Đề thi THPT Quốc gia môn Toán năm 2015, De thi thu THPT Quoc Gia nam 2015

You are here: Home »

Like VNMATH on FACEBOOK để ủng hộ VNMATH.

Hình học và các loại hình học - Phần 5: Tô-pô

VNMATH.COM 7 tháng 9, 2013 , 0

Tiếp theo các câu hỏi vấn đáp của Phần 1 | Phần 2 | Phần 3 | Phần 4.

80. Có phải đa tạp là một khái niệm tổng quát hơn?
Tên gọi đa tạp mang tính khái quát hơn và chính xác hơn thuật ngữ “không gian”.
Một đa tạp đại khái giống như một lớp.
Một mặt phẳng là một lớp gồm tất cả những điểm được xác định duy nhất bởi hai tọa độ, và do đó nó là một đa tạp hai chiều.
Tương tự, không gian của hình học tọa độ ba chiều có thể được xem là đa tạp ba chiều vì ba tọa độ là cần thiết để cố định những điểm nằm trong đó.
Nếu cần $n$ con số hay tọa độ để cố định mỗi nguyên tố của một đa tạp, dù nó là không gian hay một lớp bất kì nào khác, thì nó được gọi là một đa tạp $n$ chiều.
Đa tạp được cho là không có thuộc tính, ngoại trừ việc nó là một lớp.
81. Chúng ta có những đa tạp khác nữa không?
Chúng ta có nhiều loại đa tạp chẳng có liên quan gì đến không gian hay hình học. Một đa tạp ba chiều sẽ là một lớp nguyên tố, mỗi nguyên tố trong đó sẽ cần đúng ba con số để xác định nó.
Một nhóm người có thể được xem là một đa tạp – và một đa tạp ba chiều, với ba con số $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ biểu diễn tuổi tác, chiều cao và cân nặng, là cần và đủ để phân biệt họ.
Cũng nhóm người đó có thể được xem là một đa tạp bốn chiều, nếu bốn con số $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}$ biểu diễn tuổi tác, chiều cao, cân nặng, và số nhà được sử dụng. Nhóm người đó trở thành một đa tạp năm chiều nếu bổ sung thêm một con số $x_{5}$ biểu diễn thu nhập.
Chúng ta cũng có thể nghĩ tới một đa tạp bốn chiều gồm các hạt chất khí, sử dụng ba chiều để cố định vị trí của chúng và một chiều cố định mật độ của chúng.
82. Ưu điểm của biểu diễn như thế là gì?
Giả sử chúng ta muốn minh họa sự phụ thuộc của áp suất chất khí vào thể tích của nó.
Ta làm việc này bằng cách dựng hai trục trong một mặt phẳng, dùng một trục biểu diễn thể tích, còn trục kia là áp suất. Đường cong thu được sẽ là một hyperbol cho một chất khí lí tưởng ở nhiệt độ không đổi.
Nếu chúng ta có một hệ phức tạp hơn có trạng thái được cho không phải bởi hai thuộc tính mà nói ví dụ năm thuộc tính, thì đồ thị biểu diễn hành trạng của nó liên quan đến một không gian năm chiều, tức là trạng thái của hệ này có thể được xem là một điểm trong một không gian năm chiều nào đó.
Tương tự, nếu trạng thái của một hệ được cho bởi n thuộc tính, hay n biến, thì trạng thái của nó có thể được xem là một điểm trong một không gian n chiều nào đó.
Ưu điểm của cách biểu diễn như thế là việc nghiên cứu một hệ được thực hiện bằng cách áp dụng và mở rộng các tương đương hình học và các khái niệm quen thuộc.
83. Có phải không gian thực tế của chúng ta nằm trong một không gian bốn chiều?
Khái niệm chiều thứ tư chỉ là một khái niệm trừu tượng được sáng tạo ra để mô tả theo ngôn ngữ hình học những ý tưởng không thể mô tả được bằng những biểu diễn hình học bình thường.
Nó được phát triển để đáp ứng yêu cầu của các hệ phụ thuộc vào vài ba biến số. Nhưng nó được dự tính chỉ là một phương pháp toán học mô hình hóa các hiện tượng vật lí và không liên quan gì với bản chất của không gian thực tế, chỉ có trong tiểu thuyết khoa học mới thường mô tả chiều không gian thứ tư.
Quan điểm cho rằng không gian ba chiều của chúng ta dìm trong một không gian bốn chiều thực sự là chất liệu của tư duy thần bí và chỉ là một sự xuyên tạc của những khái niệm khoa học.
84. Có thể áp dụng các khái niệm hình học cho đại số hay không?
Những bài toán đại số liên quan đến hai hay ba biến thường có cách hiểu hình học. Điều này có nghĩa là nếu một bài toán có một nghiệm đơn giản hoặc rõ ràng từ góc độ hình học, thì nghiệm đó cũng có ý nghĩa cho bài toán xét về phương tạp đại số.
Một ví dụ sẽ làm sáng tỏ vấn đề.
Giả sử chúng ta muốn biết những nghiệm nguyên của bất đẳng thức
$$x^{2}+y^{2}<N$$

