Đề thi THPT Quốc gia môn Toán năm 2015, De thi thu THPT Quoc Gia nam 2015

You are here: Home »

Like VNMATH on FACEBOOK để ủng hộ VNMATH.

Kĩ thuật tính tích phân nâng cao - Phần 4: Hàm Beta

VNMATH.COM 16 tháng 8, 2013 , 1

Tiếp theo Phần 1 ,  Phần 2 và Phần 3. 
4. Hàm Beta:

Định nghĩa:

$$\int^1_0 t^{x-1}(1-t)^{y-1} \, dt= B(x,y)$$
trong đó x, y là các số phức có phần thực dương.
Hàm Beta được nghiên cứu lần đầu bởi Euler và Legendre, tên của nó được đặt bởi Jacques Binet; kí hiệu Β ở đây là chữ viết hoa của kí tự β Hy Lạp và khi viết thì giống với kí tự B Latin.

Mối liên hệ của nó với hàm Gamma là

$$B(x,y)\,=\,{\Gamma(x)\Gamma(y) \over \Gamma(x+y)}$$

Ta có thể chứng minh đẳng thức này bằng cách dùng tích chập (xem phần 2).

Từ đó ta có tính đối xứng của hàm Beta $ \displaystyle B(x,y) = B(y,x) $.

Hàm Beta còn có nhiều biểu diễn khác có thể chứng minh tính tương đương với định nghĩa bằng cách sử dụng các phép đổi biến (dành cho bạn đọc):

$$B(x,y) \,=\, \int ^{\infty}_0 \frac{t^{x-1}}{(1+t)^{x+y}}\, dt$$


$$B(x,y) \,=\,2\,\int^{\frac{\pi}{2}}_0 \cos^{2x-1}(t) \sin^{2y-1}(t)\,dt$$


Ví dụ 1. Tính

$ \displaystyle \int^{\infty}_0 \frac{1}{(x^2+1)}\, dx$

Đặt $x=\sqrt{t}$, ta có

$ \displaystyle \frac{1}{2}\int^{\infty}_0 \frac{t^{\frac{-1}{2}}}{(t+1)}\,dt$

Đây là biểu diễn thứ 2 của hàm Beta với:

$ \displaystyle x-1={-1 \over 2} \,\, \Rightarrow \,\, x={1\over 2}$

$ \displaystyle x+y={1} \,\, \Rightarrow \,\, y={1\over 2}$

$ \displaystyle \frac{1}{2}\int^{\infty}_0 \frac{t^{\frac{-1}{2}}}{(t+1)}\,dt=\frac{B({1 \over 2},{1 \over 2})}{2}=\frac{\Gamma({1 \over 2})\, \Gamma({1\over 2})}{2}= \frac{\sqrt{\pi} \cdot \sqrt{\pi}}{2}=\frac{\pi}{2}$

Ví dụ 2: Tính

$ \displaystyle \int^{\infty}_0 \frac{1}{(x^2+1)^2}\, dx$

Tương tự, ví dụ 1 ta có

$ \displaystyle \frac{1}{2}\int^{\infty}_0 \frac{t^{\frac{-1}{2}}}{(t+1)^2}\,dt$

$ \displaystyle x-1={-1 \over 2} \,\, \Rightarrow \,\, x={1\over 2}$

$ \displaystyle x+y={2} \,\, \Rightarrow \,\, y={3\over 2}$

$ \displaystyle \frac{1}{2}\int^{\infty}_0 \frac{t^{\frac{-1}{2}}}{(t+1)^2}\,dt=\frac{B({1 \over 2},{3 \over 2})}{2}=\frac{\Gamma({1 \over 2})\, \Gamma({3\over 2})}{2}= \frac{\Gamma({1 \over 2})\, \Gamma({1\over 2})}{4}=\frac{\pi}{4}$


Ví dụ 3. $$\int^{\infty}_0 \frac{1}{(x^2+1)^n}\, dx \,\,\, \forall\,\, n> \frac{1} {2} $$

Đổi biến như ví dụ 1

$ \displaystyle \frac{1}{2}\int^{\infty}_0 \frac{t^{\frac{-1}{2}}}{(t+1)^n}\,dt$

$ \displaystyle x-1={-1 \over 2} \,\, \Rightarrow \,\, x={1\over 2}$

$ \displaystyle x+y={n} \,\, \Rightarrow \,\, y=n-{1\over 2}$


$ \displaystyle \frac{1}{2}\int^{\infty}_0 \frac{t^{\frac{-1}{2}}}{(t+1)^n}\,dt=\frac{\Gamma ({1\over 2})\cdot \Gamma\left(n-{1\over 2}\right)}{2\Gamma(n)}$

Việc còn lại là tính $ \displaystyle \Gamma\left(n-{1\over 2}\right)$ ?

