Đề thi THPT Quốc gia môn Toán năm 2015, De thi thu THPT Quoc Gia nam 2015

You are here: Home »

Like VNMATH on FACEBOOK để ủng hộ VNMATH.

Giới thiệu số p-adic - một công cụ toán học cho lý thuyết thống nhất - Phần 1

VNMATH.COM 16 tháng 10, 2013 , 0

Phần I: Ứng dụng vào CHLT(Cơ học Lượng tử) & MTĐĐ( Môi trường đông đặc).

Một trong những vấn đề được các nhà khoa học đặc biệt chú ý đến gần đây là ứng dụng các số p-adic vào vật lý học và nhiều lĩnh vực khoa học khác.
Kurt Hensel (1861-1941) nhà toán học Đức, sinh ở Kaliningrad, Nga đã tìm ra các số p-adic. 

Các số p-adic được  nhà toán học Kurt Hensen  tìm ra từ cuối thế kỷ 19 (năm 1897 ) để bổ sung cho tập các số thực , hữu tỷ, số phức. Các số p-adic dẫn đến metric không-Archimedean thích hợp cho sự mô tả không- thời gian rời rạc. Cùng với vẻ đẹp toán học, các số p-adic  trở thành một công cụ hữu hiệu giúp các nhà vật lý mô tả chính xác hơn thế giới khách quan trong nhiều lĩnh vực từ vi mô đến vĩ mô: cơ học lượng tử, lý thuyết dây, môi trường đông đặc, vũ trụ học,... và  khoa học nhận thức. 

Bài viết được sắp xếp theo hình cây  sau đây và gồm hai phần I & II:




1. Tổng quan


Các trường Qp của các số p-adic (trong đó p=2,3,...1999,... là những số nguyên tố) lần đầu tiên được đưa vào toán học bởi nhà toán học Đức K.Hensel  cuối thể kỷ 19 (hình 1). Trường số Qp sẽ được trình bày ngắn gọn ở mục 2.


Lý thuyết  các số p-adic được ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau. Những nghiên cứu cơ bản đầu tiên là những nguyên cứu xây dựng giải tích p-adic  tức là giải tích trên các số p-adic: các phép tính vi phân, phương trình vi phân, tích phân, các hàm giải tích, biến đổi Fourier, lý thuyết nhóm... được tiến hành bởi nhiều nhà toán học.


Sau đó p-adic được ứng dụng trong vật lý. Năm 1987 xuất hiện công trình ứng dụng p-adic vào lý thuyết dây. Các nhà vật lý cảm thấy không-thời gian ở những khoảng cách Planck (lP = 10-34 cm) có những tính chất đặc biệt không thể mô tả được bởi những mô hình toán học dựa trên trường các số thực R trong lúc đó thì trường các số p-adic Qp lại tỏ ra thích hợp hơn.


Một lý do nữa để sử dụng Qp là trường các số này là trường không-Archimedean và không thời gian ở kích thước Planck có thể cũng là không-Archimedean. Các số p-adic cũng được ứng dụng trong spin glass thuộc lĩnh vực vật lý các môi trường đông đặc. Hiện nay các số p-adic lại được ứng dụng rộng rãi vào khoa học nhận thức (cognitive sciences) và tâm lý học.[1]

2. Thế nào là số p-adic?


Như chúng ta biết trong lý thuyết số có nhiều loại số. Số tự nhiên (natural-nguyên không âm) N, số nguyên Z, số hữu tỷ Q, các số thực R và các số phức C.


Song người ta còn tìm thấy một loại số gọi là số p-adic.Tập các số p-adic là sự mở rộng tập các số hữu tỷ. Định lý Ostrowski phát biểu rằng các số p-adic đã vét cạn mọi cách mở rộng số hữu tỷ.

Người ta viết một số p-adic bằng một dãy nhiều digit ai, mỗi digit có thể lấy các trị số từ 0 ,... đến p-1 và ta viết dãy các digit đó như sau: ...ai...a2a1a0


Những phép toán cộng, trừ, nhân, chia được trình bày dễ hiểu trong các tài liệu [2a],[2b].