Về mặt hình học, bất đẳng thức $x^{2} + y^{2} < N$ biểu diễn phần bên trong của vòng tròn có tâm tại gốc tọa độ và bán kính bằng $\sqrt{N}$ , và bài toán được đơn giản thành như sau:
Có bao nhiêu điểm với tọa độ nguyên nằm bên trong vòng tròn bán kính $\sqrt{N}$?
Những điểm như thế là đỉnh của những hình vuông có cạnh bằng đơn vị chiều dài bên trong hình tròn. Số lượng điểm như thế nằm bên trong vòng tròn xấp xỉ bằng số lượng hình vuông nằm bên trong hình tròn, bằng tạp tích của hình tròn bán kính .
Do đó, số lượng nghiệm nguyên của bất đẳng thức trên là khoảng $\pi N$.
Sai số ở kết quả tiến về không đối với những giá trị lớn của $N$.
Rõ ràng đáp số mặc dù hiển nhiên về mặt hình học nhưng không hiển nhiên từ phương tạp đại số.
85. Kết quả trên có cái tương đương trong không gian cao chiều hơn hay không?
Bài toán tương ứng theo ba biến có thể được giải tương tự, nhưng nếu số lượng biến tăng vượt quá ba, thì phương pháp trên không còn áp dụng được.
Tuy nhiên, kết quả trên có thể được khái quát hóa cho bất kì số lượng biến nào để bài toán tương ứng theo n biến có một nghiệm trong đại số, mặc dù cách hiểu hình học không còn khả dụng vì không gian thực của chúng ta chỉ có ba chiều.
86. Hình học của không gian màu là gì?
Không gian được xem là một tập hợp của các điểm. Nhưng nếu các “điểm” là các vật, các sự kiện hay các trạng thái, thì tập hợp này có thể được xem là một “không gian” thuộc loại riêng của nó.
Khi đó, các khái niệm điểm, đường thẳng, khoảng cách,... được sử dụng với một ý nghĩa đã biến cải nhiều.
Một ví dụ của không gian như thế là không gian màu.
87. Không gian này tương ứng với hình học như thế nào?
Thị giác bình thường của con người có căn nguyên là ba màu. Sự cảm nhận một màu $C$ là kết hợp của ba cảm nhận cơ bản: đỏ $R$, lục $G$ và lam $B$ với cường độ khác nhau, cho nên ta có
$$C = xR + yG + zB$$
trong đó $x, y, z$ là kí hiệu cường độ, tính theo những đơn vị nhất định.
Một điểm có thể di chuyển trong không gian sang trái sang phải, ra trước ra sau, lên trên xuống dưới, cho nên sự cảm nhận màu sắc có thể biến thiên liên tục theo ba chiều bằng cách thay đổi các thành phần $R, G$ và $B$ của nó.
Tập hợp gồm tất cả những màu có thể có, do đó, được xem là không gian màu ba chiều.
Vì các cường độ không thể âm, nên $x, y$ và $z$ luôn luôn dương. Khi $x = 0, y = 0, z = 0$, ta không có màu gì hết (màu sắc vắng mặt hoàn toàn).
88. Điểm, đoạn và khoảng cách được định nghĩa như thế nào trong không gian này?
Ở đây, một “điểm” là một màu, “đoạn” $AB$ là tập hợp thu được bằng cách trộn các màu $A$ và $B$. “Khoảng cách” giữa hai màu được định nghĩa là độ dài của đường ngắn nhất nối giữa chúng. Phép đo chiều dài và khoảng cách trong không gian màu, do đó, được định nghĩa bởi một hình học phi Euclid nhất định.
89. Hình học của không gian màu có ứng dụng gì hay không?
Hình học của không gian màu cung cấp một cơ sở toán học chính xác để giải những bài toán về chất nhuộm trong ngành công nghiệp dệt, giúp phân biệt các tín hiệu màu, và những lĩnh vực có liên quan.
90. Hình học hữu hạn là gì?
Khái niệm không gian của chúng tôi là một tập hợp gồm các điểm hay các phần tử, chúng có số lượng vô hạn. Nhưng chúng ta còn có hình học của chỉ một số hữu hạn các điểm, ví dụ như 25 chẳng hạn.
Các tên gọi điểm, đường thẳng, khoảng cách, song song,... được sử dụng với ý nghĩa thích hợp cho hệ đang nghiên cứu.
Một hình học hữu hạn như thế áp dụng cho những bài toán nhất định, và đại số và lí thuyết số; và nó còn có ích trong lí thuyết mật mã và trong xây dựng các thiết kế thực nghiệm.

