Đề thi THPT Quốc gia môn Toán năm 2015, De thi thu THPT Quoc Gia nam 2015

You are here: Home »

Like VNMATH on FACEBOOK để ủng hộ VNMATH.

Đề thi Olympic Toán Sinh viên Đại học FPT 2014

VNMATH.COM 20 tháng 1, 2014 , 0

Đề thi chọn Đội tuyển Olympic Toán Sinh viên Đại học FPT năm 2014.

Đề thi môn Giải tích.

Câu 1. Tính tích phân $$I=\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}{\frac{dx}{{{\sin }^{4}}x+{{\cos }^{4}}x}}$$ Câu 2. Xác định tất cả các số thực $c>0$ sao cho dãy số ${{a}_{1}}=\frac{c}{2},{{a}_{n+1}}=\frac{1}{2}(c+a _{n}^{2})$ với $n>0$
hội tụ và tìm giới hạn trong trường hợp đó.

Câu 3. Cho hàm số liên tục $ f : [0;1]\to [0;1]$. Chứng minh phương trình $2x-\int_{0}^{x}{f(t)dt}=1$ có đúng một nghiệm trong $[0;1]$.

Câu 4. Cho hàm số $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ thỏa mãn $f(1)=1$ và $${f}'(x)=\frac{1}{{{x}^{2}}+{{f}^{2}}(x)}$$ với mọi $x\ge 1$. Chứng minh rằng tồn tại $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)$.

Câu 5. TÌm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ thỏa mãn $$xf(y)-yf(x)=f\left( \frac{y}{x} \right)$$ với mọi số thực $y$ và mọi số thực $x\ne 0.$

Câu 6. Cho dãy số thực $({{a}_{n}}),({{b}_{n}})$ thỏa mãn
a) $({{a}_{n}}+{{b}_{n}}){{a}_{n}}\ne 0$ với mọi $n\ge 1.$
b) Các chuỗi $\sum\limits_{n=1}^{+\infty }{\dfrac{{{a}_{n}}}{{{b}_{n}}}}$ và $\sum\limits_{n=1}^{+\infty }{\dfrac{{{a}_{n}}}{{{b}_{n}}}}$ đều hội tụ.
Chứng minh rằng chuỗi $\sum\limits_{n=1}^{+\infty }{\dfrac{{{a}_{n}}}{{{a}_{n}}+{{b}_{n}}}}$ cũng hội tụ.

Đề thi môn Đại số.

Câu 1. Cho ma trận $$A=\begin{bmatrix}
x & y & y \\
y & x & y \\
y & y & x \\
\end{bmatrix}$$ Tính ${{A}^{100}}$.

Câu 2. Cho $A$ là ma trận vuông cấp $n$ trên tập số thực có tính chất tổng các phần tử trên mỗi hàng của $A$ đều bằng $c.$ Nếu ${{A}^{2}}=I$, tìm $c.$

Câu 3. Ký hiệu ${{M}_{n}}$ là không gian các ma trận vuông cấp $n.$ Xét ánh xạ tuyến tính
$S:{{M}_{n}}\to {{M}_{n}}$ và $S(A)=A+{{A}^{T}}$.
Tính $\dim(\operatorname{Im}S)$.

Câu 4.
a) Cho $A$ là ma trận đường chéo có các phần tử trên đường chéo phân biệt. Cho $B$ là ma trận vuông giao hoán với $A.$ Chứng minh rằng tồn tại đa thức $f(t)$ sao cho $B=f(A).$
b) Hãy giải bài toán trong trường hợp $A$ là ma trận vuông cấp $n$ có $n$ giá trị riêng phân biệt.

Câu 5. Cho $n>1$.
a) Hãy chỉ ra ma trận vuông $A$ cấp $n$ thỏa mãn ${{A}^{3}}=2{{A}^{2}}-A+2I.$
b) Cho $A$ là ma trận vuông cấp $n$ trên tập các số thực thỏa mãn ${{A}^{3}}=2{{A}^{2}}-A+2I.$
Chứng minh rằng $\det A>0.$

Câu 6. Tìm tất cả các đa thức $P(x)$ bậc $n$ thỏa mãn tính chất:
a) Các hệ số của $P(x)$ là hoán vị của $0,1,2,...,n.$
b) $P(x)$ có đúng $n$ nghiệm hữu tỉ.

Về VNMATH.COM

VNMATH hoạt động từ năm 2008 với slogan Trao đổi để học hỏi, Sẻ chia để vươn lên. Hiện nay VNMATH.COM là trang web Toán học có lượt truy cập lớn nhất Việt Nam.

Chia sẻ bài viết này


Bài viết liên quan

Không có nhận xét nào :

Để lại Nhận xét