều Shiing-Shen Chern tổ chức ở Bắc Kinh. Ông bảo vệ luận án tiến sỹ năm 1991 sau 7 năm làm nghiên cứu sinh tại Đại học Purdue dưới sự hướng dẫn của Tzuong-Tsieng Moh. Đề tài luận án do ông chọn là về giả thuyết Jacobian. Đây là một giả thuyết lâu đời được nhà toán học Stephen Smale (huy chương Fields năm 1966) coi là một trong 18 bài toán của thế kỷ 21. Zhang tưởng rằng mình đã chứng minh được giả thuyết này, nhưng sau đó người ta phát hiện ra một kết quả sai của Moh được Zhang dùng trong chứng minh của mình.

Cho đến nay Zhang mới công bố hai công trình toán học vào các năm 1985 (năm bảo vệ luận án thạc sỹ) và 2001. Ông là dạng nhà toán học chỉ chuyên tâm giải quyết các vấn đề khó. Cuộc đời của Zhang có nhiều gian truân. Sau khi bảo vệ luận án tiến sỹ ông không xin được việc làm ở các trường đại học và ông đã phải làm nhiều việc thời vụ như dọn bàn, đưa đồ ăn, trực khách sạn, kế toán, v.v. Mãi đến năm 1999 ông mới được nhận vào làm giảng viên ở Đại học New Hampshire nhưng không có chức danh chính thức và làm việc ở đó cho đến ngày nay. Ngay sau khi công bố kết quả trên, Zhang nhận được nhiều giải thưởng danh giá và được nhiều trường đại học danh tiếng ở Mỹ, Trung Quốc và Đài Loan mời đến làm việc. Tuy nhiên ông vẫn quyết định ở lại Đại học New Hampshire. Tại Đại hội Toán học thế giới năm nay ở Seoul ông được mời đọc báo cáo toàn thể đặc biệt ngang hàng với các báo cáo giải thưởng Fields.

Nghiên cứu của Zhang có xuất xứ từ một bài báo của Goldston, Pintz và Yildirim (GPY) công bố năm 2005. Bài báo này chứng minh rằng luôn tồn tại các cặp số nguyên tố liền nhau mà khoảng cách giữa chúng nhỏ hơn rất nhiều so với khoảng cách trung bình giữa hai số nguyên tố liền nhau. Để có được kết quả này GPY đã đưa ra một phương pháp để lọc các cặp nguyên tố liền nhau trong một khoảng nào đó giống như cái sàng Ơ-ra-tô-xten lọc các số nguyên tố. Ngoài ra, họ còn dùng một tham số gọi là mức phân bố số nguyên tố. Người ta biết rằng tham số này lớn hơn hoặc bằng 1/2 và điều này đủ để chứng minh kết quả của GPY. Họ cũng nhận xét rằng nếu tham số này lớn hơn 1/2 thì dùng cái sàng của họ sẽ chứng minh được sự tồn tại vô hạn cặp số nguyên tố liền nhau bị chặn bởi một số nào đó. Trong bài báo của mình, GPY viết rằng kết quả của họ “chỉ cách kết quả đó bằng bề dày một sợi tóc”.

Zhang từng nghiên cứu lý thuyết số trong luận văn cao học nên ông để ý đọc bài báo của GPY. “Câu văn này lập tức gây ấn tượng với tôi”, ông hồi tưởng lại. Ông bắt đầu tìm cách mở rộng kết quả của GPY. Trong ba năm sau đó, ông không tiến thêm được một bước nào. “Tôi quá mỏi mệt”, ông nói. Hè năm 2012 ông quyết định nghỉ một chút và đi thăm một người bạn ở Colorado mà không mang
bất kỳ tài liệu toán học nào. Tuy nhiên ông vẫn bị ám ảnh bởi giả thuyết chặn trên cho khoảng cách các số nguyên tố. Trong một lúc mơ màng ngoài vườn của bạn, ông chợt tìm ra ý tưởng cho lời giải. “Tôi lập tức tin nó đúng”. Để giải quyết giả thuyết ông thấy không cần thiết phải lọc tất cả các số mà chỉ cần lọc các số có thừa số nguyên tố không lớn lắm. Như vậy là cái sàng của ông tuy không tốt bằng cái sàng của GPY nhưng lại có độ linh hoạt đủ để giải quyết vấn đề. Theo ông, “Có rất nhiều cơ may trong sự
nghiệp của bạn nhưng quan trọng là phải luôn luôn suy nghĩ”.

