Đề thi THPT Quốc gia môn Toán năm 2015, De thi thu THPT Quoc Gia nam 2015

You are here: Home »

Like VNMATH on FACEBOOK để ủng hộ VNMATH.

Đề thi Olympic Toán Sinh viên quốc tế 2013 (IMC 2013)

VNMATH.COM 13 tháng 8, 2013 , 0

VNMATH giới thiệu đề thi Olympic Toán Sinh viên quốc tế lần thứ 20 (IMC 2013). Kì thi này diễn ra từ ngày 6 đến ngày 12 tháng 8 năm 2013 tại Blagoevgrad, Bulgaria.

Ngày 1

Bài 1. Cho $A$ và $B$ là các ma trận đối xứng thực có tất cả các giá trị riêng đều lớn hơn 1. Gọi $\lambda$ là một giá trị riêng của ma trận $AB$. Chứng minh rằng $|\lambda|>1$.

Bài 2. Cho $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ là hàm khả vi cấp hai. Giải sử $f(0)=0$. Chứng minh rằng tồn tại $\xi \in (-\pi/2,\pi/2)$ sao cho
$$ f''(\xi) = f(\xi) \big( 1+2\tan^2\xi \big). $$
Bài 3. Có $2n$ sinh viên trong một trường học $(n \in \mathbb{N}, n \ge 2)$. Mỗi tuần $n$ sinh viên đi du lịch. Sau một số chuyến du lịch, điều kiện sau được thỏa mãn: mỗi hai sinh viên được đi cùng nhau ít nhất một chuyến. Số chuyến du lịch tối thiểu để điều này xảy ra là bao nhiêu?

Bài 4. Cho $n \ge 3$ và $x_1,x_2,\ldots,x_n$ là các số thực không âm. Ta định nghĩa $\displaystyle A = \sum_{i=1}^n x_i, B = \sum_{i=1}^n x_i^2$ và $\displaystyle C = \sum_{i=1}^n x_i^3$. Chứng minh rằng
$$ (n+1)A^2B+(n-2)B^2 \ge A^4+(2n-2)AC. $$
Bài 5. Tồn tại hay không dãy $(a_n)$ các số phức sao cho với mọi số nguyên dương $p$, ta có $\displaystyle \sum_{i=1}^\infty a_n^p$ hội tụ nếu và chỉ nếu $p$ không nguyên tố?


Ngày 2

Bài 1. Cho $z$ là số phức thỏa mãn $|z+1|>2$. Chứng minh rằng $|z^3+1|>1$.

Bài 2. Cho $p$ và $q$ là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau. Chứng minh rằng
$$ \sum_{k=0}^{pq-1} (-1)^{{}^{\left\lfloor \frac{k}{p} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{k}{q} \right\rfloor}} = \begin{cases} 0 &\text{nếu} \ pq \ \text{chẵn}, \\ 1 &\text{nếu} \ pq \ \text{lẻ}. \end{cases} $$
(Trong đó $\lfloor x \rfloor$ là phần nguyên của $x$.)

Bài 3. Giải sử $v_1,v_2,\ldots,v_d$ là các vector đơn vị trong$\mathbb{R}^d$. Chứng minh rằng toonf tại vector đơn vị $u$ sao cho
$$ |u \cdot v_i| \le \frac{1}{\sqrt{d}} $$
với$i=1,2,\ldots,d$.
(Ở đây $\cdot$ kí hiệu tích vô hướng thông thường trên $\mathbb{R}^d$.)

Bài 4. Tồn tại hay không tập vô hạn $M$ gồm các số nguyên dương sao cho với mọi $a,b \in M$, và $a<b$, tổng $a+b$ là bình phương tự do?
(Một số nguyên dương được gọi là bình phương tự do nếu không có số chính phương lớn hơn 1 là ước của nó. Ví dụ, 10 là bình phương tự do nhưng 18 thì không vì nó có ước là 9 = 32.)

