Đề thi chọn Đội tuyển Olympic Toán Sinh viên Đại học FPT năm 2014.

Đề thi môn Giải tích.

Câu 1. Tính tích phân $$I=\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}{\frac{dx}{{{\sin }^{4}}x+{{\cos }^{4}}x}}$$ Câu 2. Xác định tất cả các số thực $c>0$ sao cho dãy số ${{a}_{1}}=\frac{c}{2},{{a}_{n+1}}=\frac{1}{2}(c+a _{n}^{2})$ với $n>0$
hội tụ và tìm giới hạn trong trường hợp đó.

Câu 3. Cho hàm số liên tục $ f : [0;1]\to [0;1]$. Chứng minh phương trình $2x-\int_{0}^{x}{f(t)dt}=1$ có đúng một nghiệm trong $[0;1]$.

Câu 4. Cho hàm số $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ thỏa mãn $f(1)=1$ và $${f}'(x)=\frac{1}{{{x}^{2}}+{{f}^{2}}(x)}$$ với mọi $x\ge 1$. Chứng minh rằng tồn tại $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)$.

Câu 5. TÌm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ thỏa mãn $$xf(y)-yf(x)=f\left( \frac{y}{x} \right)$$ với mọi số thực $y$ và mọi số thực $x\ne 0.$

Câu 6. Cho dãy số thực $({{a}_{n}}),({{b}_{n}})$ thỏa mãn
a) $({{a}_{n}}+{{b}_{n}}){{a}_{n}}\ne 0$ với mọi $n\ge 1.$
b) Các chuỗi $\sum\limits_{n=1}^{+\infty }{\dfrac{{{a}_{n}}}{{{b}_{n}}}}$ và $\sum\limits_{n=1}^{+\infty }{\dfrac{{{a}_{n}}}{{{b}_{n}}}}$ đều hội tụ.
Chứng minh rằng chuỗi $\sum\limits_{n=1}^{+\infty }{\dfrac{{{a}_{n}}}{{{a}_{n}}+{{b}_{n}}}}$ cũng hội tụ.

Đề thi môn Đại số.

Câu 1. Cho ma trận $$A=\begin{bmatrix}
x & y & y \\
y & x & y \\
y & y & x \\
\end{bmatrix}$$ Tính ${{A}^{100}}$.

Câu 2. Cho $A$ là ma trận vuông cấp $n$ trên tập số thực có tính chất tổng các phần tử trên mỗi hàng của $A$ đều bằng $c.$ Nếu ${{A}^{2}}=I$, tìm $c.$

Câu 3. Ký hiệu ${{M}_{n}}$ là không gian các ma trận vuông cấp $n.$ Xét ánh xạ tuyến tính
$S:{{M}_{n}}\to {{M}_{n}}$ và $S(A)=A+{{A}^{T}}$.
Tính $\dim(\operatorname{Im}S)$.

Câu 4.
a) Cho $A$ là ma trận đường chéo có các phần tử trên đường chéo phân biệt. Cho $B$ là ma trận vuông giao hoán với $A.$ Chứng minh rằng tồn tại đa thức $f(t)$ sao cho $B=f(A).$
b) Hãy giải bài toán trong trường hợp $A$ là ma trận vuông cấp $n$ có $n$ giá trị riêng phân biệt.

Câu 5. Cho $n>1$.
a) Hãy chỉ ra ma trận vuông $A$ cấp $n$ thỏa mãn ${{A}^{3}}=2{{A}^{2}}-A+2I.$
b) Cho $A$ là ma trận vuông cấp $n$ trên tập các số thực thỏa mãn ${{A}^{3}}=2{{A}^{2}}-A+2I.$
Chứng minh rằng $\det A>0.$

Câu 6. Tìm tất cả các đa thức $P(x)$ bậc $n$ thỏa mãn tính chất:
a) Các hệ số của $P(x)$ là hoán vị của $0,1,2,...,n.$
b) $P(x)$ có đúng $n$ nghiệm hữu tỉ.