Đề thi THPT Quốc gia môn Toán năm 2015, De thi thu THPT Quoc Gia nam 2015

You are here: Home »

Like VNMATH on FACEBOOK để ủng hộ VNMATH.

Kĩ thuật tính tích phân nâng cao - P13: Hàm siêu hình học

VNMATH.COM 24 tháng 11, 2013 , 0

Tiếp theo Phần 1 , Phần 2, Phần 3 , Phần 4, Phần 5, Phần 6, Phần 7, Phần 8, Phần 9, Phần 10, Phần 11Phần 12.
Hàm siêu hình học là một mở rộng của việc khai triển thành chuỗi lũy thừa của nhiều hàm số và có nhiều ứng dụng trong tính tích phân.

Trước hết ta định nghĩa hoán vị tổng quát

$$(z)_n = \begin{cases} 1 &\text{ nếu } n = 0 \\ {} \\

\frac{\Gamma(z+n)}{\Gamma(z)}=z(z+1) \cdots (z+n-1) &\text{ nếu } n > 0.

\end{cases}$$

Ta có $(1)_n = 1. 2. 3 \cdots n = n!$ và $(2)_n = 2. 3.4 \cdots (n+1)=(n+1)!$

Dùng khái niệm trên ta định nghĩa hàm siêu hình học Gauss như sau

$${}_2F_1(a,b;c;z) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(a)_n (b)_n}{(c)_n} \frac{z^n}{n!}.$$

1. Biểu diễn các hàm thường gặp thông qua hàm siêu hình học

$ \displaystyle z{}_2F_1 (1,1;2;-z)= z\sum_{n\geq 0}\frac{(1)_n (1)_n}{(2)_n}\frac{(-z)^n}{n!}=\sum_{n\geq 0}\, (-1)^n\frac{ \, n!}{(n+1)!}z^{n+1}$

$=\sum_{n\geq 0}(-1)^{n}\frac{z^{n+1}}{n+1}=\log(1+z) $
$ \displaystyle _2F_1(a,1;1;z)= \sum_{n\geq 0}\frac{(a)_n \, (1)_n}{(1)_n}\frac{z^n}{n!}=\sum_{n\geq 0}\frac{(a)_n }{n!}z^n=(1-z)^{-a}$

$ \displaystyle z \, _2F_1\left(\tfrac{1}{2}, \tfrac{1}{2}; \tfrac{3}{2};z^2\right)=\sum_{n\geq 0}\frac{\left( \frac{1}{2}\right)_n\, \left( \frac{1}{2}\right)_n}{\left( \frac{3}{2}\right)_n}\frac{z^{2n+1}}{n!}$

$= \sum_{n \geq 0}\frac{ \left( \frac{1}{2}\right)_n}{2n+1}\frac{z^{2n+1}}{n!}= \sum_{n \geq 0}\frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (2n-1)}{2^n \, n!\, (2n+1)}z^{2n+1}$.
Hay

$ \displaystyle z \, _2F_1\left(\tfrac{1}{2}, \tfrac{1}{2}; \tfrac{3}{2};z^2\right)= \sum_{n \geq 0}\frac{(2n)!}{4^n \, (n!)^2\, (2n+1)}z^{2n+1}=\sum_{n \geq 0}\frac{{2n \choose n}}{4^n \, (2n+1)}z^{2n+1}= \arcsin(z)$

Giả sử

$ \displaystyle _2 F_1 ( a, b; c; z ) = \sum_{k \geq 0} t_k \,\,\, , \,\,\, t_0 =1 \,\,\,\,\,\,\,\,\, (1)$

Xét tỉ số

$ \displaystyle \frac{t_{k+1}}{t_k} = \frac{(k+a) (k+b) }{(k+c) (k+1)} z \,\,\,\,\,\,\,\,\, (2)$

Từ đó ta có thể tìm các hệ số  $a,b,c $ và $z$ nếu biết chuỗi lũy thừa tương đương với (1).


