VNMATH giới thiệu Đề thi thử số 3 của Toán học Tuổi trẻ 2014 dăng trên số 437. Đề thi ra bởi thầy Hoàng Gia Hứng, GV THPT Bắc Duyên Hà, Hưng Hà, Thái Bình. Thảo luận ở đây.
Câu 1. Cho hàm số $y=\frac{x}{1-x}$, $(C)$
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
2) Gọi $I$ là tâm đối xứng của đồ thi hàm số $(C)$. Tìm hai điểm $A$, $B$ thuộc đồ thị sao cho tứ giác $OABI$ là hình thang có đáy $AB=3OI$.

Câu 2. Giải phương trình:
$(\sin x+1)(\tan x+\sqrt{3})+2\cos x=0$.

Câu 3. Giải hê phương trình $\begin{cases}\frac{1}{2x}+\frac{x}{y}=\frac{3x+3\sqrt{y}}{4x^2+2y}\\4x+y=\sqrt{2x+6}-2\sqrt{y}.\end{cases}$

Câu 4. Tính tích phân $\int\limits_{1}^{2}\frac{x^2+\ln(x^2 e^x)}{(x+2)^2}dx$.

Câu 5. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thoi cạnh $AB=2a$, $BD=\sqrt{3}AC$, tam giác $SAB$ cân tại $S$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$. Gọi $M$ là trung điểm của $SD$, góc giữa mặt phẳng $(AMC)$ và mặt phẳng $(ABCD)$ bằng $30^\circ$. Tính thể tích khối chóp $S.ABCD$ và khoảng cách giữa $SB$ và $CM$.

Câu 6. Cho $x, y$ là các số thực thỏa mãn $$(x^2+y^2+1)^2+3x^2y^2+1=4x^2+5y^2.$$ Tính giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của biểu thức $$P=\frac{x^2+2y^2-3x^2y^2}{x^2+y^2+1}.$$

Câu 7a. Trong mặt phẳng $Oxy$, cho hai điểm $A(1, 2)$, $B(3, 4)$ và đường thẳng $d: y-3=0$. Viết phương trình đường tròn $(C)$ đi qua hai điểm $A, B$ và cắt đường thẳng $d$ tại hai điểm phân biệt $M, N$ sao cho $\widehat{MAN}=60^\circ$.

Câu 8a. Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $A(2,-1,0)$, đường thẳng $d:\frac{x-2}{1}=\frac{y+1}{-2}=\frac{z}{-1}$ và mặt phẳng $(P): x+y+z-3=0$. Gọi $B$ là giao điểm của $d$ và $(P)$. Tìm tọa độ ddiemr $C$ thuộc $(P)$ sao cho tam giác $ABC$ vuông tại $B$ và $AC=\sqrt{230}$.
Câu 9a. Tìm hai số phức $z_1$ và $z_2$ thỏa mãn
$\begin{cases}4z_1-3 i^{2013}=iz_1+5\\\frac{z_2}{z_1}-z_1^{2013}=4.\end{cases}$
Câu 7b. Trong mặt phẳng $Oxy$, cho tam giác $ABC$ có ba góc nhọn. Gọi $E, F$ lần lượt là chân đường cao hạ từ $B, C$. Đỉnh $A(3, -7)$, trung điểm của $BC$ là điểm $M(-2,3)$ và đường tròn ngoại tiếp tam giác $AEF$ có phương trình $(x-3)^2+(y+4)^2=9$. Xác định tọa độ điểm $B$ và $C$.

Câu 8b. Trong không gian $Oxyz$, cho tam giác $ABC$ với $A(4,0,0)$, $B$ thuộc mặt phẳng $Oxy$, $C$ thuộc tia $Oz$. Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $AOB$. Tìm điểm $M$ thuộc $AC$ sao cho $OM\perp GM$, biết rằng $OB=8$, $\widehat{AOB}=60^\circ$, thể tích khối chóp $OABC$ bằng 8 và $B$ có hoành độ và tung độ dương.

Câu 9b. Giải hê phương trình $\begin{cases}3^x-3^{2-y}+\log_2\frac{x}{2-y}=0\\y^2+11y-xy+2x+1=0.\end{cases}$


Xem thêm các đề thử sức trước kì thi của Toán học Tuổi trẻ năm 2014: Đề thi thử số 2. Đề thi thử số 1.