Zhang tự nhận mình là một người rụt rè, nhưng “khi làm báo cáo và tập trung vào toán học, tôi quên mất sự rụt rè của tôi”. Có người hỏi ông có cảm thấy cay đắng về số phận long đong của mình không thì ông trả lời “Cái đầu của tôi luôn bình thản. Tôi không quan tâm nhiều lắm đến tiền tài hay danh vọng. Tôi thích giữ im lặng và tiếp tục làm những gì mà tôi quan tâm”. Lại có người hỏi liệu ông có khuyên người khác làm theo ông không thì ông trả lời “khó nói lắm” và “tôi chọn đường đi của mình và đó là con đường của riêng tôi”. Gần đây ông bắt đầu nghiên cứu một đề tài khác và không muốn thổ lộ cho người khác biết. Ông chỉ nói “Hy vọng nó sẽ cho một kết quả tốt”. Theo Tzuong-Tsieng Moh, thầy của Zhang, thì ông thích câu nói của Khổng Tử rằng “người biết nghề không sánh được với người yêu nghề, người yêu nghề không sánh được với người lấy nghề mình làm niềm vui”.

Kết quả của Zhang lập tức dẫn đến câu hỏi có thể đưa chặn 70 triệu xuống nhỏ hơn không, nếu có thể đưa chặn đó về bằng 2 thì ta có chứng minh cho giả thuyết số nguyên tố sinh đôi. Thực ra, Zhang dùng chặn 70 triệu chỉ để làm cho chứng minh đơn giản hơn. Đến cuối tháng 5/2013 các nhà toán học đã cải thiện chặn trên của Zhang xuống còn 60 triệu. Tháng 6/2013 nhà toán học Terence Tao huy chương Fields năm 2006) lập một đề án trực tuyến Polymath để các nhà toán học có thể cùng nhau tham gia thảo luận trực tuyến với mục đích giảm chặn trên xuống nhỏ hơn nữa. Trong vài tuần sau đó thì tình hình cải thiện theo một tốc độ chóng mặt, “cứ khoảng nửa tiếng lại có một chặn trên tốt hơn”, Tao hồi tưởng lại. Đến cuối tháng 7/2013 người ta đã đưa con số 70 triệu trong chứng minh của Zhang xuống còn 4680. Đề án Polymath này hiện đang tập trung vào việc viết một bài báo tập thể về kết quả này. Bản thảo hiện nay đã dài hơn 150 trang, dự kiến sẽ công bố trên tạp chí “Algebra and Number Theory”.

Câu chuyện vẫn chưa dừng lại ở đây vì đến ngày 19/11/2013, trên trang ArXiv có một nhà toán học trẻ tên là James Maynard đã đưa ra một chặn trên mới là 600 với một chứng minh hoàn toàn độc lập với chứng minh của Zhang. Đặc biệt hơn, phương pháp của Maynard còn cho phép nghiên cứu không chỉ các cặp số nguyên tố mà còn cả các các bộ số nguyên tố liền nhau. Maynard vừa mới bảo vệ luận án tiến sĩ về sàng các số nguyên tố và hiện đang nghiên cứu sau tiến sĩ tại Đại học Montreal, Canada.