Nói chung ta có  x=Tổng aipi   (i=  k,...) (lũy thừa tăng từ trái sang phải) với k là một số nguyên âm hay dương. Nếu ai =0 lúc i < 0 thì ta có số nguyên p-adic.

Tô pô và metric


Để tìm định giá (absolute value) của một số p-adic ta làm như sau. Cho n là một số nguyên thì ta trước hết tìm số mũ u của lũy thừa bậc cao nhất của p (mà n chia đúng cho pu), và gọi số mũ đó là  up(n).


Bây giờ ta định nghĩa định giá (giá trị tuyệt đối) của một số hữu tỷ r là   |r|p = p-up(r).      


Trong khi định giá thỏa mãn bất đẳng thức tam giác |x+y| ≤ |x| + |y| (định giá Archimedean), thì định giá  |r|p thỏa mãn bất đẳng thức tam giác mạnh hơn x+y| ≤ |x+y|p ≤ max (|x|p, |y|p) (định giá không-Archimedean). Tiếp theo ta đưa vào metric (khoảng cách giữa hai số hữu tỷ r và r’) là  dp(r’,r)  = |r’-r|p.


Metric này xác định tô pô của không gian p-adic. Metric p-adic còn được gọi là siêu metric (ultrametric). Có thể chứng minh rằng trong không gian siêu metric thì metric thỏa mãn bất đẳng thức tam giác mạnh và trong không gian siêu metric ta không thể có được một tam giác với 3 cạnh không bằng nhau ở đây chúng ta chỉ có thể xây dựng những tam giác cân mà thôi nghĩa là phải có hai cạnh bằng nhau.


Một số tính chất chung của các số p-adic



Như vậy ngoài các số thực các nhà toán học đã tìm ra các số p-adic để lấp chỗ trống giữa các số nguyên và các phân số nguyên (integer fraction) để có được một dãy số  không còn gián đoạn  (định lý Ostrowski).


Xét 3 số p-adic ta có thể hình dung chúng như ba góc của một hình tam giác. Lạ thay là ít nhất 2 cạnh của một tam giác phải bằng nhau. Đối với số p-adic (khác với số thường) không cho phép chúng ta tự do xây dựng một tam giác với 3 cạnh khác nhau.


Ngoài ra khoảng cách là hữu hạn, không có vi phân p-adic hay nói cách khác không có khoảng cách vô cùng nhỏ như dx và   dy mà chúng ta học trong trường. Như vậy người ta nói p-adic là   không-Archimedean. Các nhà toán học phải xây dựng môn giải tích mới p-adic.


Các nhà vật lý cũng nghĩ rằng vũ trụ có một độ dài nhỏ nhất khả dĩ đó là độ dài Planck, dưới dộ dài đó hấp dẫn mạnh đến nỗi khái niệm về không gian mất hết ý nghĩa. Số thực dẫn đến những khoảng cách có khả năng tiến đến không như vậy không thích hợp cho một không gian rời rạc, sử dụng chúng có thể vi phạm những đối xứng của vật lý hiện đại.


Viết lại các phương trình sử dụng p-adic các nhà lý thuyết hy vọng nắm bắt được tính rời rạc của không thời gian một cách có hệ thống như Igor Volovich (Viện toán học Steklov, Moscow) đã chỉ rõ năm 1987.


Khó lòng tưởng tượng đến tình huống ở đấy tiên đề Archimedean không còn đúng nữa, tuy nhiên tiên đề này thật sự không còn áp dụng được nữa trong các khoảng cách Planck (10-33 cm , 10-44s). Nói cách khác ta phải chia tay với tiên đề Archimedean để du nhập tiên đề không-Archimedean ở những khoảng cách nhỏ.


