Đề thi THPT Quốc gia môn Toán năm 2015, De thi thu THPT Quoc Gia nam 2015

You are here: Home »

Like VNMATH on FACEBOOK để ủng hộ VNMATH.

Đề thi Olympic Toán Sinh Viên năm 2013

VNMATH.COM 10 tháng 4, 2013 , 0


VNMATH giới thiệu Đề thi Olympic Toán Sinh Viên lần thứ XXI năm 2013. Kì thi diễn ra từ 9/4/2013 đến 14/4/2013 tại Đại học Duy Tân, Đà Nẵng.

Đáp án đã được cập nhật ở đây.


Đề thi Olympic Toán Sinh Viên 2013 môn Đại số (thi sáng 10/4/2013).
Thời gian làm bài 180 phút.

Câu 1. Cho hệ phương trình tuyến tính
$$ \left\{ \begin{matrix}
-x_1 & + & x_2 & + & x_3 & + & \cdots & + & x_n & = \ 1, \\
x_1 & - & 5x_2 & + & x_3 & + & \cdots & + & x_n & = \ 1, \\
\vdots & & \vdots & & \vdots & & \vdots & & \vdots & \vdots \\
x_1 & + & x_2 & + & x_3 & + & \cdots & - & [n(n+1)-1]x_n & = \ 1.
\end{matrix} \right. $$
  1. Giải phương trình với $n=5$.
  2. Giải phương trình với $n$ bất kỳ.

Câu 2. Cho $f_1(x),\ldots,f_n(x)$ lần lượt là các nguyên hàm nào đó của các hàm số $e^x,\ldots,e^{x^n}, \, n \ge 1$. Chứng minh rằng các hàm số này độc lập tuyến tính trong không gian $C[0,1]$ các hàm số liên tục trên đoạn $[0,1]$.

Câu 3. Cho $a_0,a_1,\ldots,a_n$ là các số thực, $n \ge 2$. Tính định thức
$$ D_n=\begin{vmatrix}
a_0-a_1 & a_1 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\
-a_1 & a_1-a_2 & a_2 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\
0 & -a_2 & a_2-a_3 & a_3 & \cdots & 0 & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & -a_{n-1} & a_{n-1}-a_n
\end{vmatrix}. $$
Câu 4. Cho $A,B$ là hai ma trận vuông cấp $n$ trên trường số thực sao cho $A^2B=BA^2$. Chứng minh rằng ma trận $AB-BA$ lũy linh, tức là mọi lũy thừa đủ lớn của nó bằng 0.
*Câu 4 đề sai. Phản thí dụ từ đội ĐH KTQD Hà Nội.

Câu 5. Cho $a$ là một số nguyên lẻ và $b_1,\ldots,b_n$ là các số nguyên sao cho $b_1+\cdots b_n$ lẻ, $n \ge 1$. Chứng minh rằng đa thức
$$ P(x)=ax^{n+1}+b_1x^n+\cdots+b_nx+a $$
không có nghiệm hữu tỉ,

Câu 6. Có bao nhiêu ma trận vuông cấp $n$ có đúng $n+1$ phần tử bằng 1, các phần tử còn lại bằng 0 và có định thức bằng 1?


Đề thi Olympic Toán Sinh Viên 2013 môn Giải tích (thi chiều 10/4/2013).
Thời gian làm bài 180 phút.

Câu 1. Cho $x_1 = a \in \mathbb{R}$ và dãy $(x_n)$ được xác định bởi $(n+1)^2 x_{n+1} = n^2 x_n + 2n+1$. Tìm $\lim\limits_{x \to \infty} x_n$.

Câu 2. Tìm giới hạn
$$ \lim _{n \rightarrow \infty} \int^{1}_{0} \frac{nx^n}{2013+x^n} dx. $$

Câu 3. Cho $\alpha \leq \beta \le 0$. Hãy tìm các hàm số $f : (0, \infty ) \to \mathbb{R}$ thỏa mãn điều kiện
$$ f(x) = \max \{ x^{\alpha}y^{\beta} - f(y) : y \ge x \}$$ với mọi $$ x \in \ (0,\infty). $$

Câu 4. Cho hàm $f(x)$ liên tục trên $[0,1]$ và khả vi trong $(0,1)$ thỏa mãn $f(0)=0 ; f(1)=1$. Chứng minh rằng tồn tại các số phân biệt $x_1,x_2,\ldots,x_{2013} \in (0,1)$ sao cho
$$ \sum_{k=1}^{2013} \frac{kx_k}{f'(x_k)}=\frac{2013 \times 1007}{2}. $$

Câu 5. Cho $f(x)$ là hàm dương, liên tục trên đoạn $[0,1]$ và thỏa mãn điều kiện
$$ f(x)+f\left( \left( 1-\sqrt{x} \right)^2 \right) \le 1 $$
với mọi $x \in [0,1]$. Chứng minh rằng
$$ \int_0^1 \sqrt{f(x)} \, dx \le \frac{\pi\sqrt5}{8}. $$

Câu 6 Thí sinh chọn một trong hai câu:
  1. Cho $(a_n)$ là dãy số dương sao cho chuỗi số $\sum\limits_{n=1}^\infty a_n$ hội tụ. Chứng minh rằng tồn tại dãy số dương $(b_n)$ sao cho $\lim\limits_{n \to \infty} b_n = \infty$ và chuỗi $\sum\limits_{n=1}^\infty a_nb_n < \infty$ cũng hội tụ.
  2. Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $[0,1]$. Chứng minh rằng nếu tồn tại hàm $g(x)$ đơn điệu thực sự (tức là đơn điệu và $g(x) \ne g(x)$ nếu $x \ne y$) và liên tục trên đoạn $[0,1]$ sao cho
    $$ \int_0^1 f(x)g^k(x)\,d(x)=0, \ \ \forall k=0,1,\ldots,2013 $$
    thì phương trình $f(x)=0$ có ít nhất 2014 nghiệm phân biệt nằm trong khoảng $(0,1)$.
    Hãy chỉ ra thí dụ nếu bỏ tính đơn điệu của hàm $g(x)$ thì định lý có thể không đúng.

Về VNMATH.COM

VNMATH hoạt động từ năm 2008 với slogan Trao đổi để học hỏi, Sẻ chia để vươn lên. Hiện nay VNMATH.COM là trang web Toán học có lượt truy cập lớn nhất Việt Nam.

Chia sẻ bài viết này


Bài viết liên quan

Không có nhận xét nào :

Để lại Nhận xét