Đề thi THPT Quốc gia môn Toán năm 2015, De thi thu THPT Quoc Gia nam 2015

You are here: Home »

Like VNMATH on FACEBOOK để ủng hộ VNMATH.

Đề thi chọn đội tuyển Việt Nam tham gia IMO 2013

VNMATH.COM 5 tháng 4, 2013 , 1

VNMATH giới thiệu Đề thi chọn đội tuyển tham gia IMO 2013 của Việt Nam. Kì thi diễn ra trong hai ngày 5 và 6/04/2013 tại Đại học Sư phạm Hà Nội. Lời giải và danh sách đội tuyển sẽ được VNMATH cập nhật sau.

Việt Nam Team Selection Test 2013


Ngày thi thứ nhất - 05/04/2013
Bài 1. Cho tứ giác $ABCD$ có các cạnh không song song nội tiếp $(O,R)$. Gọi $E$ là giao điểm hai đường chéo và đường phân giác góc $AEB$ cắt các đường thẳng $AB, BC, CD, DA$ lần lượt tại $M, N, P, Q.$
1/ Chứng minh rằng các đường tròn $(AQM), (BMN), (CNP), (DPQ)$ cùng đi qua một điểm. Gọi điểm đó là $K$.
2/ Đặt $\min \{ AC, BD \} = m $. Chứng minh rằng $OK \le \dfrac{2R^2}{\sqrt{4R^2-m^2}}.$

Bài 2.
1/ Chứng minh rằng tồn tại vô số số nguyên dương $t$ sao cho $2012t+1, 2013t+1$ đều là các số chính phương.
2/ Giả sử $m, n$ là các số nguyên dương sao cho $mn+1, mn+n+1$ đều là các số chính phương. Chứng minh rằng $n$ chia hết cho $8(2m+1)$.

Bài 3. Với số $n$ nguyên dương, đặt $S = \{1, 2, 3, ..., 2n+1 \} $. Xét hàm số $ f : (S \times \mathbb{Z}) \to [0;1]$ thỏa mãn đồng thời các điều kiện:
i/ $f(x,0)=f(x,2n+1)=0$.
ii/ $f(x-1,y)+f(x+1, y)+f(x,y+1)+f(x,y-1)=1$.
Gọi $F$ là tập hợp tất cả các hàm số $f$ thỏa mãn.
1/ Chứng minh rằng $|F|$ là vô hạn.
2/ Đặt $v_f$ là tập hợp tất cả các ảnh của $f$. Chứng minh rằng $v_f$ là hữu hạn.
3/ Tìm giá trị lớn nhất của $v_f$.

Ngày thi thứ hai - 06/04/2013. Đang cập nhật.


Bài 4. Tìm hằng số k nguyên dương lớn nhất thỏa mãn: Với mọi a,b,c dương mà abc=1 thì ta có bất đẳng thức:
$$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} + \frac{k}{{a + b + c + 1}} \ge \frac{k}{4} + 3.$$

Bài 5. Cho tam giác $ABC$ nhọn không cân có góc $BAC$ bằng $45^{o}$. Các đường cao $AD, BE, CF$ trực tâm $H$. Đường thẳng $EF$ cắt đường thẳng $BC$ tại $P$. $I$ là trung điểm của $BC; IF$ cắt $PH$ tại $Q$.
a) Chứng minh rằng góc $IQH=AIE$.
b) Gọi $K$ là trực tâm của tam giác $AEF; (J)$ là đường tròn ngoại tiếp tam giác $KPD. CK$ cắt đường tròn $(J)$ tại $G; IG$ cắt $(J)$ tại $M; JC$ cắt đường tròn đường kính $BC$ tại $N$. Chứng minh rằng $G; N; M;C$ cùng thuộc một đường tròn.

Bài 6. Cho một khối lập phương $10 \times 10 \times 10$ gồm $1000$ ô vuông đơn vị màu trắng. An và Bình chơi một trò chơi. Bình thì chọn một số dải $1\times 1 \times 10$ sao cho với hai dải bất kì thì không có chung đỉnh hoặc cạnh và đổi tất cả các ô sang màu đen. An thì được chọn một ô bất kì và hỏi Bình là màu gì. Hỏi An phải chọn ít nhất bao nhiêu ô để với mọi câu trả lời của Bình luôn xác định được những ô nào màu đen.

Về VNMATH.COM

VNMATH hoạt động từ năm 2008 với slogan Trao đổi để học hỏi, Sẻ chia để vươn lên. Hiện nay VNMATH.COM là trang web Toán học có lượt truy cập lớn nhất Việt Nam.

Chia sẻ bài viết này


Bài viết liên quan

1 comments :