91. Tô-pô học là gì? 
Đó là một phát triển trong hình học, một sản phẩm độc đáo của thế kỷ hai mươi và là một trong những ngành toán học hiện đại tinh tế và đầy sức sống nhất.
Đó là một loại hình học nghiên cứu những tính chất của hình và mặt bất biến trong quá trình kéo căng, bẻ cong, co rút và vặn vẹo.

92. Nó khác điều gì với các hình học khác? 
Không giống như những hình học khác, nó không giải quyết vấn đề về độ lớn của đoạn và góc, và là môn hình học không định lượng. Nó giải quyết những mối liên hệ chỉ phụ thuộc vào vị trí. Nói cách khác, nó chỉ giải quyết những tính chất tô-pô của hình và mặt.

93. Những tính chất tô-pô của hình và mặt là gì? 
Đó là những tính chất không thay đổi khi các hình chịu những phép biến dạng quá mạnh liệt đến nổi những tính chất xạ ảnh và đo lường đều mất hết. Xét một đường tròn vẽ trên một miếng cao su. Bằng cách kéo căng, co rút, bẻ cong, vặn vẹo, nhưng không được xé rách, nối kết hay chồng chéo, ta có thể biến đường tròn thành đường elip, tam giác , hình vuông, hay bất kỳ hình nào khác đều hay không đều. Mỗi phép biến đổi như thế được gọi là phép biến đổi tộ-pô. Tính chất nổi bật của nó là những bộ phận nào của hình tiếp xúc nhau vẫn bảo toàn sự tiếp xúc. Và những phần không tiếp xúc nhau không thể thành tiếp xúc. Tóm lại, trong một phép biến đổi tô-pô không thể có sự rạn nứt hay nối kết nào có thể xảy ra. Dưới những tác động như thế, những tính chất như khoảng cách, góc và diện tích chịu sự biến đổi và không phải là những tính chất tô-pô.

94. Bên trong và Bên ngoài! Đó có phải là những tính chất tô-pô hay không?

Sự kiện đường tròn có một phần “bên trong” và một phần “bên ngoài”là tính chất tô-pô. Hình như số 8 có hai vòng và do đó có hai phần “bên trong” và về tô-pô thì không tương đương với một đường tròn hay một tam giác, mỗi hình này chỉ có một phần “bên trong”. Hình nhẩn được bao bọc bởi hai đường tròn đồng tâm có hai phần “Bên trong” và một phần “bên ngoài”.

