Đề thi THPT Quốc gia môn Toán năm 2015, De thi thu THPT Quoc Gia nam 2015

You are here: Home »

Like VNMATH on FACEBOOK để ủng hộ VNMATH.

Kĩ thuật tính tích phân nâng cao - P12: Một lớp tích phân lượng giác

VNMATH.COM 1 tháng 10, 2013 , 0

Tiếp theo Phần 1 , Phần 2, Phần 3 , Phần 4, Phần 5, Phần 6, Phần 7, Phần 8, Phần 9, Phần 10Phần 11.
Kĩ thuật tính tích phân nâng cao phần 12: Một lớp tích phân lượng giác
Bổ đề 1
Với \(x\) thích hợp, ta có
\[\begin{align*}\sum_{n=0}^\infty \frac{\cos(n\theta)}{x^{n+1}}&= \frac{x-\cos \theta}{x^2-2x\cos \theta+1} \tag{1}\\ \sum_{n=1}^\infty \frac{\sin(n\theta)}{x^{n+1}}&= \frac{\sin \theta}{x^2-2x\cos \theta+1}\tag{2}\end{align*}\]
Chứng minh. (1) và (2) lần luwotj là phần thực và phần ảo của chuỗi
\[\sum_{n=0}^\infty \left( \frac{e^{i\theta}}{x}\right)^n = \frac{x}{x-e^{i\theta}}\]

Kết quả 1.
Với \(a\) thích hợp, ta có
\[\int_0^{\infty} \frac{a-\cos(x)}{(a^2-2a\cos x+1)(1+x^2)}dx = \frac{\pi e}{2(ae-1)}\tag{3}\]

Chứng minh.
Theo Bổ đề 1,
\[\begin{align*}\int_0^\infty \frac{a-\cos(x)}{(a^2-2a\cos x+1)(1+x^2)}dx &= \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{a^{n+1}}\int_0^\infty \frac{\cos(n x)}{1+x^2} dx \\&= \frac{\pi}{2a}\sum_{n=0}^\infty \left( \frac{1}{ae}\right)^n \\ &=\frac{\pi}{2a}\left( \frac{1}{1-\frac{1}{ae}}\right) \\ &= \frac{\pi e}{2(ae-1)}\end{align*}\]

Kết quả 2.
Ta có
\[\int_0^\infty \frac{a-\cos (x)}{a^2-2a \cos x +1}\cdot \frac{1}{1+x^4}dx\]
\[=\frac{\pi}{2\sqrt{2}}\exp \left( \frac{1}{\sqrt{2}}\right)\frac{a \exp \left(\frac{1}{\sqrt{2}} \right)+\sin \left( \frac{1}{\sqrt{2}}\right)-\cos \left( \frac{1}{\sqrt{2}}\right)}{1-2a \exp \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\cos \left( \frac{1}{\sqrt{2}}\right) +a^2 \exp \left(\sqrt{2}\right)} \tag{4}\]
Chứng minh.

Theo Bổ đề 1,

\begin{align*}
\int_0^\infty \frac{a-\cos (x)}{a^2-2a \cos x +1}\cdot \frac{1}{1+x^4}dx &= \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{a^{n+1}}\int_0^\infty \frac{\cos(nx)}{1+x^4}dx \\
&= \frac{\pi}{2\sqrt{2}}\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{a^{n+1}}\left\{ e^{-n/\sqrt{2}} \left( \cos \frac{n}{\sqrt{2}}+\sin \frac{n}{\sqrt{2}}\right)\right\} \\
&= \frac{\pi}{2\sqrt{2}} \left[ \Re \sum_{n=0}^\infty \frac{e^{-n(1+i)/\sqrt{2}}}{a^{n+1}}+\Im \sum_{n=0}^\infty \frac{e^{-n(1+i)/\sqrt{2}}}{a^{n+1}}\right]
\end{align*}
$$= \frac{\pi}{2\sqrt{2}}\exp \left( \frac{1}{\sqrt{2}}\right)\frac{a \exp \left(\frac{1}{\sqrt{2}} \right)+\sin \left( \frac{1}{\sqrt{2}}\right)-\cos \left( \frac{1}{\sqrt{2}}\right)}{1-2a \exp \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\cos \left( \frac{1}{\sqrt{2}}\right) +a^2 \exp \left(\sqrt{2} \right)}$$
Ví dụ 1.
Thay \(a=2\) trong Kết quả 2, ta được

