VNMATH giới thiệu đề thi học sinh giỏi lớp 9 năm học 2012 - 2013 môn Toán của các tỉnh, thành phố trên toàn quốc. Nội dung khá dài nên các cần một chút thời gian để Mathjax chuyển LaTeX thành công thức toán.
Có thể bạn quan tâm:
Đề thi học sinh giỏi lớp 9 các tỉnh năm học 2011 - 2012. Download.
1. Tính giá trị biểu thức: $A=\sqrt[3]{26+15\sqrt{3}}-\sqrt[3]{26-15\sqrt{3}}$
2. Rút gọn biểu thức:
$P=\frac{\sqrt{a-2}+2}{3}.(\frac{\sqrt{a-2}}{3+\sqrt{a-2}}+\frac{a+7}{11-a}) : (\frac{3\sqrt{a-2}+1}{a-3\sqrt{a-2}-2}-\frac{1}{\sqrt{a-2}})$
Câu 2.
1. Giải phương trình: $3\sqrt{x^3+8}=2x^2-3x+10$
2. Giải hệ phương trình:
$\left\{\begin{matrix}x^2+y^2+xy+1=4y & \\ (x^2+1)(x+y-2)=y & \end{matrix}\right.$
Cho biểu thức: $P=\frac{a^2 -\sqrt{a}}{a+\sqrt{a} +1} -\frac{3a-2\sqrt{a}}{\sqrt{a}} +\frac{a-4}{\sqrt{a} -2}$
1. Trong mặt phẳng tọa độ (Oxy), cho parabol (P) có phương trình y = x2 và đường thẳng d có phương trình y = kx+1 (k là tham số). Tìm k để đường thẳng d cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt M, N sao cho MN=$2\sqrt{10}.$
2. Giải hệ phương trình: $\begin{Bmatrix} (x+y)(x+z) =12 & \\ (y+x)(y+z) =15 & \\ (z+y)(z+x) =20 & \end{Bmatrix}$
(Với x, y, z là các số thực dương).
Câu 3. (3,0 điểm)
Cho đường tròn (O; R), đường thẳng d không đi qua O cắt đường tròn tại hai điểm A, B. Từ một điểm M tùy ý trên đường thẳng d và nằm ngoài đường tròn (O), vẽ hai tiếp tuyến MN, MP của đường tròn (O) (N, P là hai tiếp điểm).
Câu 5. (3,0 điểm)
1. Tìm hai số nguyên dương a và b thỏa mãn $a^2 +b^2$ =[a,b] +7(a,b)
(với [a,b] = BCNN(a,b), (a,b) = ƯCLN(a,b)).
2. Cho tam giác ABC thay đổi có AB = 6, AC = 2BC. Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tam giác ABC.
1.Cho biểu thức $M=(\dfrac{2x \sqrt{x}+x-\sqrt{x}}{x \sqrt{x}-1}-\dfrac{x+\sqrt{x}}{x-1})\dfrac{x-1}{2x+\sqrt{x}-1}+\dfrac{\sqrt{x}}{2 \sqrt{x}-1}$
a.Tìm $x$ để $M$ có nghĩa.Rút gọn $M$.
b.Với giá trị nào của $x$ thì biểu thức $M$ đạt giá trị nhỏ nhất và tìm giá trị nhỏ nhất đó của $M$.
2.Cho $0 \le a \le b \le 1$.Chứng minh $ab^2-a^2b \le \dfrac{1}{4}$.Đẳng thức xảy ra khi nào?.
Câu 2.(5 điểm)
1.Giải phương trình $\sqrt{x+1}-1=\sqrt{x-\sqrt{x+8}}$
2.Cho parabol $(P):y=\dfrac{1}{4}x^2$ và đường thẳng $(d):y=mx-2m-1$ (m là tham số)
a.Tìm $m$ để đường thẳng $(d)$ tiếp xúc với parobol $(P)$
b.Chứng minh đường thẳng $(d)$ luôn đi qua một điểm $A$ cố định thuộc parabol (p)
Câu 3. (5 điểm )
Cho nữa đường thẳng $(O,R)$ đường kính $AB$.Điểm M di chuyển trên nữa đường thẳng song song với $MB$ cắt tiếp tuyến tại $M$ ở $C$ và cắt tiếp tuyến $B$ ở $N$.Chứng minh:
a)Tam giác CDN cân
b)AC là tiếp tuyến của nữa đường tròng $(P)$ và tích $AC.BD$ không đổi.
b)Đường tròn ngoại tiếp tam giác COD luôn tiếp xúc với một đường thẳng cố định khi C di chuyển trên tiếp tuyến $Ax$ của nữa đường tròng $(O)$ (với C khác A).
Câu 4. (2 điểm )
Cho hình vuông ABCD và tứ giác MNPQ nội tiếp hình vuông.Chứng minh $S_{ABCD} \le \dfrac{AC}{4}(MN+NP+PQ+QM)$
Câu 5. (3 điểm )
1.Chứng minh rằng:Nếu $m$ chia hết cho $2$ thì $(m^3+20m)$ chia hết cho 48,mới m là một số nguyên.
2.Tìm số nguyên $x,y$ thỏa mãn phương trình $x^3+2x^2+3x+2=y^3$
Cho biểu thức $P = \frac{\sqrt{n+1}-1}{\sqrt{n+1}+1}+\frac{\sqrt{n+1}+3}{\sqrt{n+1}-3}-\frac{n-\sqrt{n+1}+7}{n-2\sqrt{n+1}-2}$ với $n\in \mathbb{N},n\neq 8$
a/ Rút gọn biểu thức $Q=\frac{P}{n+3\sqrt{n+1}+1}$ với $n\in \mathbb{N},n\neq 8$
b/ Tìm tất cả các giá trị n ( $n\in \mathbb{N},n\neq 8$ ) sao cho P là một số nguyên tố.
Bài 2. (2,0 điểm)
a/ Tìm x, biết: $2\sqrt{x+4}-4\sqrt{2x-6}=x-7$
b/ Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} x+6=4\sqrt{y-4}\\ y+10=6\sqrt{z-9}\\ z-16=2\sqrt{x-1} \end{matrix}\right.$
Bài 3. (2,0 điểm)
a/ Cho hàm số bậc nhất $y = ax + b$ có đồ thị đi qua điểm M(1;4). Biết rằng đồ thị của hàm số đã cho cắt trục Ox tại điểm P có hoành độ dương và cắt trục Oy tại điểm Q có tung độ dương. Tìm a và b sao cho OP + OQ nhỏ nhất ( với O là gốc tọa độ )
b/ Tìm số tự nhiên có 2 chữ số. Biết rằng nếu lấy tổng của 2 chữ số ấy cộng với 3 lần tích của 2 chữ số ấy thì bằng 17.
