Đề thi THPT Quốc gia môn Toán năm 2015, De thi thu THPT Quoc Gia nam 2015

You are here: Home »

Like VNMATH on FACEBOOK để ủng hộ VNMATH.

Các kĩ thuật tính tích phân nâng cao - Phần 2: Biến đổi Laplace

VNMATH.COM 11 tháng 8, 2013 , 0

Tiếp theo phần 1: Đạo hàm dưới dấu tích phân

2. Tính tích phân bằng phép biến đổi Laplace

Phép biến đổi Laplace là một công cụ mạnh và có nhiều ứng dụng. Chẳng hạn trong việc giải các phương trình vi phân và gần gũi nhất là việc tính tích phân.

Định nghĩa phép biến đổi Laplace:

$$F(s) = \mathcal{L}(f(t)) = \int ^{\infty}_0 e^{-st}f(t) \, dt\, \text{ (1)} $$

Tích phân này hội tụ nếu $ \displaystyle \text{Re}(s)>a \text{ với } |f(t)| \leq Me^{at}$.

Sau đây là Phép biến đổi Laplace cho một số hàm thường gặp:

1. $f(t) =1$. Ta tìm  F(s):


Dễ thấy $ \displaystyle F(s) =\int ^{\infty}_0 e^{-st} \, dt= \frac{1}{s}$

2 $f(t) = t^n \text{ trong đó }n \geq 0 $.

Bằng cách dùng tích phân từng phần ta có thể chứng minh $ \displaystyle F(s) =\int ^{\infty}_0 e^{-st} t^n \, dt=\frac{n!}{s^{n+1}}\text{ (2)}$. (Dành cho bạn đọc)

3. $f(t)= \cos(at) $

$ \displaystyle F(s) =\int ^{\infty}_0 e^{-st} \cos(at) \, dt=\frac{s}{s^2+a^2}\text{ (3)}$.


Bạn có thể tìm thấy bảng các biến đổi Laplace ở đây .


Một kết quả thú vị nhất của phép biến đổi Laplace là :


$ \displaystyle (f * g)(t)= \int^{t}_0 f(s)g(t-s)\,ds\text{ (4)}$ (Tích chập)


KQ1. $ \displaystyle \mathcal{L}\left((f * g)(t)\right)= \mathcal{L}(f(t)) \mathcal{L}(g(t)) \text{ (5)}$


Bây giờ là một bài toán tính tích phân bằng cách áp dụng phép biến đổi Laplace.
Tính tích phân:


$ \displaystyle \int^{\infty}_{0}e^{-2t}t^3\,dt $.

Áp dụng công thức (2)

$ \displaystyle \int ^{\infty}_0 e^{-st}t^n \, dt=\frac{n!}{s^{n+1}}$.

với  s= 2, và n =3, ta được :


$ \displaystyle \int^{\infty}_{0}e^{-2t}t^3\,dt= \frac{3!}{2^{3+1}}=\frac{3}{8} $.


Tiếp theo là phép biến đổi Laplace ngược: Biến đổi Laplace ngược giúp chúng ta tìm lại hàm gốc f(t) từ hàm ảnh F(p). Biến đổi Laplace ngược được định nghĩa


$$\mathcal{L}^{-1}(F(s))= f(t)\text{ hay }\mathcal{L}^{-1}(\mathcal{L}(f(t)))= f(t).$$


Ví dụ: Tìm phép biến đổi Laplace ngược của các hàm:

1) $ \displaystyle \frac{1}{s^3}$.

2) $ \displaystyle \frac{s}{s^2+4}$.


1- Dùng kết quả (2) ta có


$ \displaystyle \mathcal{L}(t^2)= \frac{2!}{t^3}\,\, \Rightarrow \,\, \frac{1}{2}\mathcal{L}(t^2)= \frac{1}{s^3}$

Tác động phép biến đổi ngược vào 2 vế ta có:


$ \displaystyle \frac{t^2}{2}= \mathcal{L}^{-1}\left(\frac{1}{s^3}\right)$.


2- Theo (3) ta có


$ \displaystyle \cos(2t)=\mathcal{L}^{-1}\left(\frac{s}{s^2+4}\right)$

Bài tập tự luyện.

[1] Tìm phép biến đổi Laplace của $\sin(at)$.

[2] Tìm phép biến đổi Laplace ngược của $ \displaystyle \frac{1}{s^{n+1}}$.