Ví dụ: Tìm biểu diễn siêu hình học của các hàm

  1. $ \displaystyle f(z) = e^ z $



Khai triển Taylor của nó là


$ \displaystyle f(z) = e^ z= \sum_{k\geq 0} \frac{z^k}{k!}$

Do đó


$ \displaystyle \frac{t_{k+1} }{t_k} = \frac{z}{k+1} $


So sánh với (2) ta có


$ \displaystyle e^z ={} _2 F_1 (-,-;-;z)$
  1. $ \displaystyle f(z) = \cos(z) = \sum_{k\geq 0} \frac{(-1)^k z^{2k}}{(2k)!} $

Tương tự


$ \displaystyle \frac{t_{k+1}}{t_k} = -\frac{1}{(2k+2)(2k+1)}z= \frac{1}{(k+1)\left(k+\frac{1}{2} \right)}\frac{-z^2}{4}$


So sánh với (2) ta có


$ \displaystyle \cos(z)={}_2 F_1 \left(-,- ; \frac{1}{2}; \frac{-z^2}{4} \right)$
  1. $ \displaystyle f(z) = (1-z)^{-a}= \sum_{k\geq 0}\frac{(a)_k}{k!}z^k$


$ \displaystyle \frac{t_{k+1}}{t_k} =\frac{(k+a)}{(k+1)}z= \frac{(k+a)(k+1)}{(k+1)(k+1)}z$

Do đó


$ \displaystyle (1-z)^{-a} ={} _2F_1(a,1;1;z)$


2. Một số biểu diễn tích phân
Tính chất 1.

$ \displaystyle \beta(c-b,b) \, _2F_1(a,b;c;z)=\int_0^1 \frac{t^{b-1}(1-t)^{c-b-1}}{(1-tz)^a}\, dt $

Chứng minh.

Biến đổi vế phải

$ \displaystyle \int_0^1 t^{b-1}(1-t)^{c-b-1} \, (1-tz)^{-a}\, dt $


Dùng khai triển của $ \displaystyle (1-tz)^{-a}$ ta được


$ \displaystyle \int_0^1 t^{b-1}(1-t)^{c-b-1} \sum_{k\geq 0}\frac{(a)_k}{k!}\, (tz)^k $

Từ đó

$ \displaystyle \sum_{k\geq 0}\frac{(a)_k}{k!}\, z^k \, \int_0^1 t^{k+b-1}(1-t)^{c-b-1}\, dt $

Sử dụng hàm beta và đẳng thức  $ \displaystyle \beta(c-b,b) = \frac{\Gamma(b)\Gamma(c-b)}{\Gamma(c)}$ ta có


$ \displaystyle \sum_{n\geq 0}\frac{(a)_k \Gamma(k+b) \Gamma(c-b)}{ \Gamma(k+c)}\, \frac{z^k}{k!} $
Suy ra

$ \displaystyle \beta(c-b,b)\sum_{k\geq 0}\frac{(a)_k \Gamma(k+b) \Gamma(c)}{\Gamma(b) \Gamma(k+c)}\, \frac{z^k}{k!}= \beta(c-b, b) \int^1_0 \frac{(a)_k (b)_k}{(c)_k} \frac{z^k}{k!} $

Đặc biệt khi $ \displaystyle z=1$:

$ \displaystyle _2F_1(a,b;c;1)= \frac{1}{\beta(c-b,b) \,}\int_0^1 \frac{t^{b-1}(1-t)^{c-b-1}}{(1-t)^a}\, dt $


$ \displaystyle _2F_1(a,b;c;1)=\frac{1}{\beta(c-b,b) }\int_0^1 t^{b-1}(1-t)^{c-b-a-1}\, dt =\frac{\beta(b,c-b-a)}{\beta(c-b,b) }=\frac{\Gamma(c-b-a)\Gamma(c)}{\Gamma(c-a)\Gamma(c-b)}$

Còn nữa...

Về VNMATH.COM

VNMATH hoạt động từ năm 2008 với slogan Trao đổi để học hỏi, Sẻ chia để vươn lên. Hiện nay VNMATH.COM là trang web Toán học có lượt truy cập lớn nhất Việt Nam.

Chia sẻ bài viết này


Bài viết liên quan

Không có nhận xét nào :

Để lại Nhận xét