Eleanor Grant
James Maynard, a postdoctoral researcher at the University of Montreal.
Công trình của Maynard, theo một nghĩa nào đó, cũng khởi thủy từ bài báo của GPY. Trước đó, hai tác giả Goldston và Yildirim đã từng công bố một phương pháp sàng cặp số nguyên tố liền nhau. Ngay sau đấy người ta phát hiện ra phương pháp này có lỗi. Sau khi GPY thay đổi phương pháp sàng để sửa lỗi trên thì mọi người đổ xô vào nghiên cứu bài báo mới mà quên hẳn mất phương pháp bị hổng trước đó. Cách đây hơn một năm, Maynard quyết định xem lại bài báo cũ của Goldston và Yildirim. Anh phát hiện thấy có thể cải thiện phương pháp có lỗi đó một cách hiệu quả hơn cách GPY đã làm. Ý tưởng của Maynard rất đơn giản. Người hướng dẫn sau tiến sĩ của Maynard là Granville nhận xét rằng “Đó là một điều mà những người như tôi sẽ gõ vào trán và tự nhủ ta có thể chứng minh
cái này bảy năm trước đây”. Ngay sau công bố của Maynard, một đề án trực tuyến Polymath khác được lập ra nhằm sử dụng phương pháp của Maynard để đưa ra các chặn trên nhỏ hơn nữa. Khi bài báo này được viết, người ta đã giảm chặn trên xuống còn 252. Các đề án Polymath thu hút được rất nhiều chuyên gia từ các hướng nghiên cứu khác nhau tham gia. Họ có thể tối ưu hóa các bước khác nhau trong kỹ thuật chứng minh của Zhang và Maynard để tìm ra các chặn trên nhỏ hơn. Công việc của họ hoàn toànphụ thuộc lẫn nhau. Nếu một người tìm ra kết quả hay ý tưởng mới thì người khác cũng phải thay đổi tương ứng các dữ kiện nghiên cứu của mình. Chuyên gia tính toán Andrew Sutherland của Viện công nghệ Massachusetts nói rằng “Luật chơi thay đổi hàng ngày”, “Trong lúc tôi đang ngủ thì các đồng nghiệp ở Châu Âu đã tìm thấy một chặn trên mới. Nhiều khi, tôi thức đến 2 giờ sáng để thông báo một ý tưởng mới”. Trong khi Zhang và Maynard là dạng những nhà toán học tài năng nghiên cứu một mình vài năm cho đến khi đạt được một kết quả làm chấn động mọi người thì các đề án Polymath khác hẳn. Chúng cần một sự hợp tác toàn diện từ nhiều người nhằm giải quyết những vấn đề toán học khó và phức tạp và thường có kết quả rất nhanh. Tuy nhiên, không phải vấn đề toán học nào cũng phù hợp với cách nghiên cứu tập thể. Theo T. Tao thì “cần có những người sẵn sàng làm việc đơn độc và vượt qua những lối suy nghĩ thông thường”. Cuối cùng, ta có thể hy vọng gì từ các kỹ thuật chứng minh của Zhang và Maynard cho việc giải quyết giả thuyết số nguyên tố sinh đôi? Phương pháp của Zhang chỉ có thể dẫn đến chặn trên bằng 16 nếu giải quyết được các vướng mắc còn tồn tại. Trong khi đó phương pháp của Maynard cũng chỉ có thể giúp giảm chặn trên xuống còn 12 là cùng. T. Tao cho biết thêm nếu công nhận một giả thuyết của Elliot-Halberstam thì có thể đưa chặn trên xuống còn 6. Theo Maynard thì khó có thể dùng các phương pháp trên để nhận được chặn trên cuốicùng là 2. Anh nhận xét “Tôi cảm thấy chúng ta cần phải có đột phá lớn về cách tiếp cận thì mới giải quyết được giả thuyết số nguyên tố sinh đôi”. Như vậy là chưa có gì đảm bảo cho việc giải quyết giả thuyết này trong một tương lai gần và giả thuyết này vẫn là một thách thức đối với trí tuệ con người.

TÀI LIỆU

[1] K. Chang, Solving a Riddle of Primes, New York Times (2013).
[2] E. Klareich, Sudden Progress on Prime Number Problem Has Mathematicians Buzzing, Wired (2013).
[3] E. Klareich, Unheralded Mathematician Bridges the Prime Gap, Quanta Magazine (2013).
[4] L. Katz, Yitang Zhang: A prime-number proof and a world of persistence, Cnet (2013).
[5] M. McKee, First proof that infinitely many prime numbers come in pairs, Nature news (2013).
[6] T-T. Moh, "Zhang, Yitang’s life at Purdue, www.math.purdue.edu/ ttm/ZhangYt.pdf

Ngô Việt Trung, Thông tin Toán học số 1 năm 2014

Về VNMATH.COM

VNMATH hoạt động từ năm 2008 với slogan Trao đổi để học hỏi, Sẻ chia để vươn lên. Hiện nay VNMATH.COM là trang web Toán học có lượt truy cập lớn nhất Việt Nam.

Chia sẻ bài viết này


Bài viết liên quan

Không có nhận xét nào :

Để lại Nhận xét