Đề thi THPT Quốc gia môn Toán năm 2015, De thi thu THPT Quoc Gia nam 2015

You are here: Home »

Like VNMATH on FACEBOOK để ủng hộ VNMATH.

Đề thi APMO 2013

VNMATH.COM 8 tháng 5, 2013 , 0

Kì thi Asian Pacific Mathematics Olympiad (APMO) lần thứ 25 diễn ra vào tháng 3 năm 2013.
Đề thi và đáp án AMPO 2013. APMO 2013 Problems and Solutions
Sau đây là bản dịch tiếng Việt đề thi:
Bài 1. Cho tam giác nhọn $ABC$ với các đường cao $AD, BE, CF$, còn $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp. Chứng minh rằng các đoạn thẳng $OA, Ò, OB, OD, OC, OE$ chia tam giác $ABC$ thành ba cặp tam giác có diện tích bằng nhau.


Bài 2. Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ sao cho $ \frac{n^2+1}{[\sqrt{n}]^2+2} $ là một số nguyên. Ở đó $[r]$ là số nguyên dương lớn nhất nhỏ hơn hoặc bằng $r$.

Bài 3. Cho $2k$ số thực $a_1,a_2,...a_k,b_1,b_2,...,b_k$. Xét dãy số thực $(x_n)$ xác định như sau:
\[ X_n =\sum_{i=1}^k [a_in+b_i]\quad (n=1,2,...). \]
Nếu dãy $(x_n)$ là một cấp số cộng, hãy chứng minh rằng $ \textstyle\sum_{i=1}^k a_i $ là một số nguyên. Ở đó $[r]$ là số nguyên dương lớn nhất nhỏ hơn hoặc bằng $r$.

Bài 4. Cho hai số nguyên dương $a,b$ và $A,B$ là hai tập hợp hữu hạn các số nguyên thỏa mãn:
$(i)$ $A$ và $B$ rời nhau;
$(ii)$ Nếu một số nguyên $i$ hoặc thuộc $A$ hoặc $B$ thì $i+a$ thuộc $A$ hoặc $i-b$ thuộc $B$.
Chứng minh rằng $a|A|=b|B|$.
(Ở đó $|X|$ là số phần tử của tập hợp $X$)

Bài 5. Cho tứ giác $ABCD$ là tứ giác nội tiếp đường tròn $ \omega $ và $P$ là một điểm nằm trên phần kéo dài của $AC$ sao cho $PB$ và $PD$ là các tiếp tuyến của $ \omega $. Tiếp tuyến tại $C$ cắt $PD$ tại $Q$ và đường thẳng $AD$ tại $R$. Gọi $E$ là giao điểm thứ hai của $AQ$ và $ \omega $. Chứng minh rằng $B,E,R$ thẳng hàng.

Về VNMATH.COM

VNMATH hoạt động từ năm 2008 với slogan Trao đổi để học hỏi, Sẻ chia để vươn lên. Hiện nay VNMATH.COM là trang web Toán học có lượt truy cập lớn nhất Việt Nam.

Chia sẻ bài viết này


Bài viết liên quan

Không có nhận xét nào :

Để lại Nhận xét