95. Còn những tính chất tô-pô của mặt là gì?
Xét mặt cầu. Nó có hai tính chất vẫn bảo toàn dưới phép biến đổi tô-pô bất kỳ. Thứ nhất, bề mặt cầu thì khép kín. Không như hình trụ (không đáy) mặt cầu không có bờ-một hình trụ được giới hạn bởi hai bờ. Thứ hai,mỗi đường cong khép kín trên mặt cầu đều chia mặt cầu thành hai phần đứt đoạn. Một hình xuyến (hình ruột xe bơm căng) không có tính chất này. Nếu ta cắt một hình xuyến theo phương với chiều dài của nó, nó không bị đứt thành hai phần nhưng thành một ống tuýt bị vẻ cong, mà ta có thể kéo thẳng để thành một hình trụ (không đáy) bằng một phép biến đổi tô-pô. Do đó đường cong khép kín trên hình xuyến không tách nó thành hai phần.

Mặt cầu và hình xuyến do đó là những mặt khác biệt tô-pô, hay theo các nhà tô-pô học nói, chúng không đồng phôi. 

96. Điều gì xảy ra nếu loại bỏ hai điểm trên mặt cầu 
Mặt cầu bị loại bỏ hai điểm thì đồng hình với mặt cầu bị khoét hai đường cong khép kín và cả hai trường hợp các mặt này đều đồng hình với một hình trụ (không đáy). Các mặt cầu và hình lập phương đều thuộc chung một dạng tô-pô, nghĩa là chúng đồng hình.

97. Còn đôi găng tay thì sao? 
Xét một đôi găng tay. Một chiêc cho tay trái và chiếc kia cho tay phải. Nếu lộn chiếc găng tay
phải từ trong ra ngoài, nó sẽ trở thành tay trái. Chiếc găng tay trái trở thành tay phải khi bị lộn ra ngoài. Lý luận tô-pô có thể giúp ta dự đoán sự thay đổi hình dạng này.

98. Đâu là những khái niệm nền tảng của tô-pô? Khái niện về sự liền kề, lân cận, sự gần gũi vô hạn và khái niệm về sự chia cắt một hình thể thành nhiều phần là những khái niệm nền tảng của tô-pô. Một vài khái niệm gắn liền là bên trong và bên ngoài, bên trái và bên phải, sự liên thông và bất liên thông, và tính liên tục và gián đoạn.

99. Có phải tô-pô chỉ hoạt động với các bề mặt mà thôi hay không? 

Không, nghiên cứu về các mặt chỉ là một lãnh vực. Tô-pô có nhiều diện mạo, nhưng nói chung có thể chia làm ba ngành chính: Tô-pô tổ hợp Tô-pô đại số Tô-pô điểm-tập hợp Sự phân chia này nói cho cùng chỉ là vấn đề tiện ích hơn là lôgic. Vì các ngành chồng chéo lên nhau không ít.

100. Tô-pô tổ hợp là gì? 
Đó là ngành nghiên cứu những khía cạnh thực chất của các dạng hình bất biến dưới những phép
biến đổi tô-pô. Ngành này nghiên cứu những hình xem như một tổ hợp của những hình đơn giản phối hợp nhau theo một cách chuẩn mực đối lập với ngành tô-pô điểm-tập hợp xem hình là những tập hợp điểm.

101. Còn tô-pô đại số là gì? 
Lúc đầu, tô-pô phát triển như một ngành nghiên cứu những bề mặt. Nhưng sau đó người ta thấy
rằng những khái niệm của nó liên hệ mật thiết với một số bài toán có tầm quan trọng nền tảng trong những lãnh vực khác nhau của toán học. Những phương pháp đại số, nhất là lý thuyết nhóm, chứng tỏ là có nhiều ứng dụng sâu rộng trong những nghiên cứu như thế.

Cơ chế đại số này được gọi là tô-pô đại số và là một công cụ đầy sức mạnh để chứng minh những kết quả tô-pô. Nó cũng cho ta nhiều kết quả trong không gian kích thước lớn hơn, nơi đó ta không thể nhìn mà chỉ có thể lý luận.