Bài 4. (2,0 điểm)
Cho tam giác ABC. Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC, qua I vẽ đường thẳng vuông góc với đường thẳng CI, đường thẳng này cắt các cạnh AC, BC lần lượt tại M và N.
a/ Chứng minh rằng hai tam giác IAM và BAI đồng dạng.
b/ Chứng minh rằng $\frac{AM}{BN}= \left ( \frac{AI}{BI} \right )^2.$
Bài 5. (1,5 điểm)
Cho tam giác ABC có $\widehat{BAC}$ là góc tù. Vẽ các đường cao CD và BE của tam giác ABC ( D nằm trên đường thẳng AB, E nằm trên đường thẳng AC). Gọi M,N lần lượt là chân đường vuông góc của các điểm B và C trên đường thẳng DE. Biết rằng $S_{1}$ là diện tích tam giác ADE, $S_{2}$ là diện tích tam giác BEM và $S_{3}$ là diện tích tam giác CDN. Tính diện tích tam giác ABC theo $S_{1},S_{2},S_{3}.$
a) Tìm các số thực $a,b$ sao cho đa thức $4x^4-11x^3-2ax^2+5bx-6$ chia hết cho đa thức $x^2-2x-3$
b) Cho biểu thức $P=(a^{2013}-8a^{2012}+11a^{2011}) + (b^{2013}-8b^{2012}+11b^{2011})$. Tính giá trị của $P$ với $a=4+\sqrt{5}$ và $b=4-\sqrt{5}$
Bài 2. (5 điểm)
a) Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} 6x^2-y^2-xy+5x+5y-6=0\\ 20x^2-y^2-28x+9=0 \end{matrix}\right.$
a. Cho 3 số thực a,b,c thoả mãn a+b+c=$a^{3}+b^{3}+c^{3}$=0
CMR trong 3 số a,b,c có ít nhất 1 số bằng 0.
b. Cho các số tự nhiên a,b,c,d thoả mã a>b>c>d và ac+bd=(b+d+a-c)(b+d-a+c). Chứng minh ab+cd là hợp số
Câu 2. (6 điểm)
a. Giải PT : $\sqrt(2x^{2}+7x+10)+\sqrt(2x^{2}+x+4)=3(x+1)$
b. Giải hệ PT :
$\begin{cases}
x^{2}-3xy+y^{2}& = -1\\
3x^{2}-xy+3y^{2}& =13
\end{cases}$
Câu 3. (3 điểm)
Cho a.b.c là các số thực dương thoả mãn $a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc=1$
Tìm min P = $a^{2}+b^{2}+c^{2}$
Câu 4. (7 điểm)
Từ một điểm D nằm ngoài đường tron (O) kẻ hai tiếp tuyến DA, DB với đường tròn(a và b là các tiếp điểm). Vẽ cát tuyến DEC (e nằm giữa D và C) OD cắt AB tại M, AB cắt EC tại N. Chứng minh:
a. MA là phân giác góc EMC
b. $MB^{2}.DC=MC^{2}.DE$
c. $\frac{2}{EC}=\frac{1}{DC}+\frac{1}{NC}$
a) Cho $A=\sqrt{2012}-\sqrt{2011}$, $B=\sqrt{2013}-\sqrt{2012}$. So sánh $A$ và $B$.
b) Tính giá trị biểu thức: $C=\sqrt[3]{15 \sqrt{3}+26} $ $-\sqrt[3]{15 \sqrt{3}-26} $.
c) Cho $2x^{3}=3y^{3}=4z^{3}$ và $ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 1 $. Chứng minh rằng: $\frac{\sqrt[3]{2x^{2}+3y^{2}+4z^{2}}}{\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{3}+\sqrt[3]{4}}=1$.
Câu 2.(3,0 điểm) Giải phương trình $\frac{1}{\left ( x^{2}+2x+2 \right )^{2}} + \frac{1}{\left ( x^{2}+2x+3 \right )^{2}}=\frac{5}{4}$.
Câu 3.(4,0 điểm) Giải hệ phương trình:
Câu 4.(3,0 điểm) Cho tam giác $ABC$. Gọi $Q$ là điểm trên cạnh $BC$ ($Q$ khác $B, C$). Trên cạnh $AQ$ lấy điểm $P$ ($P$ khác $A, Q$). Hai đường thẳng qua $P$ song song với $AC, AB$ lần lượt cắt $AB, AC$ tại $M, N$.
a) Chứng minh rằng: $\frac{AM}{AB}+\frac{AN}{AC}+\frac{PQ}{AQ}=1 $.
b) Xác định vị trí điểm $Q$ để $\frac{AM.AN.PQ}{AB.AC.AQ}=\frac{1}{27} $.
Câu 5.(3,0 điểm) Cho nửa đường tròn tâm $O$ đường kính $AB$. Điểm $C$ thuộc bán kính $OA$. Đường vuông góc với $AB$ tại $C$ cắt nửa đường tròn $(O)$ tại $D$. Đường tròn tâm $I$ tiếp xúc với nửa đường tròn $(O)$ và tiếp xúc với các đoạn thẳng $CA$, $CD$. Gọi $E$ là tiếp điểm của $AC$ với đường tròn $(I)$. Chứng minh rằng $BD=BE$.
Câu 6.(2,0 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=1-xy$, trong đó $x, y$ là các số thực thỏa mãn điều kiện: $x^{2013}+y^{2013}=2x^{1006}y^{1006}$.
Câu 1. (2.0 điểm)
Cho biểu thức:
\[P = \frac{{x\sqrt x + 26\sqrt x - 19}}{{x + 2\sqrt x - 3}} - \frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x - 1}} + \frac{{\sqrt x - 3}}{{\sqrt x + 3}}\]
a) Rút gọn $P$.
b) Tìm $x$ để $P$ đạt giá trị nhỏ nhất.
Câu 2. (2.0 điểm)
Cho phương trình $x^2 - 2mx + m - 4 = 0$
a) Tìm $m$ để phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_1,x_2$ thỏa mãn $x_1^3 + x_2^3 = 26m$
b) Tìm $m$ nguyên để phương trình có hai nghiệm nguyên.
Câu 3. (3,5 điểm)
Cho tam giác $ABC$ đều cố định nội tiếp trong đường tròn $(O)$. Đường thẳng $d$ thay đổi nhưng luôn đi qua $A$ và cắt cung nhỏ $AB$ tại điểm thứ hai là $E (E\neq A)$. Đường thẳng $d$ cắt hai tiếp tuyến tại $B$ và $C$ của đường tròn $(O)$ lần lượt tại $M$ và $N$; $MC$ cắt $BN$ tại $F$. Chứng minh rằng:
a) Tam giác $CAN$ đồng dạng với tam giác $BMA$, tam giác $MBC$ đồng dạng với tam giác $BCN$.
b) Tứ giác $BMEF$ là tứ giác nội tiếp.
c) Chứng minh đường thẳng $EF$ luôn đi qua một điểm cố định khi $d$ thay đổi nhưng luôn đi qua $A$.
Câu 4:(1,5 điểm)
Cho các số thực dương $a, b, c$ thỏa mãn $a + b + c =6$. Chứng minh rằng:
\[\frac{{b + c + 5}}{{1 + a}} + \frac{{c + a + 4}}{{2 + b}} + \frac{{a + b + 3}}{{3 + c}} \geq 6\].
Dấu "=" xảy ra khi nào?
Câu 5:(1,0 điểm)
Cho $n$ là số tự nhiên lớn hơn $1$. Chứng minh rằng $n^4 + 4^n$ là hợp số.
1) Cho $a$ và $b$ là hai số nguyên dương, gọi $S=a+b$ và $M=BCNN(a,b)$.
a) Chứng minh rằng $ƯCLN(a,b)=ƯCLN(S,M)$
b) Tìm hai số $a$ và $b$ biết $S=26, M=84$
2) Tìm số tự nhiên $n$ để $n+18$ và $n-41$ là các số chính phương.
Câu 2. (4,0 điểm)
1) Cho biểu thức $B=(\frac{1}{\sqrt{n}+1}-\frac{2\sqrt{n}-2}{n\sqrt{n}-\sqrt{n}+n-1}): (\frac{1}{\sqrt{n}-1}-\frac{2}{n-1})$
a) Rút gọn $B$
b) Tìm giá trị của $n$ để $B$ đạt giá trị nhỏ nhất và tìm giá trị nhỏ nhất đó.
2) Cho $\sqrt{5+3x}-\sqrt{5-3x}=a$
Tính giá trị biểu thức $P=\frac{\sqrt{10+2\sqrt{25-9x^2}}}{x}$ theo $a$ với $x\neq 0$.
Câu 3. (4,0 điểm)
1) Giải phương trình $(\sqrt{1+x}-1)(\sqrt{1-x}+1)=2x$
2) Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} x^2+y^2+2x+2y=11\\ x^2y^2+2x^2y+2xy^2+4xy=24 \end{matrix}\right.$
Câu 4. (3,0 điểm)
Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, có $AB<AC$ và $BC=\left ( 4+4\sqrt{3} \right ) cm$. Tính số đo của góc $B$ và $C$ biết bán kính đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$ là $2 cm$.
