Đề thi THPT Quốc gia môn Toán năm 2015, De thi thu THPT Quoc Gia nam 2015

You are here: Home »

Like VNMATH on FACEBOOK để ủng hộ VNMATH.

Tổng hợp Đề thi Olympic Toán các nước năm 2013

VnMaTh.CoM 16 tháng 2, 2013 , 1

7. Đề thi Olympic Toán Nhật Bản 2013
Bài 1: Cho $n\geq k$ là hai số nguyên. Chia $n$ vào đúng $k$ nhóm được đánh thứ tự $1,2,…,k$ sao cho mỗi người thuộc đúng một nhóm và mỗi nhóm có ít nhất một người.Chứng minh rằng ta có thể chia $n^2$ cái kẹo cho $n$ người trên thỏa các điều kện sau

  1. Mỗi người đều có ít nhất một cái kẹo.
  2. Mỗi người thuộc nhóm $i$ đều có $a_i$ cái kẹo.
  3. Nếu $i<j$ thì $a_i>a_j$.

Bài 2: Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{Z}\to\mathbb{R}$ thỏa

$$f(m)+f(n)=f(mn)+f(m+n+mn),\forall m,n\in\mathbb{Z}.$$

Bài 3: Cho $n\geq 2$ là số nguyên dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của số $m$ sao cho tồn tại $n$ số nguyên dương $a_1,a_2,…,a_n$ thỏa đồng thời hai điều kiện sau:
  • $a_1<a_2<\cdots <a_n=m$.
  • $\dfrac{a_1^2+a_2^2}{2},\ \dfrac{a_2^2+a_3^2}{2},\ \cdots,\ \dfrac{a_{n-1}^2+a_n^2}{2}$ đều là số chính phương.

Bài 4: Cho tam giác nhọn $ABC$ với $H$ là trực tâm. Một đường tròn thay đổi đi qua $B,C$ cắt đường tròn đường kính $AH$ tại $X,Y$. Gọi $D$ là chân đường cao hạ từ $A$ xuống $BC$, $K$ là chân đường cao hạ từ $D$ xuống $XY$. Chứng minh rằng $\hat{BKD}=\hat{CKD}$.

Bài 5: Cho $n$ là số nguyên dương. Trên mặt phẳng cho các điểm $P_1,P_2,…,P_{4n}$ sao cho không có ba điểm nào thẳng hàng. Với mỗi $i=1,2,…,4n$ ta quay đoạn $P_iP_{i-1}$ một góc $90^0$ theo chiều kim đồng hồ với tâm quay là $P_i$, ta tiếp tục làm như thế cho đoạn $P_{i+1}P_i$. Tìm giá trị lớn nhất số các cặp $(i,j)$ sao cho các đoạn $P_iP_{i+1}$ và $P_jP_{j+1}$ cắt nhau tại điểm không phải là các đầu mút.
Lưu ý rằng: $P_0 = p_ {4n}, \ p_ {4n +1} = P_1$ và $1 \leq i <j \leq 4n.$

6. Đề thi Olympic Toán Philippine 2013
Câu 1: Xác định ít nhất một số nguyên dương $n$ sao cho tồn tại $n$ số nguyên dương phân biệt $x_{1}$, $x_{2}$,…, $x_{n}$ để $$\left(1-\frac{1}{x_1}\right)\left(1-\frac{1}{x_2}\right)\cdots\left(1-\frac{1}{x_n}\right)=\frac{15}{2013}.$$


Câu 2: Gọi $P$ là một điểm bất kỳ thuộc miền trong của tam giác $ABC$. Gọi $D$, $E$, $F$ lần lượt là giao điểm của $AP$ với $BC$, $BP$ với $AC$, $CP$ với $AB$. Giả sử rằng các tam giác $APF$, $BPD$, $CPE$ có cùng diện tích. Chứng minh rằng $P$ là trọng tâm tam giác $ABC$.


Câu 3: Cho $n$ là số nguyên dương. Các số từ $1$, $2$,…, $2n$ được sắp xếp bất kỳ trên một đường tròn. Mỗi dây cung được nối hai điểm trong các điểm kia và được gán bằng độ chênh lệch dương của hai điểm đầu mút. Chứng minh rằng ta có thể chọn được $n$ dây cung đôi một không cẳt nhau sao cho tổng các số được gán trên các dây cung bằng $n^{2}$.


Câu 4: Cho $p\leq q$ là hai số nguyên dương. Chứng minh rằng nếu một trong hai số $a^{p}$ hoặc $a^{q}$ chia hết cho $p$ thì số còn lại cũng chia hết cho $p$.


Câu 5: Cho $r,s$ là các số thực dương sao cho $\left ( r+s-rs \right )\left ( r+s+rs \right )=rs$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $r+s-rs$ và $r+s+rs$.

