Đề thi THPT Quốc gia môn Toán năm 2015, De thi thu THPT Quoc Gia nam 2015

You are here: Home »

Like VNMATH on FACEBOOK để ủng hộ VNMATH.

Kĩ thuật tính tích phân nâng cao - Phần 10: Hàm số Clausen

VNMATH.COM 17 tháng 9, 2013 , 0

Tiếp theo Phần 1 , Phần 2, Phần 3 , Phần 4, Phần 5, Phần 6, Phần 7, Phần 8Phần 9.

Trong bài này ta tìm hiểu chi tiết hơn  về hàm số Clausen (đã giới thiệu qua ở Phần 8) cũng như mối liên hệ của nó với một số hàm đặc biệt khác như  hàm Gamma Functions, hàm Zeta, hàm Polylogarit và ứng dụng nó vào việc tính tích phân.
Hàm số Clausen được định nghĩa bởi nhà Toán học và thiên văn người Đan Mạch Thomas Clausen. Nó có dạng như sau:

Tuy nhiên, ta quan tâm tới các dạng tổng quát  của hàm số Clausen \(\displaystyle \text{Cl}_m(\theta)\,\) và \(\displaystyle \text{Sl}_m(\theta)\,\), các hàm Clausen bậc $m$ được định nghĩa như sau:

\(\displaystyle \text{Cl}_m(\theta) =
\begin{cases}
\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\sin k\theta}{k^m} & \text{nếu }m\text{ chẵn} \\
\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\cos k\theta}{k^m} & \text{nếu }m\text{ lẻ}
\end{cases}\)


\(\displaystyle \text{Sl}_m(\theta) =
\begin{cases}
\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\cos k\theta}{k^m} & \text{nếu }m\text{ chẵn} \\
\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\sin k\theta}{k^m} & \text{nếu }m\text{ lẻ}
\end{cases}\)


Ta bắt đầu khám phá các tính chất của hàm số Clausen qua các công thức lượng giác cơ bản. Chẳng hạn, xét hiệu

\(\displaystyle \text{Cl}_{2m}(\theta)-\text{Cl}_{2m}(\pi-\theta)=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\sin k\theta}{k^{2m}}-\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\sin k(\pi-\theta)}{k^{2m}}=\)


\(\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}\frac{\sin k\theta}{k^{2m}}-\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(\sin\pi k\cos k\theta-\cos\pi k\sin k\theta)}{k^{2m}}=\)


\(\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}\frac{\sin k\theta}{k^{2m}}+\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(\cos\pi k\sin k\theta)}{k^{2m}}=\)


\(\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}\frac{\sin k\theta}{k^{2m}}+\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^k\frac{\sin k\theta}{k^{2m}}=\)


\(\displaystyle 2\,\left(\frac{\sin 2\theta}{2^{2m}}+\frac{\sin 4\theta}{4^{2m}}+\frac{\sin 6\theta}{6^{2m}}+\cdots\,\right)=\)


\(\displaystyle \frac{2}{2^{2m}}\,\left(\sin 2\theta+\frac{\sin 4\theta}{2^{2m}}+\frac{\sin 6\theta}{3^{2m}}+\cdots\,\right)=\frac{1}{2^{2m-1}}\text{Cl}_{2m}(2\theta)\)

Từ đó ta có kết quả đầu tiên:

KQ1.  Công thức nhân đôi cho hàm Clausen bậc chẵn

\(\displaystyle \text{Cl}_{2m}(2\theta)=2^{2m-1}\left[\text{Cl}_{2m}(\theta)-\text{Cl}_{2m}(\pi-\theta)\right]\)

Trong công thức trên thay \(\displaystyle \theta\,\) bởi $x$, và lấy tích phân hai vế ta có

\(\displaystyle \int_0^{\varphi}\text{Cl}_{2m}(2x)\,dx=2^{2m-1}\left[\int_0^{\varphi}\text{Cl}_{2m}(x)\,dx-\int_0^{\varphi}\text{Cl}_{2m}(\pi-x)\,dx\right]\)

Vế trái có thể viết lại

\(\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^{2m}}\,\int_0^{\varphi}\sin 2kx\,dx=-\frac{1}{2}\,\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^{2m+1}}\Big[\cos 2kx\Big]_0^{\varphi}=\)


\(\displaystyle -\frac{1}{2}\,\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\cos 2k\varphi}{k^{2m+1}}+\frac{1}{2}\,\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^{2m+1}}=\frac{1}{2}\,[\zeta(2m+1)-\text{Cl}_{2m+1}(2\varphi)]\)


Vế phải bằng


\(\displaystyle 2^{2m-1}\,\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^{2m}}\int_0^{\varphi}\left[\sin kx-\sin k(\pi-x)\right]\,dx=\)


\(\displaystyle 2^{2m-1}\,\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^{2m+1}}\Big[-\cos kx+\cos k(\pi-x)\Big]_0^{\varphi}=\)


\(\displaystyle 2^{2m-1}\,\sum_{k=1}^{\infty}\frac{[\cos k(\pi-\varphi)-\cos k\varphi]}{k^{2m+1}}=2^{2m-1}[\text{Cl}_{2m+1}(\pi-\varphi)-\text{Cl}_{2m+1}(\varphi)]\)

Từ đó ta có công thức nhân đôi cho hàm Clausen bậc lẻ


KQ2.

\(\displaystyle \text{Cl}_{2m+1}(2\theta)=\zeta(2m+1)+2^{2m}\left[\text{Cl}_{2m+1}(\theta)-\text{Cl}_{2m+1}(\pi-\theta)\right]\)

Từ hai công thức trên ta có thể suy ra một giá trị cụ thể của hàm Clausen.