Câu 5. (5,0 điểm)
Cho hình vuông $ABCD$ có cạnh là $a$ và điểm $N$ trên cạnh $AB$ $(N\neq A,N\neq B)$. Gọi $E$ là giao điểm của tia $CN$ và tia $DA$. Từ điểm $C$ ta kẻ tia $Cy$ vuông góc với $CE$ cắt tia $AB$ tại $F$. Gọi độ dài đoạn $BN$ bằng $x$.
a) Tính diện tích tứ giác $ACFE$ theo $a$ và $x$.
b) Tìm vị trí của điểm $N$ trên $AB$ sao cho diện tích tứ giác $ACFE$ gấp $3$ lần diện tích hình vuông $ABCD$.
Cho biểu thức:
$$P = \left ( \frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}-\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1} \right )\left ( \frac{1}{2\sqrt{x}}-\frac{\sqrt{x}}{2} \right )^{2}$$
1. Rút gọn $P$.
2.Tìm $x$ để $P > 2\sqrt{x}$.
Câu 2. (3,0 điểm)
1. Cho $a,b$ là hai số thực dương tùy ý. Chứng minh $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geqslant \frac{4}{a+b}$.
2. Cho ba số thực $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c = 1$. Chứng minh rằng $\frac{1}{ac}+\frac{1}{bc}\geqslant 16$.
Câu 3. (3,0 điểm )
Cho 100 số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến 100. Xếp một cách tùy ý 100 số trên nối tiếp nhau thành một dáy các chữ số ta được số A. Hỏi A có chia hết cho 2007 không ?
Câu 4. (5,0 điểm)
1. Giải phương trình $4x^{2}+10x+9 = 5\sqrt{2x^{2}+5x+3}$ .
2. Giả sử bộ ba số thực $(x,y,z)$ thỏa mãn hệ:
$$\left\{\begin{matrix} x+1=y+z\\ xy+z^{2}-7z+10 = 0 \end{matrix}\right. (I)$$ .
Tìm tất cả các bộ ba $(x,y,z)$ thỏa mãn hệ $(I)$ sao cho $x^{2}+y^{2}=17$.
Câu 5. (5,0 điểm)
Cho tam giác $ABC$ vuông ở $A$ và đường cao $AH$. Một đường tròn đi qua $B$ và $C$ cắt $AB,AC$ lần lượt ở $M$ và $N$. Vẽ hình chử nhật $AMDC$.
a) Chứng minh rằng $\frac{AM}{CH}=\frac{AN}{ẠH}$.
b) Chứng minh rằng $HN$ vuông góc với $HD$.
Cho biểu thức P = $\frac{x\sqrt{x}-3}{x-2\sqrt{x}-3}-\frac{2(\sqrt{x}-3)}{\sqrt{x}+1}+\frac{\sqrt{x}+3}{3-\sqrt{x}}$
1. Rút gọn biểu thức P
2. Tìm GTNN của biểu thức P và giá trị tương ứng của x
Câu2. (5,0 điểm)
1. Tìm tất cả các giá trị của tham số m sao cho PT $x^{4}-4x^{3}+8x+m= 0$ có 4 nghiệm phân biệt
2. Giải hệ PT
$2+3x= \frac{8}{y^{3}}$ và $x^{3}-2=\frac{6}{y}$
Câu 3. (4,0 điểm)
1. Tìm tất cả các số tự nhiên n dương sao cho $2^{n}-15$ là bình phương của một số tự nhiên
2. Cho m,n là các số tự nhiên dương thỏa mãn $\sqrt{6}-\frac{m}{n}> 0$. CMR $\sqrt{6}-\frac{m}{n}> \frac{1}{2mn}$
Câu 4. (6,0 điểm)
Cho tam giác ABC nhọn có AB <AC , nội tiếp đường tròn $(\Omega )$. Các đường cao AD, BE, CF của tam giác ABC cắt nhau tại H. Gọi M là trung điểm của cạnh BC, $(\omega )$ là đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF. Đường tròn $(\omega )$ cắt đường tròn $(\Omega )$ tại hai điểm A,N ( N$\neq$ A) , đường thẳng AM cắt đường tròn $(\omega )$ tại hai điểm A, K ( A$\neq$ K)
1. CM ba điểm N,H,M thẳng hàng
2. CM $\widehat{NDE}= \widehat{FDK}$
3. Cm tứ giác BHKC nội tiếp đường tròn
Câu 5. (1,0 điểm)
Cho một bảng kẻ ô vuông kích thước 7*7 ( gồm 49 ô vuông đơn vị). Đặt 22 đấu thủ vào bảng sao cho mỗi ô vuông đơn vị không quá một đấu thủ. Hai đấu thủ được gọi là tấn công lẫn nhau nếu họ cùng trên một hàng hoặc cùng trên một cột. CMR với mỗi cách đặt bất kì luôn tồn tại ít nhất 4 đấu thủ đôi mội không tấn công lẫn nhau.
a) Chứng minh rằng nếu tổng của hai số nguyên chia hết cho 3 thì tổng lập phương của
chúng chia hết cho 9.
b) Viết các số tự nhiên lẻ liên tiếp từ 1 đến 2013 ta được số A = 1357911…20112013.
Hỏi số A có bao nhiêu chữ số?
Bài 2. (5 điểm)
a)Giải phương trình: $\sqrt{3x^2-9x+1}=|x-2|$
b) Giải bất phương trình: $\dfrac{x-1}{x+1} \ge \dfrac{x+1}{x-1}$
c) Giải hệ phương trình
$\begin{cases}
& \dfrac{1}{x} -\dfrac{3}{y-2}=2\\
& \dfrac{2}{x} -\dfrac{1}{2-y}=11
\end{cases}$
Bài 3. (3 điểm) Cho phương trình bậc hai $x^2– 2x + m + 2 = 0.$ Tìm m để phương trình:
a) có hai nghiệm phân biệt $x_1, x_2$ thỏa điều kiện $x_1^2+x_2^2=88$
b) có đúng một nghiệm dương.
Bài 4. (3 điểm) Hai thị xã A và B cách nhau 90 km. Một chiếc ô tô khởi hành từ A và một chiếc
mô tô khởi hành từ B cùng một lúc và ngược chiều nhau. Sau khi gặp nhau, xe ô tô chạy thêm
30 phút nữa thì đến B, còn xe mô tô chạy thêm 2 giờ nữa thì đến A. Tìm vận tốc của mỗi xe
(Giả sử rằng hai xe chuyển động đều)
Bài 5. (4 điểm) Cho đường tròn tâm O. Hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau. Gọi I
là trung điểm của OA. Qua I vẽ dây cung MQ vuông góc với OA (M trên cung AC, Q trên cung
AD). Đường thẳng vuông góc với MQ tại M cắt đường tròn (O) tại P.
a) Chứng minh rằng tứ giác PMIO là hình thang vuông và ba điểm P, O, Q thẳng hàng.
b) Gọi S là giao điểm của AP và CQ. Tính số đo góc $\widehat{CSP}$
c) Gọi H là giao điểm của AP và MQ. Chứng minh rằng $MH.MQ = MP^2$
Bài 6. (2 điểm) Cho a, b là hai số dương thỏa điều kiện $a + b \le 1.$
Chứng minh rằng:
$ab+\dfrac{1}{ab} \ge \dfrac{17}{4}$ .
Đẳng thức xảy ra khi nào?
Câu 1.
a, Tính Tổng: S= $\sqrt{1+\frac{1}{1^{2}}+\frac{1}{2^{2}}} +\sqrt{1+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}}+...+ \sqrt{1+\frac{1}{2012^{2}}+\frac{1}{2013^{2}}}$
b, Cho các số nguyên x,y thỏa mãn: $4x+5y =7$
Tìm GTNN của $P=5\left | x \right |-3\left | y \right |$
Câu 2.