102. Còn tô-pô điểm-tập hợp là gì? 
Trong khi tô-pô được phát triển theo hướng nghiên cứu các bề mặt, người ta sớm nhận ra rằng tô- pô của những mặt đơn giản không thôi thì không đủ và việc giải các bài toán trong tô-pô một, hai, ba và n kích thước là cần thiết. Người ta thấy rằng những nghiên cứu này liên quan đến những nhận định về lý thuyết tập hợp và được phát triển thành ngành tô-pô điểm-tập hợp hay tô-pô tổng quát.

103. Tại sao tô-pô được gọi là hình học chất dẻo? 
Một lãnh vực của tô-pô là giải quyết những biến dạng của các hình mà không bị xé rách hoặc chồng lẫn các điểm. Vì những phép biến dạng như thế có thể thực hiện được khi các hình được vẽ trên miếng dẽo, nên tô-pô đôi khi còn được mệnh danh là hình học chất dẽo. Nhưng tô-pô hiện đại vượt xa lãnh vực hạn hẹp này.

104. Tộ-pô hiện đại có phải là một ngành nghiên cứu về hình học? 
Trong thời kỳ phôi thai, tô-pô được coi là “khoa học vị tướng” như bản chất của nó, nhưng kể từ đó nó đã vượt ra khỏi tầm vóc ban đầu. Xét về bản chất người ta nhận xét thấy rằng “tô-pô khởi đầu với nhiều chất hình học và ít chất đại số, nhưng bây giờ lại nhiều chứa nhiều chất đại số và ít chất hình. ” Về lịch sử, tô-pô phát triển theo hai hướng phân biệt. Hướng thứ nhất cảm hứng thiên về hình học, trong khi hướng khác giải tích đã tạo ra ảnh hưởng chủ yếu.

105. Có phải Tô-pô là một ngành nghiên cứu về tính liên tục? 
Lúc này phần lớn công nhận rằng tô-pô là ngành nghiên cứu về liên tục. Nhưng quan trọng nhất, nó đã trở thành một môn học nhằm thống nhất hầu hết toàn bộ các ngành toán học phần nào tương
tự như vai trò của triết lý tìm cách phối hợp mọi kiến thức của nhân loại. Ngày nay, tô-pô đã thâm nhập đến mọi ngành toán học đến nổi nó đã trở thành một công cụ không thể thiếu được cho các nhà toán học hiện đại, lý thuyết hay ứng dụng.

106. Nói tô-pô là ngành toán học của sự có thể có nghĩa là gì? 
Câu hỏi này liên hệ đến nhiều câu hỏi chưa trả lời được trong những ngành toán học khác nhưng được giải quyết bằng cách áp dụng những khái niệm tô-pô.
Chẳng hạn, tô-pô cho biết nghiệm của một bài toán nào đó có tồn tại hay không mặc dù thông thường nó không cho biết cách tìm nghiệm đó.
Tương tự, nó cho ta biết rằng các điều kiện nào đó là có thể hay không thể.

107. Có ví dụ cụ thể nào không?
Lấy một ví dụ trong đại số. Chúng ta biết Định lí cơ bản của Đại số phát biểu rằng mọi đa thức bạc n với hệ số phức đều có nghiệm trên trường số phức.
Đây là một tình huống đại số thuần túy, tức là một phương trình có nghiệm hay không nhưng không tồn tại lời giải thuần túy đại số nào cho bài toán quan trọng này. Tất cả chứng minh đều yêu cầu các kiến thức về giải tích hàm nhiều biến hoặc giải tích phức.
Nhưng vì các ý tưởng và phương pháp tô pô có ảnh hưởng lớn đến các ngành này được đa số mọi người công nhận, người ta tin rằng định lí này phụ thuộc vào các nghiên cứu về tô-pô.

Còn nữa...

Về VNMATH.COM

VNMATH hoạt động từ năm 2008 với slogan Trao đổi để học hỏi, Sẻ chia để vươn lên. Hiện nay VNMATH.COM là trang web Toán học có lượt truy cập lớn nhất Việt Nam.

Chia sẻ bài viết này


Bài viết liên quan

Không có nhận xét nào :

Để lại Nhận xét