\(\displaystyle \int_0^\infty \frac{2-\cos x}{5-4\cos x}\times \frac{1}{1+x^4}dx=\frac{\pi}{2\sqrt{2}}\exp \left( \frac{1}{\sqrt{2}}\right)\frac{2 \exp \left(\frac{1}{\sqrt{2}} \right)+\sin \left( \frac{1}{\sqrt{2}}\right)-\cos \left( \frac{1}{\sqrt{2}}\right)}{1-4 \exp \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\cos \left( \frac{1}{\sqrt{2}}\right) +4 \exp \left(\sqrt{2} \right)}\)

Mathematica không thể tính tích phân này.

Bổ đề 2.
\[
\begin{align*}
\sum_{n=1}^\infty \frac{n \cos(n \theta)}{x^{n+1}} &= \frac{\cos \theta (1+x^2)-2x}{\left(x^2-2x\cos \theta+1 \right)^2}
\end{align*}
\]

Kết quả 3.
\(\displaystyle \int_0^\infty \frac{1}{(1-2a\cos x+a^2)(1+x^2)}dx =\frac{\pi (e^2-1)}{2(e-a)(ae-1)} \left\{\frac{a}{a^2-1}-\frac{e}{e^2-1}\right\} \tag{5}\)

Chứng minh.
\[
\begin{align*}
\int_0^\infty \frac{1}{(1-2a\cos x+a^2)(1+x^2)}dx &= \frac{1}{2}\sum_{n=-\infty}^{+\infty} \int_{2\pi n}^{2\pi (n+1)} \frac{1}{(1-2a\cos x+a^2)(1+x^2)}dx \\
&= \frac{1}{2} \sum_{n=-\infty}^{+\infty} \int_0^{2\pi}\frac{1}{(1-2a\cos x+a^2)(1+(x+2\pi n)^2)}dx \\
&= \frac{1}{2} \int_0^{2\pi} \frac{1}{1-2a\cos x+a^2}\sum_{n=-\infty}^{+\infty} \frac{1}{1+(x+2\pi n)^2}dx
\end{align*}\]
$$=\frac{1}{4}\tanh\left( \frac{1}{2}\right) \int_0^{2\pi} \frac{\sec^2 \frac{x}{2}}{(a^2-2a\cos x+1)\left( \tan^2 \frac{x}{2}+\tanh^2 \frac{1}{2}\right)}dx$$
$$= \frac{\pi (1+e)^2}{2(e-a)(ae-1)}\tanh\left( \frac{1}{2}\right) \left\{\frac{a}{a^2-1}-\frac{e}{e^2-1}\right\}$$


Kết quả 4.
\(\displaystyle \int_0^\infty \frac{\cos x}{1-2a \cos x+a^2} \times \frac{1}{1+x^2}dx \)
\[= \frac{a\pi (e^2-1)}{2(e-a)(ae-1)} \left\{\frac{a}{a^2-1}-\frac{e}{e^2-1}\right\}-\frac{\pi e}{2(ae-1)} \tag{6}\]

Ví dụ 2.
\(\displaystyle \int_0^\infty \frac{\cos x}{5-4\cos x} \times \frac{1}{1+x^2}dx = \frac{\pi }{2e-1}\left[ \frac{e^2-1}{e-2}\left\{ \frac{2}{3}-\frac{e}{e^2-1}\right\}-\frac{e}{2} \right]=0.5568468705 \cdots\)
Mathematica không thể tính tích phân này.
Còn nữa...

Về VNMATH.COM

VNMATH hoạt động từ năm 2008 với slogan Trao đổi để học hỏi, Sẻ chia để vươn lên. Hiện nay VNMATH.COM là trang web Toán học có lượt truy cập lớn nhất Việt Nam.

Chia sẻ bài viết này


Bài viết liên quan

Không có nhận xét nào :

Để lại Nhận xét