Đề thi THPT Quốc gia môn Toán năm 2015, De thi thu THPT Quoc Gia nam 2015

You are here: Home »

Like VNMATH on FACEBOOK để ủng hộ VNMATH.

Các kĩ thuật tính tích phân nâng cao - Phần 1

VNMATH.COM 2 tháng 8, 2013 , 0

Tích phân là một chủ đề khá thú vị và có rất nhiều ứng dụng trong Toán học. Có rất nhiều cách để giải quyết các bài toán tính tích phân. Trong loạt bài này, VNMATH xin giới thiệu một số kĩ thuật tính tích phân nâng cao. Để hiểu được, bạn cần kiến thức cở bản về tích phân lớp 12. Một số bài tập ở đây đòi hỏi thêm một số hiểu biết về các tính chất của các hàm đặc biệt (sẽ giới thiệu và không chứng minh). Bên cạnh đó, một nền tảng tốt về hàm biến phức sẽ giúp bạn rất nhiều.

1. Đạo hàm dưới dấu tích phân

Trước hết ta nhắc lại quy tắc Leibniz
Với mỗi x thuộc (x0x1) ta có


miễn là  f  và đạo hàm riêng của nó fx liên tục trên [x0x1] × [y0y1].

Nếu không phát biểu gì khác những bài toán mà ta xét đều có thể làm theo trình tự sau:
Giả sử ta có hàm hai biến
$ \displaystyle \int ^{b}_a \, f(x,y) \, dx$
Khi đó ta có thể đạo hàm theo biến $y$ miễn là đạo hàm riêng theo biến $y$ của $f$  liên tục trên đoạn lấy tích phân.
$ \displaystyle F'(y) = \int^{b}_{a} f_{y}(x,y)\,dx$.

Bây giờ ta sẽ áp dụng công thức trên vào các bài toán tính tích phân một biến khó bằng cách thêm vào một biến thứ hai và xem nó như hàm hai biến.

Ví dụ 1.

$ \displaystyle \int ^{1}_{0} \, \frac{x^2-1}{\ln (x) }$

Thật khó để tính tích phân trên bằng các kĩ thuật thông thường nhưng bằng cách dùng kĩ thuật này bài toán sẽ trở nên rất nhẹ nhàng, thậm chí là khi số mũ của $x$ rất lớn. Nói chung, những bài toán tích phân có logarit đơn độc ở mẫu là những bài toán không đơn giản.

Trước hết, ta nhắc lại $F(a) = 2^a \Rightarrow \,\, F'(a) = \ln(a) \cdot 2^a$

Áp dụng vào bài toán

$ \displaystyle F(a)=\int ^{1}_{0} \, \frac{x^a-1}{\ln (x) }$

Đạo hàm theo  $a$ ta có

$ \displaystyle F'(b)=\frac{d}{d a}\int^{1}_{0} \frac{x^a-1}{\ln(x)}\,\,dx$

Ta xem hàm dưới dấu tích phân là một hàm hai biến $f(x,a)$

Lấy đạo hàm riêng theo a

$ \displaystyle F'(a)=\int^{1}_{0} \frac{\partial }{\partial a}\left(\frac{x^a-1}{\ln(x)}\right) \,\,dx $

$ \displaystyle F'(a)=\int^{1}_{0} x^a\,\,dx$

$ \displaystyle F'(a)=\frac{x^{a+1}}{a+1} \bigl]^1_0$

$ \displaystyle F'(a)=\frac{1}{a+1}$

Lấy nguyên hàm theo a để có $ \displaystyle F(a)$

$ \displaystyle F(a)=\ln{(a+1)}+C$

$ \displaystyle F(0)=\ln{1}+C$

và do đó $C=0$.

$ \displaystyle \int^{1}_{0} \frac{x^a-1}{\ln(x)}\,\,dx=\ln{(a+1)}$

Bằng phương pháp này ta không chỉ tính được tích phân đã cho mà còn tìm được công thức tổng quát cho $ \displaystyle a$ nào đó.

