Đề thi THPT Quốc gia môn Toán năm 2015, De thi thu THPT Quoc Gia nam 2015

You are here: Home »

Like VNMATH on FACEBOOK để ủng hộ VNMATH.

Một số tính chất kỳ thú của các ma phương bậc thấp

VNMATH.COM 30 tháng 7, 2013 , 0

ĐỊNH NGHĨA MA PHƯƠNG
Trong toán vui, một ma phương (hay hình vuông kì ảo) bậc $n$ là sự sắp xếp $n^{2}$ số nguyên phân biệt từ $1$ đến $n^{2}$ vào một bảng ô vuông sao cho tổng $n$ số trên mỗi hàng, mỗi cột, mỗi đường chéo bằng nhau.

Mỗi ma phương bậc $n$ đều có một hằng số, gọi là hằng số của ma phương. Hằng số của ma phương chính bằng tổng các số ở mỗi hàng, mỗi cột, mỗi đường chéo. Hằng số của ma phương phụ thuộc vào $n$: $$M=\frac{n(n^{2}+1)}{2}$$

MA PHƯƠNG BẬC BA
$$\begin{array}{|c|c|c|}\hline4&3&8\\\hline9&5&1\\\hline2&7&6\\\hline\end{array}$$

Như đã nói, ta nhận ra được điều đặc biệt ở hình vuông 9 ô này là tổng các số ở mỗi hàng, mỗi cột, mỗi đường chéo của nó đều bằng nhau và đều bằng $15$. Và $15$ chính là hằng số của ma phương bậc ba.
TÍNH CHẤT CỦA MA PHƯƠNG BẬC BA
Thật vậy,
$$4 + 3 + 8 = 9 + 5 + 1 = 2 + 7 + 6 = 4 + 9 + 2 = 3 + 5 + 7 = 8 + 1 + 6 = 4 + 5 + 6 $$
$$= 8 + 5 + 2 = 15$$
Câu hỏi đặt ra là rằng để tạo được một ma phương bậc ba, ta phải làm như thế nào ? Chỉ bằng những mò mẫm vô căn cứ theo suy tính của bản thân hay có một "bí quyết" nào đó. Sau đây là một phương pháp "thủ công" nhưng giúp ta lập được một ma phương bậc ba một cách rất nhanh gọn và đơn giản.

TẠO MA PHƯƠNG BẬC BA
Bước 1 : Trước tiên, ta vẽ hình vuông sau rồi điền các số theo thứ tự (như hình dưới đây) :
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline & & 1 & &\\\hline & 4 & & 2\\\hline7& &5& &3\\\hline & 8 & & 6\\\hline & & 9 & &\\\hline\end{array}$$
Bước 2 : Chuyển các số ngoài cùng $1,3,7,9$ theo thứ tự về giữa hai số $8$ và $6$, $4$ và $8$, $2$ và $6$, $4$ và $2$
Lập tức, ta được một ma phương bậc ba.

MA PHƯƠNG BẬC BA VỚI CÁC SỐ NGUYÊN TỐ LẬP THÀNH CẤP SỐ CỘNG
$$\begin{array}{|c|c|c|}\hline829&1879&409\\\hline619&1039&1459\\\hline1619&199&1249\\\hline\end{array}$$
Bạn nhận ra được điều gì đặc biệt ở ma phương này ?
Các số trong ô vuông này không những là số nguyên tố mà chúng còn hơn kém nhau 210 đơn vị. Thật vậy, với số nguyên tố nhỏ nhất là $199$, chỉ cần liên tục cộng thêm $210$ ta sẽ được toàn bộ các số nguyên tố còn lại của ô vuông.
Có lẽ bạn chưa biết rằng chín số nguyên tố : $199,409,619,829,1039,1249,1669, 1879$ lập thành một cấp số cộng (tức là dãy số mà số hạng sau bằng số hạng trước cộng với một hằng số $d$, gọi là công sai của cấp số cộng, ở đây thì $d = 210$)

MA PHƯƠNG BẬC BỐN
$$\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline1&14&15&4\\\hline12&7&6&9\\\hline8&11&10&5\\\hline13&2&3&16\\\hline\end{array}$$
Khác với ma phương bậc ba, ma phương bậc bốn còn đa dạng hơn về những tính chất.

