Đề thi THPT Quốc gia môn Toán năm 2015, De thi thu THPT Quoc Gia nam 2015

You are here: Home »

Like VNMATH on FACEBOOK để ủng hộ VNMATH.

Đề thi Olympic Toán Sinh viên Trường ĐH GTVT TP. HCM 2014

VNMATH.COM 3 tháng 1, 2014 , 0

Đề thi Olympic Toán Sinh viên Trường Đại học Giao thông Vân tải TP. Hồ Chí Minh năm 2014.
Môn Giải tích:
Câu 1. Cho dãy số$ \left \{ u_{n} \right \},n \epsilon \mathbb{N}$ được xác định:
$u_{1}=1, u_{n}=\frac{n}{n+1}u_{n-1}+\alpha _{n} \left ( n=2,3,... \right )$
Trong đó $ \alpha _{n}$ là dãy số cho trước.
a. Tính $u_{2013}$, biết rằng $\alpha _{n}=\frac{n^{2}}{n+1}$.
b. Tính $\lim\limits_{n \to \infty }u_{n}$, biết rằng $\lim\limits_{n \to \infty }\left ( n+1 \right )\alpha _{n}=2013$.

Câu 2.
a. Cho $a_{1},...,a_{n}$ là các số dương. Chứng minh rằng phương trình sau có đúng 1 nghiệm dương:
$x^{n}-a_{1}x^{n-1}-...-a_{n}=0$.
b. Cho $\alpha \epsilon \left ( 0,1 \right )$. Chứng minh rằng: $\left ( 1+x \right )^{\alpha }\leq 1+\alpha x-\frac{\alpha \left ( \alpha -1 \right )}{8}x^{2},\forall x\epsilon \left \lfloor -1,1 \right \rfloor$.

Câu 3. Tính các giới hạn sau:
a. $A=\lim\limits_{x \to 0^{+}}\frac{\sqrt{1-e^{-x}}-\sqrt{1-\cos x}}{\sqrt{\sin x}}$
b. $B=\lim\limits_{x \to 0}\left ( x^{2}\left ( 1+2+3+...+\left [ \frac{1}{\left [ x \right ]} \right ] \right ) \right )$ trong đó $(\left [ x \right ]$ là phần nguyên của $x$).

Câu 4. Cho$ f:\left [ -1,1 \right ]\rightarrow \mathbb{R}$ là hàm khả vi đến cấp 3 và thỏa điều kiện:
$f\left ( -1 \right )=f\left ( 0 \right )=0=f^{'}\left ( 0 \right )=0;f\left ( 1 \right )=1$
Chứng minh rằng tồn tại $c\epsilon \left ( -1,1 \right )$ sao cho$ f^{'''}\left ( c \right )\geq 3$.Tìm 1 hàm f thỏa các điều kiện trên sao cho$ f^{'''}\left ( x \right )=3$,$\forall x\epsilon \left [ -1,1 \right ]$.

Câu 5. Tính các tích phân sau:
a. $ J\left ( x \right )=\int\limits \left ( x+3 \right )e^{x}\cos 3x dx$
b. $ I_{n}=\int\limits_{-\Pi }^{\Pi }\frac{\sin nx}{\left ( 1+2^{x} \right )\sin x}dx \left ( n\epsilon \mathbb{N} \right )$.

Câu 6.  Cho đa thức $P\left ( x \right )=x^{2}+mx+n \left ( m,n\epsilon \mathbb{Z} \right )$. Chứng minh rằng tồn tại k nguyên sao cho $P\left ( k \right )=P\left ( 2013 \right ).P\left ( 2014 \right )$.

Môn Đại số: Đang cập nhật/

Về VNMATH.COM

VNMATH hoạt động từ năm 2008 với slogan Trao đổi để học hỏi, Sẻ chia để vươn lên. Hiện nay VNMATH.COM là trang web Toán học có lượt truy cập lớn nhất Việt Nam.

Chia sẻ bài viết này


Bài viết liên quan

Không có nhận xét nào :

Để lại Nhận xét