Tìm các số hữu tỉ x,y thỏa mãn
$\sqrt{2\sqrt{3}-3}=\sqrt{3x\sqrt{3}}-\sqrt{y\sqrt{3}}$
Câu 3.
Cho các số thực dương a,b,c thoả mãn $abc=\frac{1}{6}$
CMR: $3+\frac{a}{2b}+\frac{2b}{3c}+\frac{3c}{a}\geq a+2b+3c+\frac{1}{a}+\frac{1}{2b}+\frac{1}{3c}$
Câu 4.
Cho tam giác ABC ( AC> AB )có các đường cao AA', BB', CC' và trực tâm H. Gọi (O) là đường tròn tâm O, đường kính BC. Từ A kẻ tiếp tuyến AM, AN tới (O).Gọi M' là giao điểm thứ hai của A'N và (O). K là giao của OH và B'C'.
CMR:
a, M đối xứng M' qua BC
b, Ba điểm M,H,N thẳng hàng
c, $\frac{KB'}{KC'}=(\frac{HB'}{HC'})^{2}$
Câu 5.
Cho bảng vuông 3*3 (3 hàng và 3 cột ). Người ta điền tất cả các số từ 1 đến 9 vào các ô trong bảng (mỗi số điền 1 ô) sao cho tổng bốn số trên bảng con có kích thước 2*2 đều bằng nhau và bằng số T nào đó. Tìm GTLN có thể của T.
Câu 1. 1, Giải phương trình:
$\mid {x-1}\mid + \mid {x+1}\mid = 1+ \mid {x^2 - 1}\mid$
2, Cho $x+y=1, x^3 + y^3=a, x^5+y^5 = b$
CMR: $9b+1=5a(a+1)$
Câu 2. Giải hệ pt
\begin{array}{l} x^2 +y^2+ xy = 1 \\ x^3 + y^3 =x+3y \end{array} \right.
Câu 3.
Cho tam giác vuông ABC, $\hat{A} =90^o$, $BC=2AC$. H là trung điểm BC, $G\in AB$ sao cho $ BG = 2 GA$. Phân giác của $\hat{BAH}$ cắt CG, GH, BC ở M,N,P.
1, Cm AC = MC
2, CM PM = NA
Câu 4.
Cho hình chữ nhật ABCD. M,N lần lượt là trung điểm của AD,BC. E là điểm bất kì trên AB. Hình chiếu của E lên MN là H. DH cắt CE tại P. So sánh:
$\hat{PNM}$ và $\hat{DNM}$
Câu 5.
Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
$5(x^2+y^2)=13(x+y)$.
Tiếp tục cập nhật.
Có thể bạn quan tâm:
Đề thi học sinh giỏi lớp 9 các tỉnh năm học 2011 - 2012. Download.
Đề thi học sinh giỏi tỉnh Bắc Giang năm học 2012-2013
Câu 1.1. Tính giá trị biểu thức: $A=\sqrt[3]{26+15\sqrt{3}}-\sqrt[3]{26-15\sqrt{3}}$
2. Rút gọn biểu thức:
$P=\frac{\sqrt{a-2}+2}{3}.(\frac{\sqrt{a-2}}{3+\sqrt{a-2}}+\frac{a+7}{11-a}) : (\frac{3\sqrt{a-2}+1}{a-3\sqrt{a-2}-2}-\frac{1}{\sqrt{a-2}})$
Câu 2.
1. Giải phương trình: $3\sqrt{x^3+8}=2x^2-3x+10$
2. Giải hệ phương trình:
$\left\{\begin{matrix}x^2+y^2+xy+1=4y & \\ (x^2+1)(x+y-2)=y & \end{matrix}\right.$
Câu 3.
1.Cho hàm số $y=x^2$. Tìm các giá trị của $m$ để đường thẳng $\Delta$ có phương trình $y=x-m$ cắt đồ thị hàm số tại $2$ điểm phân biệt $A(x_1;y_1);B(x_2;y_2)$ thoả mãn $(x_2-x_1)^4+(y_2-y_1)^4=18$
2. Cho $a,b,c$ là các số nguyên tố thoả mãn:
$20abc<30(a+b+c)<21abc$
Tìm $a,b,c$
Câu 4. Cho $\triangle ABC$ vuông tại $A (AB<AC)$. Đường cao $AH$. $O$ là trung điểm của $BC$. Đường tròn $(I)$ đường kính $AH$ cắt $AB,AC$ tại $M,N$. Đường thẳng $AO$ cắt $MN$ tại $D$.
1. Chứng minh: Tứ giác $BMNC$ nội tiếp
2. Chứng minh: $\frac{1}{AD}=\frac{1}{HB}+\frac{1}{HC}$
3. Cho $AB=3; AC=4$. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp $\triangle BMN$
Câu 5. Cho $a,b,c$ là các số dương thoả mãn $abc=1$. Chứng minh rằng:
$\frac{1}{a^2+2b^2+3}+\frac{1}{b^2+2c^2+3}+\frac{1}{c^2+2a^2+3}\le \frac{1}{2}$
-------Hết------
Đề thi HSG tỉnh Bắc Ninh năm học 2012-2013
Câu 1. (4,0 điểm)Cho biểu thức: $P=\frac{a^2 -\sqrt{a}}{a+\sqrt{a} +1} -\frac{3a-2\sqrt{a}}{\sqrt{a}} +\frac{a-4}{\sqrt{a} -2}$
1. Rút gọn biểu thức P
2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P
Câu 2. (4,0 điểm) 1. Trong mặt phẳng tọa độ (Oxy), cho parabol (P) có phương trình y = x2 và đường thẳng d có phương trình y = kx+1 (k là tham số). Tìm k để đường thẳng d cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt M, N sao cho MN=$2\sqrt{10}.$
2. Giải hệ phương trình: $\begin{Bmatrix} (x+y)(x+z) =12 & \\ (y+x)(y+z) =15 & \\ (z+y)(z+x) =20 & \end{Bmatrix}$
(Với x, y, z là các số thực dương).
Câu 3. (3,0 điểm)
1. Giải phương trình nghiệm nguyên: $x^4 -2y^4 -x^2y^2 -4x^2 -7y^2 -5 =0.$
2. Cho ba số a, b, c thỏa mãn $a+b+c =1; a^2+b^2+c^2 =1; a^3+b^3 +c^3 =1$
Chứng minh rằng: $a^{2013} +b^{2013} +c^{2013}.$
Câu 4. (6,0 điểm)Cho đường tròn (O; R), đường thẳng d không đi qua O cắt đường tròn tại hai điểm A, B. Từ một điểm M tùy ý trên đường thẳng d và nằm ngoài đường tròn (O), vẽ hai tiếp tuyến MN, MP của đường tròn (O) (N, P là hai tiếp điểm).
1. Dựng điểm M trên đường thẳng d sao cho tứ giác MNOP là hình vuông.
2. Chứng minh rằng tâm của đường tròn đi qua ba điểm M, N, P luôn thuộc đường thẳng cố định khi M di động trên đường thẳng d.Câu 5. (3,0 điểm)
1. Tìm hai số nguyên dương a và b thỏa mãn $a^2 +b^2$ =[a,b] +7(a,b)
(với [a,b] = BCNN(a,b), (a,b) = ƯCLN(a,b)).
2. Cho tam giác ABC thay đổi có AB = 6, AC = 2BC. Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tam giác ABC.
-------Hết------
Đề thi HSG tỉnh Bình Phước năm học 2012-2013
Câu 1.(5 điểm)1.Cho biểu thức $M=(\dfrac{2x \sqrt{x}+x-\sqrt{x}}{x \sqrt{x}-1}-\dfrac{x+\sqrt{x}}{x-1})\dfrac{x-1}{2x+\sqrt{x}-1}+\dfrac{\sqrt{x}}{2 \sqrt{x}-1}$
a.Tìm $x$ để $M$ có nghĩa.Rút gọn $M$.
b.Với giá trị nào của $x$ thì biểu thức $M$ đạt giá trị nhỏ nhất và tìm giá trị nhỏ nhất đó của $M$.
