Đề thi THPT Quốc gia môn Toán năm 2015, De thi thu THPT Quoc Gia nam 2015

You are here: Home »

Like VNMATH on FACEBOOK để ủng hộ VNMATH.

Kĩ thuật tính tích phân nâng cao - Phần 3: Hàm Gamma

VNMATH.COM 15 tháng 8, 2013 , 1

Tiếp theo Phần 1Phần 2.

Một trong các kĩ thuật tính tích phân hữu ích khác là dùng các hàm đặc biệt như hàm Gamma, hàm Beta, ...

3. Tính tích phân bằng hàm Gamma

Trước hết là định nghĩa, các tính chất đơn giản và một số ví dụ làm quen.

Định nghĩa:
$$ \Gamma{(x+1)} = \int^{\infty}_0 e^{-t}\, t^{x}\, dt \text{                    (1)} $$


Có nhiều biểu diễn khác chi hàm Gamma:

$ \displaystyle \Gamma(z) = \lim_{n\to\infty}\frac{n! \, \, n^z}{z(z+1)(z+2) \, . \, . \, . \, (z+n)}\text{ (2) }$

$ \displaystyle \Gamma(z)\,= \frac{e^{-\gamma z}}{z} \prod_{n=1}^\infty \left(1 + \frac{z}{n}\right)^{-1} e^{z/n}\text{ (3)}$

Thay x=n với $ \displaystyle n\in\mathbb{N}$  vào  (1) ta có

$ \displaystyle \Gamma{(n+1)} = \int^{\infty}_0 e^{-t}\, t^{n}\, dt $

Sử dụng biến đổi Laplace ở phần 2 ta được

$ \displaystyle \int^{\infty}_0 e^{-t}\, t^{n}= \frac{n!}{s^n+1}|_{s=1}= n!$

Qua đây có thể thấy mối quan hệ giữa hàm Gamma và giai thừa.
Bây giờ là một số ví dụ áp dụng tính chất $ \displaystyle n!= \Gamma{(n+1)} $.

Ví dụ 1. Tính các tích phân:

1) $ \displaystyle \int^{\infty}_0 \, e^{-t}t^4\, dt $

Theo (1) ta có
$ \displaystyle \int^{\infty}_0 \, e^{-t}t^4\, dt =\Gamma(4+1)= 4! = 24 $


2) $ \displaystyle \int^{\infty}_0 \, e^{-t^2}t \, dt $
Đặt  $ \displaystyle x=t^2$ ta có:

$ \displaystyle \frac{1}{2}\int^{\infty}_0 \, e^{-x}x^{\frac{1}{2}}\cdot x^{-\frac{1}{2}}\, dt =\frac{1}{2}\Gamma(1+0)=\frac{1}{2}$.

3) $ \displaystyle \int^{1}_{0}\ln (t) \, t^2 \, dt $

Đặt  $ \displaystyle t=e^{-\frac{x}{2}}$

$ \displaystyle \int^{1}_{0}\ln (t) \, t^2 \, dt = -\frac{1}{4}\int^{\infty}_{0}e^{-\frac{3x}{2}}\cdot x\,dx$

Ta đặt  $ \displaystyle t=\frac{3x}{2}$ ta có dạng quen thuộc


$ \displaystyle \frac{-1}{9}\int^{\infty}_0 e^{-x}\, x\, dx =\frac{- \Gamma(2)}{9}= \frac{-1}{9}$


Bài tập tự làm

[1] Chứng minh $ \displaystyle \frac{\Gamma(5)\cdot \Gamma(2)}{\Gamma(7)}=\frac{1}{30}$

[2] Tính $ \displaystyle \int^{\infty}_{0}e^{-\frac{1}{60}t}\, t^{20}\, dt $bằng cách dùng hàm Gamma .



Ví dụ 2. Tính tích phân


$$\int^{\infty}_{0}\, \frac{e^{-t}}{\sqrt{t}}\, dt$$


Theo (1) tích phân này bằng $ \displaystyle \Gamma\left(\frac{1}{2}\right)$ và ta muốn tìm giá trị chính xác của nó? Rất tiếc là phép biến đổi Laplace không sử dụng được ở đây.

Đặt $ \displaystyle \sqrt{t}=x$ ta có $ \displaystyle 2\int^{\infty}_{0}\, e^{-x^2}\, dx$

$ \displaystyle \left(\int^{\infty}_{0}\, e^{-x^2}\, dx \right)^2$

Để tính tích phân này ta dùng lần luwotj các thủ thuật sau

$ \displaystyle \left( \int^{\infty}_{0}\, e^{-x^2}\, dx\right)^2=\left( \int^{\infty}_{0}\, e^{-x^2}\, dx\right)\cdot \left(\int^{\infty}_{0}\, e^{-x^2}\, dx\right)$

Ta có thể viết lại

$ \displaystyle \left(\int^{\infty}_{0}\, e^{-x^2}\, dx\right)\cdot \left(\int^{\infty}_{0}\, e^{-y^2}\, dy\right)$