TÍNH CHẤT CỦA MA PHƯƠNG BẬC BỐN
Tính chất 1 : Tổng các số thuộc 4 góc của ma phương đúng bằng hằng số ma phương
Thật vậy, $$1 + 4 + 13 + 16 = 34$$ (hằng số của ma phương là $34$)
Tính chất 2 : Tổng các số thuộc mỗi hàng đều gồm hai cặp : một cặp có tổng bằng $15$ và một cặp có tổng bằng $19$.
Thật vậy :
Hàng thứ nhất : $$1 + 14 = 15 ; 15 + 4 = 19$$
Hàng thứ hai : $$6 + 9 = 15 ; 12 + 7 = 19$$
Hàng thứ ba : $$10 + 5 = 15 ; 12 + 7 = 19$$
Hàng thứ bốn : $$13 + 2 = 15 ; 3 + 16 = 19$$
Tính chất 3 : Tổng bình phương của các số hàng trên cùng và hàng dưới cùng bằng nhau. Tổng bình phương của các số thuộc hàng giữa cũng bằng nhau.
Thật vậy, ta cùng kiểm chứng :
$$1^{2}+14^{2}+15^{2}+4^{2}=438=13^{2}+2^{2}+3^{2}+16^{2}$$
$$12^{2}+7^{2}+6^{2}+9^{2}=310=8^{2}+11^{2}+10^{2}+5^{2}$$
Tính chất 4 : Tổng bình phương của các số thuộc cột thứ nhất và thứ tư bằng nhau. Tổng bình phương của các số thuộc hai cột giữa cũng bằng nhau.
Cùng kiểm tra nào :
$$1^{2}+12^{2}+8^{2}+13^{2}=378=4^{2}+9^{2}+5^{2}+16^{2}$$
$$14^{2}+7^{2}+11^{2}+2^{2}=370=15^{2}+6^{2}+10^{2}+3^{2}$$
Tính chất 5 : Hãy để ý đến những con số ở hai đầu cột 2 và cột 3 $(14,15,2,3)$ và những con số ở hai đầu hàng 2 và hàng 3 $(12,8,9,5)$, ta sẽ thấy một điều đặc biệt :
$$12 + 14 + 5 + 3 = 15 + 9 + 2 + 8$$
$$12^{2}+14^{2}+5^{2}+3^{2}=374=15^{2}+9^{2}+2^{2}+8^{2}$$
$$12^{3}+14^{3}+5^{3}+3^{3}=4624=15^{3}+9^{3}+2^{3}+8^{3}$$
Thật là kì diệu !
Sau đây, ta sẽ tìm hiểu về cách lập ma phương bậc bốn.

TẠO MA PHƯƠNG BẬC BỐN
Bước 1 : Sắp xếp các số $1,2,...,16$ vào $16$ ô của hình vuông theo thứ tự như hình bên
$$\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline1&2&3&4\\\hline5&6&7&8\\\hline9&10&11&12\\\hline13&14&15&16\\\hline\end{array}$$
Bước 2 : Đổi chỗ các số của hàng 3 và hàng 4 theo thứ tự ngược lại rồi đổi chỗ hàng 2 và hàng 3 cho nhau
$$\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline1&2&3&4\\\hline12&11&10&9\\\hline5&6&7&8\\\hline16&15&14&13\\\hline\end{array}$$
Bước 3 : Đổi chỗ các số của cột 2 và cột 3 theo thứ tự ngược lại
$$\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline1&15&14&4\\\hline12&6&7&9\\\hline5&11&10&8\\\hline16&2&3&13\\\hline\end{array}$$

Bước 4 : Đỗi chỗ các số của hàng 3 và hàng 4 theo thứ tự ngược lại, ta được ma phương bậc 4 (hình trên)


MA PHƯƠNG BẬC BỐN VỚI CÁC SỐ LẺ
$$\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline5&25&3&31\\\hline11&23&13&17\\\hline29&1&27&7\\\hline19&15&21&9\\\hline\end{array}$$

Sau đây là những tính chất thú vị của ma phương bậc bốn với các số lẻ
Tính chất1: Hằng số của ma phương bằng 64 và cũng bằng tổng của các số thuộc :Ma phương bậc bốn với các số lẻ cũng có những tính chất khá thú vị
a) Bốn góc hình vuông
b) Bốn góc của bốn hình vuông nhỏ gồm 9 ô (mỗi hình vuông có kích thước $3$ x $3$)
c) Bốn góc của $10$ hình vuông gồm $4$ ô (hình vuông có kích thước $2$ x $2$)
d) Bốn góc của sáu hình chữ nhật dài 4 ô và rộng 2 ô
e) Từng cặp cạnh đối của hình vuông mà đỉnh là điểm giữa các cạnh của hình vuông đã cho.
Tính chất 2: Tổng các bình phương của các số trong hai hàng 1 và hàng 3 bằng nhau và tổng các bình phương của các số trong hai hàng 2 và hàng 4 cũng bằng nhau
$$5^{2}+25^{2}+3^{2}+31^{2}=1620=29^{2}+1^{2}+27^{2}+7^{2}$$
$$11^{2}+23^{2}+13^{2}+17^{2}=1108=19^{2}+15^{2}+21^{2}+9^{2}$$
Tính chất 3: Tổng các bình phương của các số trong hai cột 1 và cột 3 bằng nhau và tổng các bình phương của các số trong hai cột 2 và 4 cũng bằng nhau
$$5^{2}+11^{2}+29^{2}+19^{2}=1348=3^{2}+13^{2}+27^{2}+21^{2}$$
$$25^{2}+23^{2}+1^{2}+15^{2}=1380=31^{2}+17^{2}+7^{2}+9^{2}$$
Mở rộng hơn, ta tham khảo ma phương bậc 5.

MA PHƯƠNG BẬC NĂM
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline11&24&7&20&3\\\hline4&12&25&8&16\\\hline17&5&13&21&9\\\hline10&18&1&14&22\\\hline23&6&19 &2&15\\\hline\end{array}$$

Xem thêm về ma phương: 

Ma phương cấp 3: Những tính chất ma thuật

Ma phương 8x8

Cách lập Ma phương chẵn: 

Thuật Toán sắp xếp ma phương

Về VNMATH.COM

VNMATH hoạt động từ năm 2008 với slogan Trao đổi để học hỏi, Sẻ chia để vươn lên. Hiện nay VNMATH.COM là trang web Toán học có lượt truy cập lớn nhất Việt Nam.

Chia sẻ bài viết này


Bài viết liên quan

Không có nhận xét nào :

Để lại Nhận xét