Bài 5. Xét một vòng cổ tròn gồm 2013 hạt. Mỗi hạt được sơn màu trắng hoặc màu xanh. Một cách sơn vòng cổ được gọi là tốt nếu giữa bất kì 21 hạt liên tiếp nào cũng có ít nhất một hạt màu xanh. Chứng minh rằng số cách sơn tốt của vòng cổ này là số lẻ.
(Hai cách sơn khác nhau trên một số hạt, nhưng có thể đạt được bằng cách quay hay lật chuỗi hạt, thì được tính là các cách sơn khác nhau.)

Bản tiếng Anh (International Mathematics Competition for University Students 2013 Problems)


Day 1, August 8, 2013
Problem 1. Let $A$ and $B$ be real symmetric matrices with all eigenvalues strictly greater than 1. Let $\lambda$ be a real eigenvalues of the matrix $AB$. Prove that $|\lambda|>1$.

Problem 2. Let $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ be a twice differentiable function. Suppose $f(0)=0$. Prove that there exists $\xi \in (-\pi/2,\pi/2)$ such that
$$ f''(\xi) = f(\xi) \big( 1+2\tan^2\xi \big). $$
Problem 3. There are $2n$ students in a school $(n \in \mathbb{N}, n \ge 2)$. Each week $n$ students go on a trip. After several trips, the following condition was fulfilled: every two students were together on at least one trip. What is the minimum number of trips needed for this to happen?

Problem 4. Let $n \ge 3$ and let $x_1,x_2,\ldots,x_n$ be nonnegative real numbers. Define $\displaystyle A = \sum_{i=1}^n x_i, B = \sum_{i=1}^n x_i^2$ and $\displaystyle C = \sum_{i=1}^n x_i^3$. Prove that
$$ (n+1)A^2B+(n-2)B^2 \ge A^4+(2n-2)AC. $$
Problem 5. Does there exist a sequence $(a_n)$ of complex numbers such that for every positive integer $p$, we have that $\displaystyle \sum_{i=1}^\infty a_n^p$ converges if and only if $p$ is not a prime?



Day 2, August 9, 2013

Problem 1. Let $z$ be a complex number with $|z+1|>2$. Prove that $|z^3+1|>1$.

Problem 2. Let $p$ and $q$ be relatively prime positive integers. Prove that
$$ \sum_{k=0}^{pq-1} (-1)^{{}^{\left\lfloor \frac{k}{p} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{k}{q} \right\rfloor}} = \begin{cases} 0 &\text{if} \ pq \ \text{is even}, \\ 1 &\text{if} \ pq \ \text{is odd}. \end{cases} $$
(Here $\lfloor x \rfloor$ denotes the integer part of $x$.)

Problem 3. Suppose that $v_1,v_2,\ldots,v_d$ are unit vectors in $\mathbb{R}^d$. Prove that there exists a unit vector $u$ such that
$$ |u \cdot v_i| \le \frac{1}{\sqrt{d}} $$
for $i=1,2,\ldots,d$.
(Here $\cdot$ denotes the usual scalar product on $\mathbb{R}^d$.)

Problem 4. Does there exists an infinite set $M$ consisting of positive integers such that for any $a,b \in M$, with $a<b$, the sum $a+b$ is square-free?
(A positive integer is called square-free if no perfect square greater than 1 divides it.)

Problem 5. Consider a circular necklace with 2013 beads. Each bead can be painted either with or green. A painting of the necklace is called good if among any 21 successive beads, there is at least one green bead. Prove that the number of good paintings of the necklace is odd.
(Two painting that differ on some beads, but can be obtained from each other by rotating or flipping the necklace, are counted as different paintings.)

Về VNMATH.COM

VNMATH hoạt động từ năm 2008 với slogan Trao đổi để học hỏi, Sẻ chia để vươn lên. Hiện nay VNMATH.COM là trang web Toán học có lượt truy cập lớn nhất Việt Nam.

Chia sẻ bài viết này


Bài viết liên quan

Không có nhận xét nào :

Để lại Nhận xét