Do đó


$ \displaystyle \int^{\infty}_0\int^{\infty}_{0}\, e^{-(x^2+y^2)}\, dy \, dx $

Sử dụng phép đổi biến sang tọa độ cầu ta có

$ \displaystyle \int^{\frac{\pi}{2} }_0\int^{\infty}_{0}\, e^{-r^2}\, r\,dr \, d\theta $

 và từ đó

$ \displaystyle \int^{\frac{\pi}{2}}_0\,\frac{1}{2}\, d\theta= \frac{\pi}{4}$

Vậy $ \displaystyle \left(\int^{\infty}_{0}\, e^{-x^2}\, dx \right)^2=\frac{\pi}{4}$

tức là $ \displaystyle \int^{\infty}_{0}\, e^{-x^2}\, dx =\frac{\sqrt{\pi}}{2}$

hay $ \displaystyle \fbox{$ \displaystyle \Gamma \left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi}$ }$

Một tính chất đáng quan tâm khác là

$$\Gamma(x+1) = x\Gamma(x) $$

Với công thức này, ta có thể tìm một số giá trị của hàm Gamma từ các giá trị khác của nó.

Chẳng hạn ta muốn tìm
 $ \displaystyle \Gamma\left(\frac{3}{2}\right)$:


Dùng tính chất này

$ \displaystyle \Gamma\left(1+\frac{1}{2}\right)= \frac{1}{2}\cdot\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=$$ \displaystyle \frac{\sqrt{\pi}}{2}$

Tất nhiên không phải khi nào cũng tìm chính xác như trên. Ví dụ như  $ \displaystyle \Gamma(\frac{1}{4})$ nhưng ta có thể tính xấp xỉ: 

$ \displaystyle \Gamma(\frac{1}{4})\approx 3.6256 \, ... $


nên nhiều khi ta chỉ biểu diễn được tích phân qua hàm Gamma.

Ví dụ 3. Tính $ \displaystyle \int^{\infty}_0 e^{-t}t^{\frac{1}{4}}dt$.

Theo (1) ta có:

$ \displaystyle \int^{\infty}_0 e^{-t}t^{\frac{1}{4}}dt=\Gamma\left(\frac{5}{4}\right)=$$ \displaystyle \frac{\Gamma\left(\frac{1}{4}\right)}{4}$

Ta biết $ \displaystyle \Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi}$ còn$ \displaystyle \Gamma\left(\frac{-1}{2}\right)$ thì sao?

Câu trả lời khá đơn giản vì $ \displaystyle \Gamma\left(1-\frac{1}{2}\right)=\frac{-1}{2}\Gamma\left(\frac{-1}{2}\right)$

SUy ra $ \displaystyle \Gamma\left(-\frac{1}{2}\right)=-2\sqrt{\pi}$

Tổng quát hơn, ta có thể chứng minh bất kì phân số nào có mẫu bằng 2 và tử là một số lẻ thì

$ \displaystyle \Gamma\left(\frac{2n+1}{2}\right)= C \,\Gamma\left(\frac{1}{2}\right) $ trong đó$ \displaystyle C\in \mathbb {Q}\text{ và    n}\in \mathbb{Z}$

Thật ra, công thức Legendre sẽ giúp ta tính biểu thức này một cách tường minh

$$\Gamma\left(\frac{1}{2}+n\right) = {(2n)! \over 4^n n!} \sqrt{\pi}$$

Để chứng minh đẳng thức này càn một số kiến thức về hàm Beta .

Tiếp theo là công thức phản xạ Euler (ERF)

$$\Gamma \left({z}\right) \Gamma \left({1 - z}\right) = \frac \pi {\sin \left({\pi z}\right)}\,\,\forall z \notin \mathbb{Z}$$

Ví dụ 4. Rút gọn

1. $ \displaystyle \Gamma\left(\frac{3}{4}\right)\,\Gamma\left(\frac{ 1}{4}\right)$

2. $ \displaystyle \Gamma{\left(\frac{1+i}{2}\right)} \, \Gamma{\left(\frac{1-i}{2}\right)} $

Giải

1. Ta viết $ \displaystyle \Gamma\left(1-\frac{1}{4}\right)\,\Gamma\left(\frac{1}{4}\right)$

Theo ERF

$ \displaystyle \Gamma\left(1-\frac{1}{4}\right)\,\Gamma\left(\frac{1}{4}\right) =\frac \pi {\sin \left({\frac{\pi}{4} }\right)}=\sqrt{2}\,\pi$

2. Ta có $ \displaystyle \Gamma{\left(\frac{1+i}{2}\right)} \, \Gamma{\left(1-\frac{1+i}{2}\right)}$

Theo ERF ta được

$ \displaystyle \frac{\pi}{\sin\left(\frac{\pi(1+i)}{2}\right)}= \frac{\pi}{\cos \left( \frac{i \pi}{2}\right)}$


Còn nữa...

Về VNMATH.COM

VNMATH hoạt động từ năm 2008 với slogan Trao đổi để học hỏi, Sẻ chia để vươn lên. Hiện nay VNMATH.COM là trang web Toán học có lượt truy cập lớn nhất Việt Nam.

Chia sẻ bài viết này


Bài viết liên quan

1 comments :