Đề thi THPT Quốc gia môn Toán năm 2015, De thi thu THPT Quoc Gia nam 2015

You are here: Home »

Like VNMATH on FACEBOOK để ủng hộ VNMATH.

Chuỗi Grandi và ngọn đèn Thomson

VNMATH.COM 29 tháng 7, 2013 , 0

Hôm nay, tôi sẽ thử làm cho bạn phải đau đầu bằng 1 bài toán thoạt nhìn rất đơn giản, hãy tính kết quả:
$$S=1-1+1-1+1-1+1-1+...$$
Thế nào? Bạn có đáp số rồi chứ? Bài toán nhìn đơn giản chứ nhỉ? Tuy nhiên, kết quả của nó cũng không hề đơn giản tí nào, thậm chí có cả kết quả khiến bạn phải bất ngờ đấy, chúng ta cũng xem nhé!
Giả sử tôi đặt những phép tính trừ trong ngoặc đơn, tức tôi có:
$$S=(1-1)+(1-1)+(1-1)+...$$.
Dễ thấy $1-1$ bằng $0$ nên ta có kết quả:
$$S=0+0+0+0+....=0$$.
Vậy $S=0$.
Câu trả lời này nghe cũng hợp lý chứ nhỉ? Thế nhưng bài toán trên lại có một cách giải khác, đương nhiên kéo theo một đáp số khác:
$$S=1-1+1-1+1-1+1-1+...=1+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+...=1$$.
Vậy $S=1$, tôi có $2$ đáp án cho cùng một bài toán chỉ với việc đặt dấu ngoặc ở những vị trí khác nhau.
Tuy nhiên, lại có đáp án thứ $3$ và đáp án này rất là kỳ lạ, ta có:
$$S=1-1+1-1+1-1+1-1+...$$.
$$\Leftrightarrow 1-S=1-(1-1+1-1+1-1+1-1+...)$$.
$$\Leftrightarrow 1-S=1-1+1-1+1-1+1-1+...$$.
$$\Leftrightarrow 1-S=S$$.
$$\Leftrightarrow 1=2S$$.
$$\Leftrightarrow S=\frac{1}{2}$$.
Lần này tôi có đáp án là $S=\frac{1}{2}$, đây quả thực là đáp án mà ít ai ngờ tới vì đề bài chỉ là những phép cộng trừ với các số tự nhiên mà kết quả tôi nhận được lại là phân số.
Như vậy kết quả của $S$ có thể là $0$, có thể là $1$ và thậm chí có thể là $\frac{1}{2}$.

Chuỗi Grandi

Luigi Guido Grandi

Quay về lịch sử, người đưa ra bài toán này là một nhà toán học người $Ý$ tên Luigi Guido Grandi, ông là một người truyền đạo, nhà toán học và cũng là một nhà triết gia, ông nổi tiếng với cuốn Flores geometrici vào năm $1728$, nghiên cứu về những đồ thị có hình cánh hoa, và đặc biệt đó là chuỗi Grandi vào năm $1703$.