5. Đề thi Olympic Toán Trung Quốc 2013
Câu 1: Cho 2 đường tròn $K_{1}$ và $K_{2}$ bán kính khác nhau cắt nhau tại 2 điểm $A$ và $B$, cho $C$, $D$ là 2 điểm trên $K_{1}$, $K_{2}$ tương ứng, sao cho $A$ là trung điểm $CD$. Kéo dài $DB$ cắt $K_{1}$ tại $E$, kéo dài $CB$ cắt $K_{2}$ tại $F$. Cho $l_{1}$,$l_{2}$ tương ứng là trung trực của $CD$ và $EF$.


a) Chứng minh $l_{1}$,$l_{2}$ có 1 điểm chung $P$.

b) Chứng minh $CA$, $AP$ và $PE$ có độ dài của 3 cạnh 1 tam giác vuông.

Câu 2: Tìm tất cả các tập không rỗng $S$ nguyên sao cho $3m-2n\in S$, $\forall m,n\in S$.

Câu 3: Tìm tất cả các số thực dương $t$ thỏa mãn: tồn tai 1 tập $X$ thực vô hạn sao cho: $max\left \{ \mid x-(a-d)\mid ,\mid y-a\mid,\mid z-(a+d)\mid\right \}> td$,$\forall x,y,z\in X$, $a,d\in R,d> 0$.


Câu 4: Cho $n\geq 2$, có 1 tập hữu hạn $A_{1}, A_{2},...,A_{n}$ sao cho với $i,j\in \left \{ 1,2,...,n \right \},\left | A_{i}\Delta A_{j} \right |=\left | i-j \right |$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $\sum_{i=1}^{n}\left | A_{i} \right |$.

Câu 5: Cho số nguyên dương $n,0\leq i\leq n$ biểu diễn $ C_n^i\equiv c(n,i)(\bmod 2) $, ở đây $c(n,i)\in\left \{ 0,1 \right \}$, $f\left ( n,q \right )=\sum_{i=0}^{n}c\left ( n,i \right )q^{i}$. $m,n,q$ nguyên dương và $q+1\neq 2^{\alpha }$,$\forall \alpha\in N$.Chứng minh: $f(m,q)\mid f(n,q)$ thì $f(m,r)\mid f(n,r)$ với r nguyên dương.

Câu 6: $m,n$ là các số nguyên dương, tìm số nguyên dương $N$ nhỏ nhất thỏa mãn: nếu S là 1 tập các số nguyên dương chứa 1 hệ thặng dư đầy đủ mod $m$ và $\left | S \right |=N$ thì tồn tại 1 tập không rỗng $A\subseteq S$ mà $n\mid \sum_{x\in A}x$.

4. Đề thi Olympic Toán Anh Quốc 2013
Vòng 1
Câu 1: Isaac đặt một số quân cờ lên trên 1 bàn cờ $8\times 8$ sao cho có nhiều nhất 1 quân cờ trong mỗi ô. Hãy xác định số lượng cờ lớn nhất mà anh đặt được sao cho có nhiều nhất 4 quân trên cùng 1 hàng, 1 cột hoặc 1 đường chéo.


Câu 2: Cho 2 đường tròn $S$ và $T$ tiếp xúc nhau tại $X$. Có 1 tiếp tuyến chung tiếp xúc $S$ tại $A$ và $T$ tại $B$( $A$ khác $B$). Kẻ đường kính $AP$ của $S$. CM: $B,X$ và $P$ thẳng hàng.

Câu 3:Giải hệ phương trình$$\left\{\begin{matrix} x^{2}-4y+7=0\\ y^{2}-6z+14=0\\ z^{2}-2x-7=0 \end{matrix}\right.$$

Câu 4: Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ sao cho $12n-119$ và $75n-539$ là những số chính phương.

Câu 5: Một tam giác có chiều dài các cạnh tương ứng lớn nhất có thể là 2,3 và 4. Tính diện tích khả dĩ lớn nhất của tam giác.
Câu 6: Cho tam giác $ABC$. Cho đường tròn $S$ đi qua $B$ và tiếp xúc với $CA$ tại $A$, đường tròn $T$ đi qua $C$ và tiếp xúc với $AB$ tại $A$. Đường tròn $S$ và $T$ cắt nhau tại $A$ và $D$. $AD$ cắt đường tròn ngoại tiếp $ABC$ tại $E$, Chứng minh: $D$ là trung điểm $AE$.


Vòng 2
Câu 1 : Tìm $(m;n)$ biết $m;n \in Z$


Câu 2: Điểm $P$ nằm bên trong tam giác $ABC$ thỏa mãn: $\widehat{ABP}=\widehat{PCA}$. Dựng hình bình hành $PBQC$. Chứng minh $\widehat{QAB}=\widehat{CAP}$.

Câu 3: Xét tập hợp các số nguyên dương viết trong hệ nhị phân, có đúng $2013$ chữ số và chữ số $0$ nhiều hơn chữ số $1$. Gọi $n$ là số các số nguyên như vậy và $s$ là tổng các chữ số của $n$. Chứng minh rằng, khi viết trong hệ nhị phân, $n + s$ có số chữ số $0$ hơn số chữ số $1$.
Câu 4: Giả sử $ABCD$ là một hình vuông và $P$ đó là một điểm nằm trên đường tròn nội tiếp hình vuông. Có tồn tại hay không điểm $P$ sao cho độ dài các đoạn thẳng $PA, PB, PC, PD$ và $AB$ đều là các số nguyên?