Theo đẳng thức Legendre ở phần 3,  $ \displaystyle \Gamma\left(k+{1\over2}\right) =\frac{(2k)!\sqrt{\pi}}{4^k\,k!}$

Cho $ \displaystyle k=n-1$ ta được $ \displaystyle \Gamma\left(n-{1\over2}\right) =\frac{(2n-2)!\sqrt{\pi}}{4^{n-1}\,(n-1)!}=\frac{\Gamma\left(2n-1\right)\sqrt{\pi}}{4^{n-1}\,\Gamma(n)}$

Thay vào tích phân

$ \displaystyle \frac{1}{2}\int^{\infty}_0 \frac{t^{\frac{-1}{2}}}{(t+1)^n}\,dt=\frac{2\pi \,\cdot \Gamma\left(2n-1 \right)}{4^n \cdot \Gamma^2(n)}$

$$\int^{\infty}_0 \frac{1}{(x^2+1)^n}\, dx \,=\frac{\pi \,\cdot \Gamma\left(2n-1 \right)}{2^{2n-1}\cdot \Gamma^2(n)}$$

Ví dụ 4. Chứng minh

$$\int_0^1\frac{x^n}{\sqrt{1-x}}\,dx=2\,\frac{(2n)!!}{(2n+1)!!}$$

trong đó hoán vị kép !! được định nghĩa như sau:

$ \displaystyle n!! = \begin{cases}n\cdot(n-2)... 5\cdot 3\cdot 1&; \mbox{nếu }n>0 \, \text{ lẻ} \\n\cdot(n-2)... 6\cdot 4\cdot 2&; \mbox{nếu } n>0 \, \text{ chẵn}\\1 &; \mbox{if } n=0,-1\end{cases}$

Giải.

Viết lại tích phân trên dưới dạng hàm Beta



$ \displaystyle \int_0^1 x^n\cdot (1-x)^{-\frac{1}{2}}\, dx$

$ \displaystyle \fbox{$ \displaystyle x-1 = n \,\, \Rightarrow \,\, x=n+1\,\,\,\,$

$ \displaystyle y-1= \frac{-1}{2}\,\, \Rightarrow \,\, y=\frac{1}{2}$}$

$ \displaystyle \int_0^1 x^n\cdot (1-x)^{-\frac{1}{2}}\, dx=B(n+1,\frac{1}{2})$

$ \displaystyle B\left( n+1,\frac{1}{2} \right)=\frac{\Gamma \left( \frac{1}{2} \right)\Gamma(n+1)}{\Gamma \left( n+\frac{3}{2}\right)}=\frac{2 \sqrt{\pi}\, \Gamma(n+1)}{(n+\frac{1}{2})\Gamma \left( n+\frac{1}{2} \right)}$

Áp dụng đẳng thức Legendre ta được

$ \displaystyle \frac{\sqrt{\pi}\Gamma(n+1)}{(n+\frac{1}{2})\Gamma \left(n+\frac{1}{2}\right)}=\frac{2\sqrt{\pi}\, n!}{(2n+1)\sqrt{\pi}\, \frac{(2n)!}{4^n\, n!}}$

$ \displaystyle \frac{2\, 2^{2n} (n!)^2}{(2n)!}=2\frac{2^{2n}(n\cdot(n-1)\,...\,3\cdot 2\cdot 1)^2}{(2n+1)\cdot 2n\cdot(2n-1)\, ... \, 3\cdot 2\cdot 1}$

Gộp các nhân tử theo tính chẵn lẻ ta có kết quả gọn hơn như sau

$ \displaystyle 2\frac{2^{2n}(n\cdot(n-1)\,...\,3\cdot 2\cdot 1)^2}{(2n\cdot(2n-2)\, ... \, 4\cdot 2)((2n+1)\cdot (2n-1)\, ... \, 3\cdot 1)} $

$ \displaystyle 2\frac{(2n\cdot(2n-2)\,...\,6\cdot 4\cdot 2)^2}{(2n \cdot (2n-2)\, ... \, 4\cdot 2)((2n+1)\cdot (2n-1)\, ... \, 3\cdot 1)}=2\frac{(2n)!!}{(2n+1)!!} $

Ví dụ 5: Tính tích phân

$$\int^{\infty}_{-\infty}\, \left(1+\frac{x^2}{n-1}\right)^{-\frac{n}{2}}\,dx$$

Giải.