Grandi nhận thấy kết quả của $S$ thật lạ lùng, có thể là $0$, có thể là $1$ và có thể là $\frac{1}{2}$, vậy có điều gì bí ẩn trong phép toán này chăng? Nhiều nhà toán học đã có cái nhìn về điều này, họ cho rằng:" Kết quả không thể nào là $\frac{1}{2}$ được, đúng không?Không thể nào". Nhưng khoan đã, cách giải ra $\frac{1}{2}$ cũng thuyết phục lắm chứ!
Đã có một cuộc tranh luận về điều này trong một thời gian dài, khoảng 150 năm. Đến thế kỷ 19 thì vấn đề này bắt đầu có hướng giải quyết. Nhiều người nghĩ rằng đáp án là $\frac{1}{2}$. Tôi sẽ cho bạn thấy lý do tại sao họ lại nghĩ như vậy.
Cho phép tính tổng:
$$A=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}+...$$
Một trong những hướng mà bạn có thể thực hiện phép tính tổng trên là hãy giải quyết từng tổng một, ta có các giá trị $A$ cộng từ trái sang phải là (tính theo số thập phân):
$$1; 1,5; 1,75; 1,875; 1,96875,...$$
Bạn dễ thấy rằng kết quả của $A$ càng ngày càng gần với $2$, một cách tổng quát giá trị của $A$ là $2-\frac{1}{n};...$. Nhận thấy rằng nếu $n$ càng lớn, dẫn đến giá trị $\frac{1}{n}$ càng nhỏ và tới 1 lúc nào đó, bạn chỉ còn lại $2$ và bằng các phép tính giới hạn, toán học cũng chứng minh được $A=2$. Tuy nhiên, nếu áp dụng phép giới hạn vào dãy Grandi thì sẽ không có tác dụng gì cả, hãy nhìn vào từng phần của phép tính:
$$S=1-1+1-1+1-1+1-1+...$$
Ta được kết quả của $S$ nếu tính từ trái sang phải lần lượt là $1; 0; 1; 0; 1; 0;...$ và nó không chạy tới bất kỳ một giá trị thích hợp nào nên ta không thể xài cách tính giới hạn với $S$
Tôi sẽ cho bạn thấy cách thứ hai để tính tổng từng phần. Hãy nhìn lại cách giá trị của $A$ là $1; 1,5; 1,75; 1,875; 1,96875,...$. Tôi sẽ tính trung bình cộng của nó, tôi lấy $1$, rồi trung bình cộng của $1+1,5; 1+1,5+1,75; ...$ thì kết quả tôi thu được lần lượt là $1, \frac{5}{4}, \frac{17}{12},...$ và một lần nữa kết quả cũng càng ngày càng tiến về con số $2$. Một cách tổng quát kết quả là $2-\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{i}$, dễ thấy khi $n$ càng lớn thì kết quả của $\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{i}$ tiến về $0$, do đó nếu áp dụng cách tính trung bình này thì ta vẫn thu được $A=2$.
Cách này có thể áp dụng cho dãy Grandi, chúng ta cùng thử nhé, ta có kết quả của $S$ lần lượt là $1; 0; 1; 0; 1; 0;...$, áp dụng cách tính trung bình, ta được kết quả lần lượt là $1; \frac{1}{2}; \frac{2}{3}; \frac{1}{2}; \frac{3}{5}, ...$ và một cách tổng quát, ta được $\frac{1}{2}+\frac{1}{2n}$, dễ thấy $n$ càng lớn thì kết quả càng tiến gần đến $\frac{1}{2}$, áp dụng cách này thì chặt chẽ hơn so với cách tôi làm lúc đầu.
Chúng ta sử dụng cách tính trung bình và cách này có hiệu quả với dãy Grandi chứ không phải cách sử dụng giới hạn. Tuy nhiên, bạn vẫn có thêm 1 cách để tính $S$, nó cũng tựa như giới hạn vậy, nhưng không phải là giới hạn.

Ngọn đèn Thomson
Ngọn đèn Thomson là một câu đố triết học, là một biến thể của nghịch lí Zeno. Nó được đưa ra bởi nhà triết học người Anh James F. Thomson.
Hãy tưởng tượng ta có bóng đèn, ta sẽ bật và tắt bóng đèn này. Mỗi lần tôi thấy số $1$, tôi bật đèn, tôi thấy số $-1$, tôi tắt đèn. Cách tính tổng từng phần sẽ cho bạn biết đèn đang bật hay tắt, nếu bạn gặp số $1$, bạn bật đèn, bạn gặp số $0$, bạn tắt đèn.
Bắt đầu thì nghiệm nhé! Sau một phút, bạn hãy bật đèn, sau $\frac{1}{2}$ phút, bạn tắt đèn, sau $\frac{1}{4}$ phút, bạn bật đèn, sau $\frac{1}{8}$ phút, bạn tắt đèn. Bạn chỉ bật hay tắt đèn, càng ngày tốc độ bạn phải nhanh hơn, đương nhiên bạn phải là điều này rất nhiều lần, sử dụng kết quả giới hạn đã nêu, thời gian cho bạn thực hiện thí nghiệm này là $2$ phút. Sau $2$ phút, kết quả là đèn sáng hay tắt? Nếu kết quả của dãy Grandi là $0$ thì đèn tắt, còn $1$ thì đèn mở. Nhưng nếu kết quả của dãy Grandi là $\frac{1}{2}$ thì sao? Chẳng lẽ đèn nửa sáng nửa tối? Đèn bật tắt cùng một lúc à? Theo bạn, bạn nghĩ như thế nào?


Về VNMATH.COM

VNMATH hoạt động từ năm 2008 với slogan Trao đổi để học hỏi, Sẻ chia để vươn lên. Hiện nay VNMATH.COM là trang web Toán học có lượt truy cập lớn nhất Việt Nam.

Chia sẻ bài viết này


Bài viết liên quan

Không có nhận xét nào :

Để lại Nhận xét