Để tính tích phân ban đầu ta cho $ \displaystyle a=2$

$ \displaystyle \int^{1}_{0} \frac{x^2-1}{\ln(x)}\,\,dx=\ln{(2+1)}=\ln(3) $

Nhưng không phải khi nào cũng dễ tìm một hàm hai biến để rồi đạo hàm như thế. Kĩ năng dự đoán cũng rất quan trọng.

Ví dụ 2.


$ \displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{x}{\tan x}dx $

Ta phải thêm biến  $ \displaystyle a$ ở đâu?

Xét hàm

$$ F(a)= \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\arctan(a\tan(x))}{\tan (x)}dx $$

Đạo hàm theo $ \displaystyle a$ :

$ \displaystyle F'(a)= \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{1+(a\tan(x) )^2}dx $

Ta có (bạn đọc tự tính)

$ \displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{1+(a\tan(x) )^2}dx= \frac{\pi}{2(1+a)}$

$ \displaystyle F'(a) = \frac{\pi}{2(1+a)}$

Nguyên hàm 2 vế

$ \displaystyle F(a)= \frac{\pi}{2}\ln(1+a) +C $

Thay  $a=0$ ta được $C = 0$

$ \displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\arctan(a\tan(x))}{\tan (x)}\,dx = \frac{\pi}{2}\ln(1+a) $

Thay  $a =1$ ta có được tích phân ban đầu

$ \displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{x}{\tan (x)}\,dx = \frac{\pi}{2}\ln(2) $

Ví dụ 3.  $ \displaystyle \int^{\infty}_{0}\frac{\sin (x) }{x}\,dx$

Bài toán này có thể giải bằng nhiều cách ở đây ta thử giải bằng đạo hàm.

Như đã nói ở trên, thật không dễ để chọn một hàm 2 biến thích hợp. Ở đây, bạn cần các kĩ năng thử sai cho đến khi tìm được kết quả mong muốn. Chẳng hạn ta thử với hàm

$ \displaystyle F(a)=\int^{\infty}_0 \frac{\sin(ax) }{x}\, dx$

Đạo hàm theo $a$ ta có

$ \displaystyle F'(a)=\int^{\infty}_0 \cos(ax) \, dx$

Thật không may vì tích phân này không hội tụ, đây không phải là lựa chọn đúng. Nhưng, tích phân đó hội tụ nếu có một hàm mũ đi kèm (sẽ giải thích trong các phần tiếp theo)

Bây giờ, ta thử với hàm

$ \displaystyle F(a)=\int^{\infty}_0 \frac{\sin(x) e^{-ax}}{x}\, dx$

Lấy đạo hàm như thường lệ

$ \displaystyle F'(a)=-\int^{\infty}_0 \sin(x) e^{-ax}\, dx$

Tích phân từng phần ta được

$ \displaystyle F'(a)=-\int^{\infty}_0 \sin(x) e^{-ax}\, dx=\frac{-1}{a^2+1}$

Từ đó

$ \displaystyle F(a)=-\arctan(a)+C$

 Cho $a$ dần tới vô cùng ta đuwocj

$ \displaystyle C=\lim_{a\to \infty }F(a) +\arctan(a)= \frac{\pi}{2}$

Do đó

$ \displaystyle F(a)=-\arctan(a)+ \frac{\pi}{2}$

Thay $a=0$ thì

$ \displaystyle \int^{\infty}_0 \frac{\sin(x) }{x}=\frac{\pi}{2}$.


Còn nữa...

Về VNMATH.COM

VNMATH hoạt động từ năm 2008 với slogan Trao đổi để học hỏi, Sẻ chia để vươn lên. Hiện nay VNMATH.COM là trang web Toán học có lượt truy cập lớn nhất Việt Nam.

Chia sẻ bài viết này


Bài viết liên quan

Không có nhận xét nào :

Để lại Nhận xét