2.Cho $0 \le a \le b \le 1$.Chứng minh $ab^2-a^2b \le \dfrac{1}{4}$.Đẳng thức xảy ra khi nào?.
Câu 2.(5 điểm)
1.Giải phương trình $\sqrt{x+1}-1=\sqrt{x-\sqrt{x+8}}$
2.Cho parabol $(P):y=\dfrac{1}{4}x^2$ và đường thẳng $(d):y=mx-2m-1$ (m là tham số)
a.Tìm $m$ để đường thẳng $(d)$ tiếp xúc với parobol $(P)$
b.Chứng minh đường thẳng $(d)$ luôn đi qua một điểm $A$ cố định thuộc parabol (p)
Câu 3. (5 điểm )
Cho nữa đường thẳng $(O,R)$ đường kính $AB$.Điểm M di chuyển trên nữa đường thẳng song song với $MB$ cắt tiếp tuyến tại $M$ ở $C$ và cắt tiếp tuyến $B$ ở $N$.Chứng minh:
a)Tam giác CDN cân
b)AC là tiếp tuyến của nữa đường tròng $(P)$ và tích $AC.BD$ không đổi.
b)Đường tròn ngoại tiếp tam giác COD luôn tiếp xúc với một đường thẳng cố định khi C di chuyển trên tiếp tuyến $Ax$ của nữa đường tròng $(O)$ (với C khác A).
Câu 4. (2 điểm )
Cho hình vuông ABCD và tứ giác MNPQ nội tiếp hình vuông.Chứng minh $S_{ABCD} \le \dfrac{AC}{4}(MN+NP+PQ+QM)$
Câu 5. (3 điểm )
1.Chứng minh rằng:Nếu $m$ chia hết cho $2$ thì $(m^3+20m)$ chia hết cho 48,mới m là một số nguyên.
2.Tìm số nguyên $x,y$ thỏa mãn phương trình $x^3+2x^2+3x+2=y^3$
-------Hết------
Đề thi học sinh giỏi thành phố Đà Nẵng năm học 2012-2013
Bài 1. (2,5 điểm)Cho biểu thức $P = \frac{\sqrt{n+1}-1}{\sqrt{n+1}+1}+\frac{\sqrt{n+1}+3}{\sqrt{n+1}-3}-\frac{n-\sqrt{n+1}+7}{n-2\sqrt{n+1}-2}$ với $n\in \mathbb{N},n\neq 8$
a/ Rút gọn biểu thức $Q=\frac{P}{n+3\sqrt{n+1}+1}$ với $n\in \mathbb{N},n\neq 8$
b/ Tìm tất cả các giá trị n ( $n\in \mathbb{N},n\neq 8$ ) sao cho P là một số nguyên tố.
Bài 2. (2,0 điểm)
a/ Tìm x, biết: $2\sqrt{x+4}-4\sqrt{2x-6}=x-7$
b/ Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} x+6=4\sqrt{y-4}\\ y+10=6\sqrt{z-9}\\ z-16=2\sqrt{x-1} \end{matrix}\right.$
Bài 3. (2,0 điểm)
a/ Cho hàm số bậc nhất $y = ax + b$ có đồ thị đi qua điểm M(1;4). Biết rằng đồ thị của hàm số đã cho cắt trục Ox tại điểm P có hoành độ dương và cắt trục Oy tại điểm Q có tung độ dương. Tìm a và b sao cho OP + OQ nhỏ nhất ( với O là gốc tọa độ )
b/ Tìm số tự nhiên có 2 chữ số. Biết rằng nếu lấy tổng của 2 chữ số ấy cộng với 3 lần tích của 2 chữ số ấy thì bằng 17.
Bài 4. (2,0 điểm)
Cho tam giác ABC. Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC, qua I vẽ đường thẳng vuông góc với đường thẳng CI, đường thẳng này cắt các cạnh AC, BC lần lượt tại M và N.
a/ Chứng minh rằng hai tam giác IAM và BAI đồng dạng.
b/ Chứng minh rằng $\frac{AM}{BN}= \left ( \frac{AI}{BI} \right )^2.$
Bài 5. (1,5 điểm)
Cho tam giác ABC có $\widehat{BAC}$ là góc tù. Vẽ các đường cao CD và BE của tam giác ABC ( D nằm trên đường thẳng AB, E nằm trên đường thẳng AC). Gọi M,N lần lượt là chân đường vuông góc của các điểm B và C trên đường thẳng DE. Biết rằng $S_{1}$ là diện tích tam giác ADE, $S_{2}$ là diện tích tam giác BEM và $S_{3}$ là diện tích tam giác CDN. Tính diện tích tam giác ABC theo $S_{1},S_{2},S_{3}.$
-------Hết------
Đề thi HSG tỉnh Đồng Nai năm học 2012-2013
Câu 1. (4 điểm) :
Cho đa thức $P(x)=x^{3}+3ax+2b$ với $x$ là biến số thực, $a$ và $b$ là các số thực thỏa $a^{3}+b^{2}\geq 0$
Tính giá trị của đa thức $P(x)$ tại $x = \sqrt[3]{\sqrt{a^{3}+b^{2}}-b}-\sqrt[3]{\sqrt{a^{3}+b^{2}}+b}$
Câu 2. (4 điểm)
Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} x^{2}-2y+1=0& \\ y^{2}+x-3y+1=0 \end{matrix}\right.$
Câu 3. (3,5 điểm) Cho các số nguyên dương $m,n,k$ thỏa $m.n=k^{2}$ và ước chung lớn nhất của $m,n,k$ bằng 1. Chứng minh rằng: $m,n$ đều là cac số chính phương
Câu 4. (4 điểm) Cho $S$ là tập hợp các số nguyên dương nhỏ hơn 1000
1) Tính số phần tử của $S$ là bội của 3
2) Tính số phần tử của $S$ không là bội của 2 và không là bội của 3
Câu 5. (4,5 điểm) Cho tứ giác $HIJK$ có $\widehat{IHK}=\widehat{JKH}=90^{0}$. Gọi $(I)$ là đường tròn tâm $I$ và tiếp xúc với đường $HK$ tại $H$. $(J)$ là đường tròn tâm $J$ tiếp xúc với đường $HK$ tại $K$. Đường tròn $(I)$ và $(J)$ cắt nhau tại 2 điểm $M,N$ ($M,H$ khác phía đối với $IJ$). Gọi $d$ là đường thẳng đi qua $M$ và song song với đường thẳng $HK$; đường thẳng $d$ cắt $(I)$ tại $A$, $A$ không trùng $M$; đường thẳng $d$ cắt $(J)$ tại điểm $B$, $B$ không trùng $M$. Gọi $C$ là giao điểm của $AH, BK$. $D$ là giao điểm của $MN, HK$
a) Chứng minh $HK$ là đường trung bình của tam giác $ABC$
b) Chứng minh $DH= DK$
-------Hết------
Đề thi học sinh giỏi thành phố Hà Nội năm học 2012-2013
Bài 1. (5 điểm)a) Tìm các số thực $a,b$ sao cho đa thức $4x^4-11x^3-2ax^2+5bx-6$ chia hết cho đa thức $x^2-2x-3$
b) Cho biểu thức $P=(a^{2013}-8a^{2012}+11a^{2011}) + (b^{2013}-8b^{2012}+11b^{2011})$. Tính giá trị của $P$ với $a=4+\sqrt{5}$ và $b=4-\sqrt{5}$
Bài 2. (5 điểm)
a) Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} 6x^2-y^2-xy+5x+5y-6=0\\ 20x^2-y^2-28x+9=0 \end{matrix}\right.$
b) Tìm các số nguyên $x,y$ thỏa mãn $6x^2+10y^2+2xy-x-28y+18=0$
Bài 3. (2 điểm). Cho 3 số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn $\frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{3}{c}=3$. Chứng minh:
$\frac{27a^2}{c(c^2+9a^2)}+\frac{b^2}{a(4a^2+b^2)}+\frac{8c^2}{b(9b^2+4c^2)}\geq \frac{3}{2}$
Bài 4. (7 điểm). Cho tam giác $ABC$ có ba góc nhọn, nội tiếp đường tròn $(O)$ và $AB<AC$. Các đường cao $AD,BE,CF$ gặp nhau tại $H$. Gọi $I$ là giao điểm hai đường thẳng $EF$ và $CB$. Đường thẳng $AI$ cắt $(O)$ tại $M$ ($M$ khác $A$)
a) Chứng minh năm điểm $A,M,F,H,E$ cùng nằm trên một đường tròn.