Theo định lý Ostrowski mọi định giá trên Q là định giá thông thường hoặc là định giá p-adic (với p là một số nguyên tố). Trường p-adic là không-Archimedean và việc xây dựng vật lý trên Qp thay vì trên Q là cần thiết. Tồn tại một bất định thức hấp dẫn khi chúng ta tiến hành những phép đo chung quanh những khoảng cách  Planck l0 . Điều này buộc chúng ta hạn chế ưu tiên của hình học Archimedean dựa trên những số thực mà phải sử dụng hình học không-Archimedean gắn liền với các số p-adic.

3. Ứng dụng vào CHLT


Người ta đã ứng dụng giải tích p-adic vào lý thuyết dây và lý thuyết trường lượng tử. Nhiều nhà vật lý cho rằng hình học và tô pô của vùng không gian dưới độ dài Planck có thể không còn các tính chất của hình học và tô pô thông thường. Một lý do quan trọng khác để áp dụng giải tích p-adic vào vật lý học liên quan đến những đại lượng  phân kỳ trong tính toán vốn là những đại lượng gây tai họa trong lý thuyết trường lượng tử. Đây là một bài toán lớn. Nhờ ứng dụng p-adic giải tích người ta có hy vọng giải quyết bài toán các phân kỳ đó, như thế thủ thuật tái chuẩn hóa (renormalization) vốn là một thủ thuật không đẹp sẽ không còn chỗ đứng nữa.


Cơ học lượng tử (CHLT) p-adic là một ứng dụng giải tích p-adic (p-adic analysis) vào CHLT.


Trong cơ học ta dùng R (số thực) trong CHLT ta dùng các số phức C.


Các số p-adic Qp là sự mở rộng các tập số trên. Theo định lý Ostrowski các tập R và  Qp vét cạn (exhaust) mọi mở rộng của Q (số hữu tỷ).


Dùng tổ hợp adele (số thực + số p-adic) ta có hy vọng mô tả một hệ toàn diện  hơn là dùng các số thông thường.


Một adele là một dãy vô cùng như sau kết hợp p-adic và R
a=(aR,a2,...ap,...)

trong đó aR thuộc về R còn ap thuộc về Qp (xem hình 2).




Hình 2. Tập adelic


Các số p-adic với các tính chất không-Archimedean có thể thực hiện trong những hệ lượng tử ở các khoảng cách rất ngắn. Khả năng không – thời gian ở kích cỡ Planck biểu hiện những cấu trúc p-adic và adelic.


Không gian Hilbert L2(Qp) chứa những hàm phức  trên Qp. Và ta có toán tử tiến triển (evolution) Up(t) tác dụng lên L2(Qp).


Các hàm cơ bản p-adic như expx, sinx, cosx được cho dưới dạng các dãy như trong trường hợp R. Đạo hàm các hàm p-adic được định nghĩa như trong trường hợp R song với giá trị tuyệt đối p-adic thay vì giá trị tuyệt đối thông thường.


Tồn tại một số định lý toán học để chuyển từ R giải tích sang p-adic giải tích, đây là một sự mở rộng đương nhiên từ giải tích R và Q sang giải tích R và   Qp và từ giải tích trên R và   Qp sang giải tích trên A.


Bài toán trị riêng trong CHLT được mô tả bởi phương trình
fa(x) =Ea(t) fa(x),
fa(x) là các hàm riêng adelic còn Ea là năng lượng adelic.

Các kết quả tính toán trong[3] cho trường hợp dao động tử dẫn đến kết quả:

Hàm f(x,t) adelic chứa nhiều thông tin hơn hàm fR(xR,tR) thông thường.

Hàm adelic f(x,t) trình bày một cấu trúc rời rạc của không gian tại độ dài l0 và tọa độ x chỉ có thể lấy những trị số gián đoạn. Để kiểm nghiệm điều này phải xét hệ ở những kích thước l0.


Ở những kích thước thực lớn nhiều lần hơn l0 các hiệu ứng p-adic bị che khuất và CHLT adelic được quy về CHLT thông thường.