Tích phân trên bằng

$ \displaystyle 2\int^{\infty}_{0}\, \left(1+\frac{x^2}{n-1}\right)^{-\frac{n}{2}}\,dx$

Đặt $ \displaystyle t=\frac{x^2}{n-1}\,\,\, \Rightarrow \,\,\, dt =\frac{2x}{n-1}\,dx$

$ \displaystyle \sqrt{n-1}\int^{\infty}_{0}\frac{t^{-\frac{1}{2}}}{(1+t)^{\frac{n}{2}}}\, \,dx$

Đây là hàm Beta quen thuộc.

$ \displaystyle \sqrt{n-1}\, B\left(\frac{1}{2},\frac{n-1}{2}\right)= \frac{\sqrt{\pi(n-1)}\Gamma\left(\frac{n-1}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{n}{2}\right)}$


Mời các bạn tự làm.  Chứng tỏ $ \displaystyle \int^{\infty}_{0}\frac{x^{2m+1}}{(ax^2+c)^n} dx\,=\frac{m!\,(n -m -2)!}{2(n-1)!\, a^{m+1}\,c^{n-m-1}}$

Ví dụ 6. Tính
$$\int^{\infty}_0\, \frac{x^{-p}}{x^3+1}\,dx$$

Giải.

Đặt $ \displaystyle x^3\,=t\,$

$ \displaystyle \frac{1}{3}\, \int^{\infty}_0\, \frac{t^{-\frac{p+2}{3}}}{t+1}\,dt$

Bây giwof ta tìm $x, y$ theo dạng thứ 2 của hàm Beta:


$ \displaystyle x =\frac{1-p}{3}$

$ \displaystyle y+x =1\,\,\, \Rightarrow \,\, y = 1-\frac{1-p}{3}$

Do đó

$ \displaystyle \frac{B\left(\frac{1-p}{3}, \frac{1-p}{3}\right)}{3}= \frac{\Gamma\left(\frac{1-p}{3}\right) \Gamma\left(1-\frac{1-p}{3}\right)}{3}$
Theo đẳng thứ Euler ở phần 3 ta được

$ \displaystyle \frac{\Gamma \left( \frac{1-p}{3}\right) \Gamma\left(1-\frac{1-p}{3}\right)}{3}= \frac{\pi}{3\, \sin\left(\frac{\pi(1-p)}{3}\right)}= \, \frac{\pi}{3}\,\csc\left(\frac{\pi-\pi p}{3}\right)$

Ví dụ 7. Tính

$$\int^{\frac{\pi}{2}}_0 \, \sqrt[3]{\sin^{2}x} \,\, dx$$

Giải.

Dùng dạng 3 của hàm Beta

$ \displaystyle \int^{\frac{\pi}{2}}_0 \, \sin^{\frac{3}{2}}x \,\cos^{0}x\, dx$

$ \displaystyle 2x-1= \frac{3}{2}\,\, \Rightarrow \,\,\, x = \frac{5}{4}$

$ \displaystyle 2y-1= 0\,\, \Rightarrow \,\,\, y = \frac{1}{2}$

$ \displaystyle \int^{\frac{\pi}{2}}_0 \, \sin^{\frac{3}{2}}x \, dx= \frac{B\left(\frac{5}{4}, \frac{1}{2}\right)}{2}=\frac{\Gamma\left(\frac{5}{ 4}\right) \Gamma\left(\frac{1}{2}\right)}{2\Gamma\left(\frac {7}{4}\right)}$

Ví dụ 8. Tính


$$ \int^{\frac{\pi}{2}}_{0} (\sin x)^i \cdot (\cos x)^{-i}\, dx$$

Giải.
Tiếp tục sử dụng biểu diễn thứ 3 của hàm Beta

$ \displaystyle 2x-1= i \,\, \Rightarrow \,\,\, x = \frac{1+i}{2}$

$ \displaystyle 2y-1= -i \,\, \Rightarrow \,\,\, y = \frac{1-i}{2}$

$ \displaystyle \,\frac{1}{2} \Gamma\left(\frac{1+i}{2}\right) \, \Gamma\left(\frac{1-i}{2}\right)$

Theo đẳng thức Euler

$ \displaystyle \,\frac{1}{2} \Gamma\left(\frac{1+i}{2}\right) \, \Gamma\left(1-\frac{1+i}{2}\right)= \frac{\pi}{2\sin\left(\frac{\pi(1+i)}{2}\right)}= \frac{\pi}{2}\text{sech}\,\left( {\pi \over 2}\right)$


Còn nữa...

Về VNMATH.COM

VNMATH hoạt động từ năm 2008 với slogan Trao đổi để học hỏi, Sẻ chia để vươn lên. Hiện nay VNMATH.COM là trang web Toán học có lượt truy cập lớn nhất Việt Nam.

Chia sẻ bài viết này


Bài viết liên quan

1 comments :