b) Gọi $N$ là trung điểm của $BC$. Chứng minh ba điểm $M,H,N$ thẳng hàng.
c) Chứng minh $BM.AC+AM.BC=AB.MC$
Bài 5. (1 điểm). Cho 2013 điểm $A_1,A_2,...,A_{2013}$ và đường tròn $(O;1)$ tùy ý cùng nằm trong mặt phẳng. Chứng minh trên đường tròn $(O;1)$ đó, ta luôn có thể tìm được một điểm $M$ sao cho $MA_1+MA_2+...+MA_{2013} \geq 2013$
-------Hết------
Đề thi HSG tỉnh Hải Dương năm học 2012-2013
Download.
Đề thi học sinh giỏi thành phố Hồ Chí Minh năm học 2012-2013
Đang cập nhật.
Đề thi HSG tỉnh Kiên Giang năm học 2012-2013
Download.
Đề thi HSG tỉnh Lâm Đồng năm học 2012-2013
Download
Đề thi HSG tỉnh Hải Dương năm học 2012-2013
Download.
Đề thi học sinh giỏi thành phố Hồ Chí Minh năm học 2012-2013
Đang cập nhật.
Đề thi HSG tỉnh Kiên Giang năm học 2012-2013
Download.
Đề thi HSG tỉnh Lâm Đồng năm học 2012-2013
Download
Đề thi HSG tỉnh Nghệ An năm học 2012-2013
Câu 1. (4 điểm)a. Cho 3 số thực a,b,c thoả mãn a+b+c=$a^{3}+b^{3}+c^{3}$=0
CMR trong 3 số a,b,c có ít nhất 1 số bằng 0.
b. Cho các số tự nhiên a,b,c,d thoả mã a>b>c>d và ac+bd=(b+d+a-c)(b+d-a+c). Chứng minh ab+cd là hợp số
Câu 2. (6 điểm)
a. Giải PT : $\sqrt(2x^{2}+7x+10)+\sqrt(2x^{2}+x+4)=3(x+1)$
b. Giải hệ PT :
$\begin{cases}
x^{2}-3xy+y^{2}& = -1\\
3x^{2}-xy+3y^{2}& =13
\end{cases}$
Câu 3. (3 điểm)
Cho a.b.c là các số thực dương thoả mãn $a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc=1$
Tìm min P = $a^{2}+b^{2}+c^{2}$
Câu 4. (7 điểm)
Từ một điểm D nằm ngoài đường tron (O) kẻ hai tiếp tuyến DA, DB với đường tròn(a và b là các tiếp điểm). Vẽ cát tuyến DEC (e nằm giữa D và C) OD cắt AB tại M, AB cắt EC tại N. Chứng minh:
a. MA là phân giác góc EMC
b. $MB^{2}.DC=MC^{2}.DE$
c. $\frac{2}{EC}=\frac{1}{DC}+\frac{1}{NC}$
-------Hết------
Đề thi HSG tỉnh Phú Yên năm học 2012-2013
Câu 1.(5,0 điểm)
a) Cho $A=\sqrt{2012}-\sqrt{2011}$, $B=\sqrt{2013}-\sqrt{2012}$. So sánh $A$ và $B$.
b) Tính giá trị biểu thức: $C=\sqrt[3]{15 \sqrt{3}+26} $ $-\sqrt[3]{15 \sqrt{3}-26} $.
c) Cho $2x^{3}=3y^{3}=4z^{3}$ và $ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 1 $. Chứng minh rằng: $\frac{\sqrt[3]{2x^{2}+3y^{2}+4z^{2}}}{\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{3}+\sqrt[3]{4}}=1$.
Câu 2.(3,0 điểm) Giải phương trình $\frac{1}{\left ( x^{2}+2x+2 \right )^{2}} + \frac{1}{\left ( x^{2}+2x+3 \right )^{2}}=\frac{5}{4}$.
Câu 3.(4,0 điểm) Giải hệ phương trình:
Câu 4.(3,0 điểm) Cho tam giác $ABC$. Gọi $Q$ là điểm trên cạnh $BC$ ($Q$ khác $B, C$). Trên cạnh $AQ$ lấy điểm $P$ ($P$ khác $A, Q$). Hai đường thẳng qua $P$ song song với $AC, AB$ lần lượt cắt $AB, AC$ tại $M, N$.
a) Chứng minh rằng: $\frac{AM}{AB}+\frac{AN}{AC}+\frac{PQ}{AQ}=1 $.
b) Xác định vị trí điểm $Q$ để $\frac{AM.AN.PQ}{AB.AC.AQ}=\frac{1}{27} $.
Câu 5.(3,0 điểm) Cho nửa đường tròn tâm $O$ đường kính $AB$. Điểm $C$ thuộc bán kính $OA$. Đường vuông góc với $AB$ tại $C$ cắt nửa đường tròn $(O)$ tại $D$. Đường tròn tâm $I$ tiếp xúc với nửa đường tròn $(O)$ và tiếp xúc với các đoạn thẳng $CA$, $CD$. Gọi $E$ là tiếp điểm của $AC$ với đường tròn $(I)$. Chứng minh rằng $BD=BE$.
Câu 6.(2,0 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=1-xy$, trong đó $x, y$ là các số thực thỏa mãn điều kiện: $x^{2013}+y^{2013}=2x^{1006}y^{1006}$.
-------Hết------
Đề thi HSG tỉnh Quảng Bình năm học 2012-2013
Câu 1. (2.0 điểm)
Cho biểu thức:
\[P = \frac{{x\sqrt x + 26\sqrt x - 19}}{{x + 2\sqrt x - 3}} - \frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x - 1}} + \frac{{\sqrt x - 3}}{{\sqrt x + 3}}\]
a) Rút gọn $P$.
b) Tìm $x$ để $P$ đạt giá trị nhỏ nhất.
Câu 2. (2.0 điểm)
Cho phương trình $x^2 - 2mx + m - 4 = 0$
a) Tìm $m$ để phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_1,x_2$ thỏa mãn $x_1^3 + x_2^3 = 26m$
b) Tìm $m$ nguyên để phương trình có hai nghiệm nguyên.
Câu 3. (3,5 điểm)
Cho tam giác $ABC$ đều cố định nội tiếp trong đường tròn $(O)$. Đường thẳng $d$ thay đổi nhưng luôn đi qua $A$ và cắt cung nhỏ $AB$ tại điểm thứ hai là $E (E\neq A)$. Đường thẳng $d$ cắt hai tiếp tuyến tại $B$ và $C$ của đường tròn $(O)$ lần lượt tại $M$ và $N$; $MC$ cắt $BN$ tại $F$. Chứng minh rằng:
a) Tam giác $CAN$ đồng dạng với tam giác $BMA$, tam giác $MBC$ đồng dạng với tam giác $BCN$.
b) Tứ giác $BMEF$ là tứ giác nội tiếp.
c) Chứng minh đường thẳng $EF$ luôn đi qua một điểm cố định khi $d$ thay đổi nhưng luôn đi qua $A$.
