Đề thi THPT Quốc gia môn Toán năm 2015, De thi thu THPT Quoc Gia nam 2015

You are here: Home »

Like VNMATH on FACEBOOK để ủng hộ VNMATH.

Vì sao 0!=1 và ý tưởng về hàm Gamma

VNMATH.COM 23 tháng 7, 2013 , 0

Trước hết ta nhắc lại khái niệm giai thừa, trong tất cả các số, hãy chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên dương $n$ bất kỳ thì $n!$ (đọc là n giai thừa) bằng với tích $n.(n-1).(n-2).(n-3).......3.2.1$, ví dụ như $5!=5.4.3.2.1=120$.

Vậy câu hỏi đặt ra là giá trị của $0!$ bằng bao nhiêu? Chắc hẳn sẽ có nhiều bạn nghĩ :"Ôi dào, dễ quá, theo khái niệm thì ta suy ra $0!=0$, vậy thôi", nghe cũng có lý chứ nhỉ. Thế nhưng bạn hãy nhìn kỹ lại khái niệm nhé, nếu viết đầy đủ ra thì $0!=0.(0-1).(0-2).......$ và rõ ràng chúng ta không thể tìm ra tích số cuối cùng là $3.2.1$ được.

Nếu thế thì $0!$ bằng bao nhiêu? Theo như sách giáo khoa Giải tích 11 của Nhà xuất bản giáo dục có ghi quy ước $0!=1$, thế nhưng cơ sở nào dẫn đến quy ước này? Tiến sĩ James Grime đến từ Đại học Cambridge, thành viên nhóm Numberphile sẽ có câu trả lời cho chúng ta.

Bây giờ chúng ta thử một vài giá trị giai thừa sau:
$$4!=1.2.3.4=\frac{1.2.3.4.5}{5}=\frac{5!}{5}=24$$
Tương tự, ta được:
$$3!=\frac{4!}{4}=6$$.
$$2!=\frac{3!}{3}=2$$.
$$1!=\frac{2!}{2}=1$$.
Và phần thú vị là đây, chắc hẳn bạn đã thấy một quy luật xuất hiện rồi chứ, vậy từ đó ta được $0!=\frac{1!}{1}=1$ dẫn đến kết quả $0!=1$.

Mở rộng thêm, giả sử số giai thừa áp dụng được cho số nguyên âm thì sao? Nếu thế thì theo quy luật trên, ta có $-1!=\frac{0!}{0}=\frac{1}{0}$, điều này là hoàn toàn vô lý do mẫu số không thể bằng $0$.

Một cách lý giải khác cho kết quả $0!=1$, nếu như bạn nào học về Tổ hợp thì sẽ biết được $n!$ tương ứng với số cách mà bạn có thể hoán đổi vị trí của $n$ vật thể, giả sử tôi có $3$ đồng xu như thế này:


Sẽ có $3!=6$ cách đổi thứ tự các đồng xu, cụ thể:

Nếu ta lấy 1 đồng xu ra, ta còn lại 2 đồng xu và có $2!=2$ cách đổi chỗ 2 đòng xu này, cụ thể:

Lấy thêm 1 đồng xu nữa, ta còn 1 đồng xu, và ta có $1!=1$ cách đổi chỗ đồng xu này.

Bây giờ ta lấy đi đồng xu cuối cùng, cái này hơi trừu tượng một chút, ta lấy đi đồng xu cuối, bây giờ ta có $0$ vật thể, vậy có bao nhiêu cách hoán vị $0$ vật thể đó? Có 1 cách, chính là đây:
Khá là trừu tượng, nhưng thực sự chỉ có $1$ cách để dịch chuyển $0$ vật thể, vì vậy một lần nữa ta được $0!=1$.
Bây giờ ta thử biểu diễn trên trục tọa độ $Oxy$ xem sao, trục $Ox$ ứng với các giá trị $1; 2; 3; ...$, còn trục $Oy$ ứng với kết quả của $1!, 2!, 3!, ...$, vẽ các điểm và nối lại, ta được hình sau:
Từ hình vẽ, tôi dự đoán đồ thị cắt trục $Oy$ tại $1$ từ đó dẫn đến kết quả $0!=1$
Nhắc đến đồ thị, về lý thuyết, mỗi điểm trên đồ thị ứng với 1 giá trị $x;y$, giả sử tôi chọn 1 điểm bất kỳ trên trục $Ox$, giữa $1$ và $2$, giả sử là $\frac{3}{2}$, thế $\frac{3}{2}!$ bằng bao nhiêu? Các nhà toán học hiện thực hóa ý tưởng về phép tính này bằng hàm Gamma, chẳng hạn $\frac{3}{2}!=\Gamma(?)$ hay tổng quát hơn là $\Gamma (n)$, người ta nói
$$\Gamma (n)=\int_{0}^{\infty }t^{n-1}.e^{-t}\ dt$$.

Lúc này sẽ có 1 số người thấy quen thuộc phép tích phân này, một số thì chưa, đây là 1 ý tưởng rất là phức tạp, nhưng điều này có thể giải thích cho phép tính giai thừa.

Còn một vấn đề nữa, điều này thì không mấy ai mong đợi xảy ra, nhưng nếu chúng ta lấy tất cả các giá trị để tính giai thừa (tức tập $\mathbb{R}$), giả sử giá trị đó là $\Gamma (z), z\in\mathbb{R}$

Ta được $\Gamma (n)=(n-1)!$. Một số giá trị đặc biệt của hàm Gamma là:




Vậy ý nghĩa của việc có được 1 hàm số giúp bạn tính giai thừa cho mọi giá trị mà bạn không thể thực hiện được phép hoán vị vật thể là gì? Chẳng hạn có bao nhiêu cách hoán vị $\frac{3}{2}$ vật thể? Đó là hàm số có tính tổng quát và rất hữu ích trong nhiều vấn đề, đơn cử như toán xác suất nơi bạn có thể tìm thấy cách tính giai thừa.

Về VNMATH.COM

VNMATH hoạt động từ năm 2008 với slogan Trao đổi để học hỏi, Sẻ chia để vươn lên. Hiện nay VNMATH.COM là trang web Toán học có lượt truy cập lớn nhất Việt Nam.

Chia sẻ bài viết này


Bài viết liên quan

Không có nhận xét nào :

Để lại Nhận xét