Như vậy CHLT thông thường có thể xem như một xấp xỉ hữu hiệu của CHLT adelic.

Chúng ta có thể tổng quát hóa khái niệm vật chất: các hạt thực (real) và p-adic thuộc về hai thành phần khác nhau là thực và p-adic của không gian adelic và chúng có thể không tương tác với nhau.  Các hạt adelic không bền vững và phân rã thành các hạt real và p-adic.

4. Siêu metric xuất hiện trong spin glass (môi trường đông đặc)

Thế nào là spin glass?[4a,4b,4c]


Spin glass (SG) là một vật liệu từ vô trật tự với những spin nằm hỗn độn (hình 3). SG khác vật liệu sắt từ (FM-ferromagnetic) ở chỗ sau khi đã lấy đi từ trường ngoài thì  sắt từ vẫn giữ được vĩnh viễn từ tính (magnetization).   




Hình 3.  Phía trên là biểu diễn sơ đồ của  cấu trúc không trật tự của spin glass (SG) và phía dưới là cấu trúc trật tự của sắt từ (ferromagnet).


Còn vật liệu thuận từ (PM-paramagnetic) khác SG ở chỗ sau khi lấy đi từ trường ngoài thì thuận từ có từ tính giảm đi về số không nghĩa là không còn từ tính tồn dư (xem hình 4).




Hình 4.  Sơ đồ pha của một mô hình spin glass tiêu biểu.Trên hình vẽ ta có ba pha: PM-paramagnetic,FM –ferromagnetic và Spin Glass (SG)


Sự khác nhau giữa PM và SG có thể được hình dung như sau: nếu chụp ảnh  hướng của các spin của PM và SG thì chúng ta thấy hướng các spin hỗn độn như nhau. Song nếu tiếp sau đó chụp một ảnh khác thì ta thấy bức ảnh này giống bức ảnh trước đối với SG song đối với PM thì ta có một bức ảnh khác, nói cụ thể hơn trong SG các spin giữ lại hướng trong một thời gian  dài.                

Hamilton của SG trong mô hình Edwards-Anderson (EA) có dạng:




Tổng ở đây lấy các vị trí gần nhau nhất của mạng, còn trong mô hình Sherrington-Kirkpatrick (SK) mặc dầu người ta vẫn lấy tương tác giữa hai spin song tầm tương tác có thể là vô cùng (cỡ kích thước của mạng).


Trong đó các spin là các bậc tự do còn các hệ số tương tác (couplings) là những biến số tuân theo một xác suất phân bố.


Các đại lượng đều phụ thuộc vào J. Nếu muốn lấy trung bình của năng lượng tự do  theo J ta phải lấy tích phân theo J.


Tích phân này khó thực hiện. Để tính tích phân này người ta sử dụng thủ thuật gọi là   thủ thuật phiên bản (replica trick): nhân hệ thành n phiên bản, sau đó tính tích phân và tiếp theo cho n tiến đến không.


Độ chồng chéo (overlap) giữa hai phiên bản  a và   b  khác nhau là   Qab.

Trong tiếp cận phiên bản (replica) thông số trật tự là một ma trận n x n: Qab.

Khi n tiến đến số không thì ma trận Q được đặc trưng bởi hàm Q(x) trùng với với hàm q(x) = độ chồng chéo giữa hai trạng thái ban đầu.


Trong một SG thực đối xứng phiên bản phải bị phá vỡ, điều đó có nghĩa là ta không có ma trận chéo vì lúc này ta chỉ có một trạng thái với độ tự chồng chéo (self-overlap). Do đó trong thực tại phải có một ma trận Qab phức tạp hơn dẫn đến sự tồn tại của nhiều trạng thái.


Sau đây là phương thức Parisi để mô tả sự phá vỡ có thứ bậc của đối xứng phiên bản.