Câu 4:(1,5 điểm)
Cho các số thực dương $a, b, c$ thỏa mãn $a + b + c =6$. Chứng minh rằng:
\[\frac{{b + c + 5}}{{1 + a}} + \frac{{c + a + 4}}{{2 + b}} + \frac{{a + b + 3}}{{3 + c}} \geq 6\].
Dấu "=" xảy ra khi nào?
Câu 5:(1,0 điểm)
Cho $n$ là số tự nhiên lớn hơn $1$. Chứng minh rằng $n^4 + 4^n$ là hợp số.
-------Hết------
Đề thi HSG tỉnh Quảng Ngãi năm học 2012-2013
Câu 1. (4,0 điểm)1) Cho $a$ và $b$ là hai số nguyên dương, gọi $S=a+b$ và $M=BCNN(a,b)$.
a) Chứng minh rằng $ƯCLN(a,b)=ƯCLN(S,M)$
b) Tìm hai số $a$ và $b$ biết $S=26, M=84$
2) Tìm số tự nhiên $n$ để $n+18$ và $n-41$ là các số chính phương.
Câu 2. (4,0 điểm)
1) Cho biểu thức $B=(\frac{1}{\sqrt{n}+1}-\frac{2\sqrt{n}-2}{n\sqrt{n}-\sqrt{n}+n-1}): (\frac{1}{\sqrt{n}-1}-\frac{2}{n-1})$
a) Rút gọn $B$
b) Tìm giá trị của $n$ để $B$ đạt giá trị nhỏ nhất và tìm giá trị nhỏ nhất đó.
2) Cho $\sqrt{5+3x}-\sqrt{5-3x}=a$
Tính giá trị biểu thức $P=\frac{\sqrt{10+2\sqrt{25-9x^2}}}{x}$ theo $a$ với $x\neq 0$.
Câu 3. (4,0 điểm)
1) Giải phương trình $(\sqrt{1+x}-1)(\sqrt{1-x}+1)=2x$
2) Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} x^2+y^2+2x+2y=11\\ x^2y^2+2x^2y+2xy^2+4xy=24 \end{matrix}\right.$
Câu 4. (3,0 điểm)
Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, có $AB<AC$ và $BC=\left ( 4+4\sqrt{3} \right ) cm$. Tính số đo của góc $B$ và $C$ biết bán kính đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$ là $2 cm$.
Câu 5. (5,0 điểm)
Cho hình vuông $ABCD$ có cạnh là $a$ và điểm $N$ trên cạnh $AB$ $(N\neq A,N\neq B)$. Gọi $E$ là giao điểm của tia $CN$ và tia $DA$. Từ điểm $C$ ta kẻ tia $Cy$ vuông góc với $CE$ cắt tia $AB$ tại $F$. Gọi độ dài đoạn $BN$ bằng $x$.
a) Tính diện tích tứ giác $ACFE$ theo $a$ và $x$.
b) Tìm vị trí của điểm $N$ trên $AB$ sao cho diện tích tứ giác $ACFE$ gấp $3$ lần diện tích hình vuông $ABCD$.
-------Hết------
Đề thi HSG tỉnh Quảng Trị năm học 2012-2013
Câu 1. (4,0 điểm)Cho biểu thức:
$$P = \left ( \frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}-\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1} \right )\left ( \frac{1}{2\sqrt{x}}-\frac{\sqrt{x}}{2} \right )^{2}$$
1. Rút gọn $P$.
2.Tìm $x$ để $P > 2\sqrt{x}$.
Câu 2. (3,0 điểm)
1. Cho $a,b$ là hai số thực dương tùy ý. Chứng minh $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geqslant \frac{4}{a+b}$.
2. Cho ba số thực $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c = 1$. Chứng minh rằng $\frac{1}{ac}+\frac{1}{bc}\geqslant 16$.
Câu 3. (3,0 điểm )
Cho 100 số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến 100. Xếp một cách tùy ý 100 số trên nối tiếp nhau thành một dáy các chữ số ta được số A. Hỏi A có chia hết cho 2007 không ?
Câu 4. (5,0 điểm)
1. Giải phương trình $4x^{2}+10x+9 = 5\sqrt{2x^{2}+5x+3}$ .
2. Giả sử bộ ba số thực $(x,y,z)$ thỏa mãn hệ:
$$\left\{\begin{matrix} x+1=y+z\\ xy+z^{2}-7z+10 = 0 \end{matrix}\right. (I)$$ .
Tìm tất cả các bộ ba $(x,y,z)$ thỏa mãn hệ $(I)$ sao cho $x^{2}+y^{2}=17$.
Câu 5. (5,0 điểm)
Cho tam giác $ABC$ vuông ở $A$ và đường cao $AH$. Một đường tròn đi qua $B$ và $C$ cắt $AB,AC$ lần lượt ở $M$ và $N$. Vẽ hình chử nhật $AMDC$.
a) Chứng minh rằng $\frac{AM}{CH}=\frac{AN}{ẠH}$.
b) Chứng minh rằng $HN$ vuông góc với $HD$.
-------Hết------
Đề thi HSG tỉnh Thái Bình năm học 2012-2013
Câu 1. (3 điểm)
Cho $x=\sqrt{\frac{1}{2\sqrt{3}-2}-\frac{3}{2(\sqrt{3}+1)}}$.
Tính $A=\frac{4(x+1)x^{2013}-2x^{2012}+2x+1}{2x^{2}+3x}$.
Tính $A=\frac{4(x+1)x^{2013}-2x^{2012}+2x+1}{2x^{2}+3x}$.
Câu 2. (3 điểm)
Giải phương trình $2x^{2}+2x+1=(2x+3)(\sqrt{x^{2}+x+2}-1)$.
Câu 3. (3 điểm)
Tìm các số nguyên $x,y$ thỏa mãn $2y(2x^{2}+1)-2x(2y^{2}+1)+1=x^{3}y^{3}$.
Câu 4. (3 điểm)
Cho đa thức $P(x)=ax^{2}+bx+c$ . Biết $P(x)>0\forall x\in R,a>0$. Chứng minh $\frac{5a-3b+2c}{a-b+c}>1$.
Câu 5. (3 điểm)
Cho đường tròn $(O; R)$, điểm $A$ nằm ngoài đường tròn đó. Kẻ hai tiếp tuyến $AB,AC$ đến $(O)$ ($B,C$ là các tiếp điểm). Trên đường thẳng $d$ đi qua trung điểm của $AB$ và song song với $BC$, lấy điểm $P$. Đường tròn đường kính $OP$ cắt đường tròn $(O)$ tại $M,N$. Chứng minh rằng : $PM = PN = PA$.
Câu 6. (3 điểm)
Cho tam giác $ABC$ vuông tại $C$, có $\widehat{BAC}=30^{\circ}$. Trên đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ lấy điểm $D$ thuộc cung nhỏ $AC$. Chứng minh : $3BD^{2}=5AD^{2}+5CD^{2}\Leftrightarrow DC=2DA$.