\(\displaystyle \text{Cl}_{2m}(2\theta)=2^{2m-1}\left[\text{Cl}_{2m}(\theta)-\text{Cl}_{2m}(\pi-\theta)\right]\)
Thay \(\displaystyle \theta=0\,\) ta có kết quả hiển nhiên:


\(\displaystyle \text{Cl}_{2m}(0) = 0\)


\(\displaystyle \text{Cl}_{2m}(\pi n) = 0\)

Thay \(\displaystyle \theta=\pi/3\,\) ta được


\(\displaystyle \text{Cl}_{2m}(\pi/3)=\frac{(1+2^{2m-1})}{2^{2m-1}}\text{Cl}_{2m}(2\pi/3)\)


Tương tự thay \(\displaystyle \theta=\pi/4\,\) thì


\(\displaystyle \text{Cl}_{2m}(\pi/2)=2^{2m-1}\text{Cl}_{2m}(\pi/4)-2^{2m-1}\text{Cl}_{2m}(3\pi/4)\)

Giái trị của hàm Clausen ở vế trái có thể biểu diễn theo hàm Beta Dirichlet Beta

\(\displaystyle \beta(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^x}\)

như sau

\(\displaystyle \text{Cl}_{2m}(\pi/2)=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\sin (\pi k/2)}{k^{2m}}=1-\frac{1}{3^{2m}}+\frac{1}{5^{2m}}-\frac{1}{7^{2m}}+\,\cdots\, =\beta(2m)\)

Tóm lại ta có

KQ 3.

\(\displaystyle \text{Cl}_{2m}(0) = 0\)


\(\displaystyle \text{Cl}_{2m}(\pi n) = 0\)


\(\displaystyle \text{Cl}_{2m}(\pi/2) = \beta(2m)\)


\(\displaystyle \text{Cl}_{2m}(\pi/3)=\frac{(1+2^{2m-1})}{2^{2m-1}}\text{Cl}_{2m}(2\pi/3)\)


\(\displaystyle \text{Cl}_{2m}(\pi/4)=\frac{\beta(2m)}{2^{2m-1}}+\text{Cl}_{2m}(3\pi/4)\)

Tiếp tục, áp dụng công thức nhân đôi ta có công thức nhân bốn

\(\displaystyle \text{Cl}_{2m}(2\theta)=2^{2m-1}\left[\text{Cl}_{2m}(\theta)-\text{Cl}_{2m}(\pi-\theta)\right]\)

Suy ra
\(\displaystyle \text{Cl}_{2m}(4\theta)=2^{2m-1}\left[\text{Cl}_{2m}(2\theta)-\text{Cl}_{2m}(\pi-2\theta)\right]=\)


\(\displaystyle 2^{2m-1}\left[2^{2m-1}\left(\text{Cl}_{2m}(\theta)-\text{Cl}_{2m}(\pi-\theta)\right)\right]-2^{2m-1}\text{Cl}_{2m}(2(\pi/2-\theta))=\)


\(\displaystyle 4^{2m-1}\left[\text{Cl}_{2m}(\theta)-\text{Cl}_{2m}(\pi-\theta)\right]-4^{2m-1}\left[\text{Cl}_{2m}(\pi/2-\theta)-\text{Cl}_{2m}(\pi/2+\theta)\right]\)

KQ4.
\(\displaystyle \text{Cl}_{2m}(4\theta)=4^{2m-1}\left[\text{Cl}_{2m}(\theta)-\text{Cl}_{2m}(\pi-\theta)
-\text{Cl}_{2m}\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)+\text{Cl}_{2m}\left(\frac{\pi}{2}+\theta\right)\right]\)

Trong kết quả 4, cho \(\displaystyle \theta=\pi/8\,\) ta có

\(\displaystyle \text{Cl}_{2m}\left(\frac{\pi}{2}\right)=4^{2m-1}\left[\text{Cl}_{2m}\left(\frac{\pi}{8}\right)-\text{Cl}_{2m}\left(\frac{7\pi}{8}\right)
-\text{Cl}_{2m}\left(\frac{3\pi}{8}\right)+\text{Cl}_{2m}\left(\frac{5\pi}{8}\right)\right]\)
Từ đó, ta có kết quả tiếp theo.

KQ5. \(\displaystyle \text{Cl}_{2m}\left(\frac{\pi}{8}\right)
-\text{Cl}_{2m}\left(\frac{3\pi}{8}\right)
+\text{Cl}_{2m}\left(\frac{5\pi}{8}\right)
-\text{Cl}_{2m}\left(\frac{7\pi}{8}\right)=\frac{\beta(2m)}{4^{2m-1}}\)


Đặc biệt, \(\displaystyle \text{Cl}_{2}\left(\frac{\pi}{8}\right)
-\text{Cl}_{2}\left(\frac{3\pi}{8}\right)
+\text{Cl}_{2}\left(\frac{5\pi}{8}\right)
-\text{Cl}_{2}\left(\frac{7\pi}{8}\right)=\frac{\beta(2)}{4}=\frac{G}{4}\)

Còn nữa...

Về VNMATH.COM

VNMATH hoạt động từ năm 2008 với slogan Trao đổi để học hỏi, Sẻ chia để vươn lên. Hiện nay VNMATH.COM là trang web Toán học có lượt truy cập lớn nhất Việt Nam.

Chia sẻ bài viết này


Bài viết liên quan

Không có nhận xét nào :

Để lại Nhận xét