(1) Trước hết chia n phiên bản thành n/m1 cụm (clusters), mỗi cụm chứa m1 phiên bản. Hai phiên bản với a khác b trong cùng một cụm có độ chồng chéo là   Qab = q1 trong khi đó phiên bản trong các cụm khác nhau có độ chồng chéo Qab= q0 nhỏ hơn hay bằng q1.  

(2) Lại chia mỗi cụm  kích thước m1 thành m1/m2 cụm con, mỗi cụm con này chứa m2 phiên bản, hai phiên bản trong một cụm con có độ chồng chéo q1 nhỏ hơn hay bằng q2.

Và tiếp tục quá trình đó cuối cùng ta có (hình 5).




Hình 5. Phương thức Parisi để phân các phiên bản thành cụm (cluster)


Độ chồng chéo càng nhỏ có nghĩa là hai phiên bản tương ứng càng ở xa nhau (cho nên q có ý nghĩa như là “khoảng cách” tức metric).


Ma trận thu được trong quá trình trên được mô tả bởi một cây thế hệ (hình 6).




Hình 6.   Phương thức phá vỡ đối xứng phiên bản của Parisi với n =12 , m1=6 , m2=2. Các chỉ số phiên bản a,b = 1,...12 là điểm cuối của các cành.


Trị số của yếu tố ma trận Qab là   q0 , q1 hoặc q2 phụ thuộc vào tổ tiên chung gần nhất  của a và b. Ví dụ Q61 = q1, Q67 = q0. Phiên bản 6 trông như ở gần phiên bản 7 hơn là phiên bản 1, song thực tế vì q1> q0 cho nên độ chồng chéo giữa 6 và 1 lớn hơn điều đó cũng có nghĩa là 6 và 1 gần nhau hơn.


Ta thấy rõ từ cây thế hệ rằng nếu xét ba phiên bản a, b, c thì hai trong 3 độ chồng chéo Qab, Qbc và Qac phải bằng nhau.


Ví dụ Q36=q1,Q39=q0,Q96=q0.


Đó chính là những đặc trưng của cấu trúc siêu metric (ultrametric) và siêu metric xuất hiện trong SG. Từ đó nhiều mô hình p-adic về SG đã được xây dựng [4d].


Còn tiếp Phần II: Ứng dụng vào Vũ trụ học và Khoa học nhận thức).   


                

---------------
[1] Andrei Khrennikov,p-adic discrete dynamical systems and their

applications in physics and cognitive sciences,arXiv:nlin/0402042v1 [nlin.AO]23 Feb 2004.

[2a]  David A.Madore. A first introduction to p-adic numbers

[2b] Lovisa Nordlöf,Differential Calculus over Number Fields

(Real, complex, p-adic)

[3]  Goran S. Djordjevi´c  and Branko Dragovich, p-adic and adelic harmonic oscillator with time-dependent frequency,  arXiv:quant-ph/0005027v,6 May 2000

[4a] Tommaso Castellani, Andrea Cavagna,Spin glass Theory for pedestrians

arXiv :cond-matter/0505032v[cond-mat,dis-nn] 2 May 2005

[4b] DJ Gross,M.Mezard, The simplest Spin Glass,Nuclear Physics B240[FS12] 431-452

[4c]  M.Mezard, G.Parisi,N.Sourlas, G.Toulouse &M.Virasoro,Replica symmetry breaking and the nature of spin glass phase , J.Physique 45(1984) 843-854

[4d] V.A.Avetisov, A.H.Bikulov, S.V. Kozyrev, Application of p-adic models of spontaneous breaking of the replica symmetryarXiv:cond-mat/9904360v1 [cond-mat.dis-nn] 26 Apr 1999



Về VNMATH.COM

VNMATH hoạt động từ năm 2008 với slogan Trao đổi để học hỏi, Sẻ chia để vươn lên. Hiện nay VNMATH.COM là trang web Toán học có lượt truy cập lớn nhất Việt Nam.

Chia sẻ bài viết này


Bài viết liên quan

Không có nhận xét nào :

Để lại Nhận xét