3. Đề thi Olympic Toán Zhautykov 2013 (Kazakhstan)

Ngày thứ nhất


Câu 1: Cho hình thang $ABCD$ có $AD//BC$ và $\widehat{ABC}=90^{0}$. M là một điểm trên cạnh $AB$. Gọi $ O_{1},O_{2}$ lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $MAD$ và $MBC$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $ MO_{1}D$ và $ MO_{2}C$ cắt nhau tại $N$. Chứng minh rằng đường thẳng $O_{1}O_{2}$ đi qua $N$.


Câu 2: Tìm tất cả các số nguyên dương lẻ $n>1$ sao cho: Tồn tại 1 hoán vị $a_1; a_2; ...; a_n$ của $1; 2;...; n$ sao cho $n$ chia hết một trong các số $a_k^2-a_{k+1}+1$ và $a_k^2-a_{k+1}-1$, với $k=\overline{1;n}$. (Quy ước $a_{n+1}=a_1$.)


Câu 3: Cho $a,b,c,d$ là các số thực dương thỏa mãn $abcd=1$. Chứng minh rằng
$\frac{(a-c)(c+1)}{1+bc+c}+\frac{(b-1)(d+1)}{1+cd+d}+\frac{(c-1)(a+1)}{1+da+a}+\frac{(d-1)(b+1)}{1+ab+b}\geq 0$.


Ngày thứ hai

Câu 1: Cho một tam thức bậc hai $p(x)$ với hệ số thực. Chứng minh rằng có một số nguyên dương $n$ sao cho phương trình $p(x)=\frac{1}{n}$ không có nghiệm hữu tỉ.


Câu 2: Cho lục giác lồi $ABCD$ có $AB//DE$, $BC//EF$ và $CD//FA$. Khoảng cách giữa $AB$ và $DE$ bằng khoảng cách giữa $CD$ và $FA$ và bằng khoảng cácgiuawxswx $CD$ và $FA$. Chứng minh rằng tổng $AD+BE+CF$ không lớn hơn chu vi lục giác $ABCDEF$.


Câu 3: Cho bảng $10\times 10$ có $100$ ô đơn vị. Một khối là 1 hình vuông $2\times 2$ gồm $4$ ô đơn vị của bảng. Một tập $C$ gồm $n$ khối phủ hết bảng (ví dụ như mỗi ô của bảng được phủ bởi 1 số khối) nhưng không tồn tại $n-1$ khối nào của C phủ hết bảng. Tìm giá trị lớn nhất của $n$.

2. Đề thi Olympic Toán  Ấn Độ 2013
Câu 1: Cho hai đường tròn $\Gamma_1$ và $\Gamma_2$ có tâm lần lượt là $O_1$ và $O_2$ tiếp xúc ngoài với nhau tại $R$R. Gọi $\ell_1$ là đường thẳng qua $O_1$ và tiếp xúc với $\Gamma_2$ tại $P$, và đưởng thẳng $\ell_2$ qua $O_2$ tiếp xúc với $\Gamma_1$ tại $Q$. Gọi $K=\ell_1\cap \ell_2$. Giả sử $KP=KQ$, chứng minh rằng tam giác $PQR$ đều.

Câu 2: Tìm tất cả $m,n\in\mathbb{N}$ và số nguyên tố $p\geq 5$ sao cho
$$m(4m^2+m+12)=3(p^n-1).$$

Câu 3: Cho $a,b,c,d\in\mathbb{N}$ với $a\geq b\geq c\geq d$. Chứng minh rằng phương trình
$$x^4-ax^3-bx^2-cx-d = 0 \text{ không có nghiệm nguyên.}$$

Câu 4: Cho $n$ là số nguyên dương, gọi $T_n$ là số tập con khác rỗng $S$ của tập $\{1,2,3,...,n\}$ sao cho trung bình cộng các phần tử của $S$ là số nguyên. Chứng minh rằng $T_n-n$ là số chẵn.

Câu 5: Cho tam giác nhọn $ABC$, gọi $O,H,G$ lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp, trực tâm, trọng tâm. Gọi $D\in BC, E\in CA$ sao cho $OD\perp BC, HE\perp CA$. Gọi $F$ là trung điểm của $AB$. Giả sử rằng các tam giác $ODC, HEA, GFB$ có cùng diện tích. Tính các giá trị có thể của góc $C$.

Câu  6: Cho $a,b,c,x,y,z$ là sáu số thực dương thỏa $ x+y+z=a+b+c$ và $xyz=abc$. Ngoài ra $a\leq x<y<z\leq c$ và $a<b<c$. Chứng minh rằng $ a=x,b=y , c=z$.

1. Đề thi học sinh giỏi Quốc gia môn Toán Việt Nam 2013. Xem chi tiết.


Tiếp tục cập nhật.






Về VNMATH.COM

VNMATH hoạt động từ năm 2008 với slogan Trao đổi để học hỏi, Sẻ chia để vươn lên. Hiện nay VNMATH.COM là trang web Toán học có lượt truy cập lớn nhất Việt Nam.

Chia sẻ bài viết này


Bài viết liên quan

1 comments :