Đề thi THPT Quốc gia môn Toán năm 2015, De thi thu THPT Quoc Gia nam 2015

You are here: Home »

Like VNMATH on FACEBOOK để ủng hộ VNMATH.

Đề thi Olympic Toán SV 2013 của ĐH Sư phạm Hà Nội

VNMATH.COM 26 tháng 2, 2013 , 0

VNMATH giới thiệu Đề thi Olympic Toán Sinh viên năm 2013 của Đại học Sư phạm Hà Nội.
Môn Đại số. Thời gian làm bài 180 phút.

LaTex.
Câu 1. Cho ma trận vuông $A=(a_{ij})$ cấp $n$ trong đó
$$a_{ij}=\begin{cases}
c_i&\text{nếu} j\equiv i+1(\mod n),\\
0&\text{các trường hợp còn lại.}
\end{cases}$$
Chứng minh rằng $$\det(I+A+A^2+\ldots+A^{n-1})=(1-c)^{n-1}$$ trog đó $c=c_1c_2\ldots c_n$.

Câu 2. Cho ma trận $A$ là một ma trận thực có hạng bằng $r$. Chứng minh rằng các ma trận $AA^t$ và $A^tA$ cũng có hạng bằng $r$.

Câu 3. Giả sử hai ma trận vuông cùng cấp $A$ và $B$ đều là nghiệm của đa thức $f(x)=x^2-x$ và $AB+BA=0$. Tính $\det(A-B)$.

Câu 4. Cho phương trình $a_0x^n+a_{1}x^{n-1}+\ldots+a_{n-1}x+a_n=0$ với $a_0<0$ có $n$ nghiệm thực phân biệt. Chứng minh $(n-1)a_1^2>2na_0a_2$.

Câu 5. Cho đa thức $P(x)=a_nx^n+\ldots+a_1x+a_0$ bậc $n$ và $a_n>0$. Biết rằng các đa thức $P(x)$ và $P(P(x))$ có đúng $n$ nghiệm thực. Chứng minh rằng đa thức $P(P(P(x)))$ cũng có đúng $n$ nghiệm thực.

Môn Giải tích. Thời gian làm bài 180 phút. Đang cập nhật.

Về VNMATH.COM

VNMATH hoạt động từ năm 2008 với slogan Trao đổi để học hỏi, Sẻ chia để vươn lên. Hiện nay VNMATH.COM là trang web Toán học có lượt truy cập lớn nhất Việt Nam.

Chia sẻ bài viết này


Bài viết liên quan

Không có nhận xét nào :

Để lại Nhận xét