Các kết quả đẹp:

KQ2. Chứng minh rằng

$$B(x+1,y+1)=\int^{1}_{0}t^{x}\, (1-t)^{y}\,dt= \frac{\Gamma(x+1)\Gamma{(y+1)}}{\Gamma{(x+y+2)}}$$ B is hàm Beta và $\Gamma $là hàm Gamma.

Lưu ý: Bạn có thể hình dung hàm Gamma như sau $n!=\Gamma{(n+1)}$. Thật ra ta có thể mở rộng n ra các điểm trong mặt phẳng phức (trừ các điểm n nguyeenn âm). Hàm Beta cũng với các tính chất thú vị của nó sẽ được giới thiệu trong các phần kế tiếp.

Chứng minh


Theo định nghĩa tích chập, ta chọn f và g như sau

$f(t) = t^{x} \,\, , \, g(t) = t^y$.

Thay vào (4) ta có

$ \displaystyle (t^x*t^y)= \int^{t}_0 s^{x}(t-s)^{y}\,ds \text{ (*)}$

Từ (5)

$\mathcal{L}\left(t^x*t^y\right)= \mathcal{L}(t^x) \mathcal{L}(t^y ) $

Dùng (2) ta được

$ \displaystyle \mathcal{L}\left(t^x*t^y\right)= \frac{x!\cdot y!}{s^{x+y+2}}$.

Ta cần tìm phép biến đổi Laplace ngược của $\mathcal{L}^{-1}$

$ \displaystyle \mathcal{L}^{-1}\left(\mathcal{L}(t^x*t^y)\right)=\mathcal{L}^{-1}\left( \frac{x!\cdot y!}{s^{x+y+2}}\right)=t^{x+y+1}\frac{x!\cdot y!}{(x+y+1)!}$
Ta có:

$ \displaystyle (t^x*t^y) =t^{x+y+1}\frac{x!\cdot y!}{(x+y+1)!}$.

Thay vào (*) :

$ \displaystyle t^{x+y+1}\frac{x!\cdot y!}{(x+y+1)!} = \int^{t}_0 s^{x}(t-s)^{y}\,ds$.

Cho t=1:

$ \displaystyle \frac{x!\cdot y!}{(x+y+1)!} = \int^{1}_0 s^{x}(1-s)^{y}\,ds$.

Và do $n! = \Gamma{(n+1)}$, ta có kết quả

$$ \int^{1}_0 s^{x}(1-s)^{y}\,ds= \frac{\Gamma(x+1)\Gamma{(y+1)}}{\Gamma{(x+y+2)}}.$$

KQ3. Chứng minh rằng

$$\int^{\infty}_0 \frac{f(t)}{t}\,dt=\, \int^{\infty}_0 \, \mathcal{L}(f(t))\, ds\text{ (6)}$$
 Dành cho bạn đọc.
Đây là một quy tắc rất hữu ích, nó thường được dùng để giảm bớt các tính toán cồng kềnh.

Ví dụ: Tính

$$\int^{\infty}_0 \frac{\sin(t)}{t}\,dt$$

Ta đã gặp tích phan này ở phần 1 và sẽ còn gặp lại nữa.
Theo (6) tích phân dạng $\frac{f(t)}{t}$ ta có thể tìm một cách dễ dàng .
$ \displaystyle \int^{\infty}_0 \frac{sin(t)}{t}\,dt= \int^{\infty}_{0}\mathcal{L}(\sin(t))\,ds$
Phép biến đổi Laplace của $\sin(t) $ (phần bài tập tự luyện)

$$\mathcal{L}(\sin(at)) = \frac{a^2}{s^2+a^2}.$$

Cho $a=1$

$ \displaystyle \mathcal{L}(\sin(t)) = \frac{1}{s^2+1}$.

Thay vào tích phân cần tính

$ \displaystyle \int^{\infty}_0 \frac{ds}{1+s^2}= \tan^{-1}(s)|_{s=\infty}-\tan^{-1}(s)|_{s=0}=\frac{\pi}{2}$.


Còn nữa...

Về VNMATH.COM

VNMATH hoạt động từ năm 2008 với slogan Trao đổi để học hỏi, Sẻ chia để vươn lên. Hiện nay VNMATH.COM là trang web Toán học có lượt truy cập lớn nhất Việt Nam.

Chia sẻ bài viết này


Bài viết liên quan

Không có nhận xét nào :

Để lại Nhận xét