Đề thi THPT Quốc gia môn Toán năm 2015, De thi thu THPT Quoc Gia nam 2015

You are here: Home »

Like VNMATH on FACEBOOK để ủng hộ VNMATH.

Đề thi Học sinh giỏi Quốc gia môn Toán năm 2014

VNMATH.COM 3 tháng 1, 2014 , 0

VNMATH giới thiệu Đề thi Học sinh giỏi Quốc gia môn Toán năm 2014. Kì thi diễn ra trong hai ngày 3 và 4/1/2014.

Hướng dẫn giải và Bình luận đề thi Học sinh giỏi quốc gia 2014 của GS Nguyễn Tiến Dũng. Xem chi tiết.

Ngày thi thứ nhất
Thời gian: 180 phút

Bài 1 (5.0 điểm). Cho hai dãy số dương $(x_n), (y_n)$ xác định bởi $x_1=1, y_1=\sqrt{3}$ và
$$ \begin{cases} x_{n+1} y_{n+1} - x_n = 0 \\ x^2_{n+1} + y_n = 2 \end{cases} $$
với mọi $n=1,2,\ldots$. Chứng minh rằng hai dãy số trên hội tụ và tìm giới hạn của chúng.

Bài 2 (5.0 điểm). Cho đa thức $P(x) = (x^2-7x+6)^{2n}+13$ với $n$ là số nguyên dương. Chứng minh rằng $P(x)$ không thể biểu diễn được dưới dạng tích của $n+1$ đa thức khác hằng số với hệ số nguyên.

Bài 3 (5.0 điểm). Cho đa giác đều có 103 cạnh. Tô màu đỏ 79 đỉnh của đa giác và tô màu xanh các đỉnh còn lại. Gọi $A$ là số cặp đỉnh đỏ kề nhau và $B$ là số cặp đỉnh xanh kề nhau.
  1. Tìm tất cả các giá trị có thể nhận được của cặp $(A,B)$.
  2. Xác định số cách tô màu các đỉnh của đa giác để $B=14$. Biết rằng, hai cách tô màu được xem là như nhau nếu chúng có thể nhận được từ nhau qua một phép quay quanh tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác.

Bài 4 (5.0 điểm). Cho tam giác nhọn $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$ với $AB<AC$. Gọi $I$ là trung điểm cung $BC$ không chứa $A$. Trên $AC$ lấy điểm $K$ khác $C$ sao cho $IK=IC$. Đường thẳng $BK$ cắt $(O)$ tại $D$ ($D \ne B$) và cắt đường thẳng $AI$ tại $E$. Đường thẳng $DI$ cắt đường thẳng $AC$ tại $F$.
  1. Chứng minh rằng $EF = \dfrac{BC}{2}$.
  2. Trên $DI$ lấy điểm $M$ sao cho $CM$ song song với $AD$. Đường thẳng $KM$ cắt đường thẳng $BC$ tại $N$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $BKN$ cắt $(O)$ tại $P$ ($P \ne B$). Chứng minh rằng đường thẳng $PK$ đi qua trung điểm đoạn thẳng $AD$.
Ngày thi thứ hai
Thời gian: 180 phút

Bài 5 (7.0 điểm). Cho tam giác nhọn $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$, trong đó $B,C$ cố định và $A$ thay đổi trên $(O)$. Trên các tia $AB$ và $AC$ lần lượt lấy các điểm $M$ và $N$ sao cho $MA=MC$ và $NA=NB$. Các đường tròn ngoại tiếp các tam giác $AMN$ và $ABC$ cắt nhau tại $P$ ($P \ne A$). Đường thẳng $MN$ cắt đường thẳng $BC$ tại $Q$.
  1. Chứng minh rằng ba điểm $A,P,Q$ thẳng hàng.
  2. Gọi $D$ là trung điểm của $BC$. Các đường tròn có tâm là $M,N$ và cùng đi qua $A$ cắt nhau tại $K$ ($K \ne A$). Đường thẳng qua $A$ vuông góc với $AK$ cắt $BC$ tại $E$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $ADE$ cắt $(O)$ tại $F$ ($F \ne A$). Chứng minh rằng đường thẳng $AF$ đi qua một điểm cố định.

Bài 6 (7.0 điểm). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
$$ T = \dfrac{x^3y^4z^3}{(x^4+y^4)(xy+z^2)^3} + \dfrac{y^3z^4x^3}{(y^4+z^4)(yz+x^2)^3} + \dfrac{z^3x^4y^3}{(z^4+x^4)(zx+y^2)^3} $$
với $x,y,z$ là các số thực dương.

Bài 7 (6.0 điểm). Tìm tất cả các bộ số gồm 2014 số hữu tỉ không nhất thiết phân biệt, thỏa mãn điều kiện: nếu bỏ đi một số bất kì trong bộ số đó thì 2013 số còn lại có thể chia thành 3 nhóm rời nhau sao cho mỗi nhóm gồm 671 số và tích tất cả các số trong mỗi nhóm bằng nhau.

Về VNMATH.COM

VNMATH hoạt động từ năm 2008 với slogan Trao đổi để học hỏi, Sẻ chia để vươn lên. Hiện nay VNMATH.COM là trang web Toán học có lượt truy cập lớn nhất Việt Nam.

Chia sẻ bài viết này


Bài viết liên quan

Không có nhận xét nào :

Để lại Nhận xét