Câu 7. (2 điểm)
Cho $a,b,c$ thỏa $0 < a,b,c < 1$ và $ab + bc + ca = 1$. Tìm GTNN của $$P=\frac{a^{2}(1-2b)}{b}+\frac{b^{2}(1-2c)}{c}+\frac{c^{2}(1-2a)}{a}.$$
-------Hết------
Đề thi HSG tỉnh Thanh Hóa năm học 2012-2013
Câu1. ( 4,0 điểm)Cho biểu thức P = $\frac{x\sqrt{x}-3}{x-2\sqrt{x}-3}-\frac{2(\sqrt{x}-3)}{\sqrt{x}+1}+\frac{\sqrt{x}+3}{3-\sqrt{x}}$
1. Rút gọn biểu thức P
2. Tìm GTNN của biểu thức P và giá trị tương ứng của x
Câu2. (5,0 điểm)
1. Tìm tất cả các giá trị của tham số m sao cho PT $x^{4}-4x^{3}+8x+m= 0$ có 4 nghiệm phân biệt
2. Giải hệ PT
$2+3x= \frac{8}{y^{3}}$ và $x^{3}-2=\frac{6}{y}$
Câu 3. (4,0 điểm)
1. Tìm tất cả các số tự nhiên n dương sao cho $2^{n}-15$ là bình phương của một số tự nhiên
2. Cho m,n là các số tự nhiên dương thỏa mãn $\sqrt{6}-\frac{m}{n}> 0$. CMR $\sqrt{6}-\frac{m}{n}> \frac{1}{2mn}$
Câu 4. (6,0 điểm)
Cho tam giác ABC nhọn có AB <AC , nội tiếp đường tròn $(\Omega )$. Các đường cao AD, BE, CF của tam giác ABC cắt nhau tại H. Gọi M là trung điểm của cạnh BC, $(\omega )$ là đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF. Đường tròn $(\omega )$ cắt đường tròn $(\Omega )$ tại hai điểm A,N ( N$\neq$ A) , đường thẳng AM cắt đường tròn $(\omega )$ tại hai điểm A, K ( A$\neq$ K)
1. CM ba điểm N,H,M thẳng hàng
2. CM $\widehat{NDE}= \widehat{FDK}$
3. Cm tứ giác BHKC nội tiếp đường tròn
Câu 5. (1,0 điểm)
Cho một bảng kẻ ô vuông kích thước 7*7 ( gồm 49 ô vuông đơn vị). Đặt 22 đấu thủ vào bảng sao cho mỗi ô vuông đơn vị không quá một đấu thủ. Hai đấu thủ được gọi là tấn công lẫn nhau nếu họ cùng trên một hàng hoặc cùng trên một cột. CMR với mỗi cách đặt bất kì luôn tồn tại ít nhất 4 đấu thủ đôi mội không tấn công lẫn nhau.
-------Hết------
Đề thi HSG tỉnh Thừa Thiên Huế năm học 2012-2013.
Đang cập nhật.
Đề thi HSG tỉnh Vĩnh Long năm học 2012-2013
Bài 1. (3 điểm)Đề thi HSG tỉnh Thừa Thiên Huế năm học 2012-2013.
Đang cập nhật.
Đề thi HSG tỉnh Vĩnh Long năm học 2012-2013
a) Chứng minh rằng nếu tổng của hai số nguyên chia hết cho 3 thì tổng lập phương của
chúng chia hết cho 9.
b) Viết các số tự nhiên lẻ liên tiếp từ 1 đến 2013 ta được số A = 1357911…20112013.
Hỏi số A có bao nhiêu chữ số?
Bài 2. (5 điểm)
a)Giải phương trình: $\sqrt{3x^2-9x+1}=|x-2|$
b) Giải bất phương trình: $\dfrac{x-1}{x+1} \ge \dfrac{x+1}{x-1}$
c) Giải hệ phương trình
$\begin{cases}
& \dfrac{1}{x} -\dfrac{3}{y-2}=2\\
& \dfrac{2}{x} -\dfrac{1}{2-y}=11
\end{cases}$
Bài 3. (3 điểm) Cho phương trình bậc hai $x^2– 2x + m + 2 = 0.$ Tìm m để phương trình:
a) có hai nghiệm phân biệt $x_1, x_2$ thỏa điều kiện $x_1^2+x_2^2=88$
b) có đúng một nghiệm dương.
Bài 4. (3 điểm) Hai thị xã A và B cách nhau 90 km. Một chiếc ô tô khởi hành từ A và một chiếc
mô tô khởi hành từ B cùng một lúc và ngược chiều nhau. Sau khi gặp nhau, xe ô tô chạy thêm
30 phút nữa thì đến B, còn xe mô tô chạy thêm 2 giờ nữa thì đến A. Tìm vận tốc của mỗi xe
(Giả sử rằng hai xe chuyển động đều)
Bài 5. (4 điểm) Cho đường tròn tâm O. Hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau. Gọi I
là trung điểm của OA. Qua I vẽ dây cung MQ vuông góc với OA (M trên cung AC, Q trên cung
AD). Đường thẳng vuông góc với MQ tại M cắt đường tròn (O) tại P.
a) Chứng minh rằng tứ giác PMIO là hình thang vuông và ba điểm P, O, Q thẳng hàng.
b) Gọi S là giao điểm của AP và CQ. Tính số đo góc $\widehat{CSP}$
c) Gọi H là giao điểm của AP và MQ. Chứng minh rằng $MH.MQ = MP^2$
Bài 6. (2 điểm) Cho a, b là hai số dương thỏa điều kiện $a + b \le 1.$
Chứng minh rằng:
$ab+\dfrac{1}{ab} \ge \dfrac{17}{4}$ .
Đẳng thức xảy ra khi nào?
-------Hết------
Đề thi HSG tỉnh Vĩnh Phúc năm học 2012-2013
a, Tính Tổng: S= $\sqrt{1+\frac{1}{1^{2}}+\frac{1}{2^{2}}} +\sqrt{1+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}}+...+ \sqrt{1+\frac{1}{2012^{2}}+\frac{1}{2013^{2}}}$
b, Cho các số nguyên x,y thỏa mãn: $4x+5y =7$
Tìm GTNN của $P=5\left | x \right |-3\left | y \right |$
Câu 2.
Tìm các số hữu tỉ x,y thỏa mãn
$\sqrt{2\sqrt{3}-3}=\sqrt{3x\sqrt{3}}-\sqrt{y\sqrt{3}}$
Câu 3.
Cho các số thực dương a,b,c thoả mãn $abc=\frac{1}{6}$
CMR: $3+\frac{a}{2b}+\frac{2b}{3c}+\frac{3c}{a}\geq a+2b+3c+\frac{1}{a}+\frac{1}{2b}+\frac{1}{3c}$
Câu 4.
Cho tam giác ABC ( AC> AB )có các đường cao AA', BB', CC' và trực tâm H. Gọi (O) là đường tròn tâm O, đường kính BC. Từ A kẻ tiếp tuyến AM, AN tới (O).Gọi M' là giao điểm thứ hai của A'N và (O). K là giao của OH và B'C'.
CMR:
a, M đối xứng M' qua BC
b, Ba điểm M,H,N thẳng hàng
c, $\frac{KB'}{KC'}=(\frac{HB'}{HC'})^{2}$
Câu 5.
Cho bảng vuông 3*3 (3 hàng và 3 cột ). Người ta điền tất cả các số từ 1 đến 9 vào các ô trong bảng (mỗi số điền 1 ô) sao cho tổng bốn số trên bảng con có kích thước 2*2 đều bằng nhau và bằng số T nào đó. Tìm GTLN có thể của T.
-------Hết------
Đề thi HSG tỉnh Yên Bái năm học 2012-2013
Câu 1. 1, Giải phương trình:
$\mid {x-1}\mid + \mid {x+1}\mid = 1+ \mid {x^2 - 1}\mid$
2, Cho $x+y=1, x^3 + y^3=a, x^5+y^5 = b$
CMR: $9b+1=5a(a+1)$
Câu 2. Giải hệ pt
\begin{array}{l} x^2 +y^2+ xy = 1 \\ x^3 + y^3 =x+3y \end{array} \right.
Câu 3.
Cho tam giác vuông ABC, $\hat{A} =90^o$, $BC=2AC$. H là trung điểm BC, $G\in AB$ sao cho $ BG = 2 GA$. Phân giác của $\hat{BAH}$ cắt CG, GH, BC ở M,N,P.
1, Cm AC = MC
2, CM PM = NA
Câu 4.
Cho hình chữ nhật ABCD. M,N lần lượt là trung điểm của AD,BC. E là điểm bất kì trên AB. Hình chiếu của E lên MN là H. DH cắt CE tại P. So sánh:
$\hat{PNM}$ và $\hat{DNM}$
Câu 5.
Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
$5(x^2+y^2)=13(x+y)$.
Tiếp tục cập nhật.
Không có nhận xét nào :