Đề thi THPT Quốc gia môn Toán năm 2015, De thi thu THPT Quoc Gia nam 2015

You are here: Home »

Like VNMATH on FACEBOOK để ủng hộ VNMATH.

Đề thi Olympic Toán sinh viên ĐHSP Thành phố Hồ Chí Minh năm 2013

VnMaTh.CoM 23 tháng 2, 2013 , 0

VNMATH giới thiệu Đề thi Olympic Toán sinh viên 2013 của Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh.

Đề thi môn Giải tích
Câu 1: Cho $|q |< 1$ và $\lim_{n \to +\infty} \epsilon_n=0$. Giả sử dãy $(a_n)$ không âm và thoả $a_{n+1} \le qa_n +\epsilon_n \;, \forall n \in \mathbb{N}$. Chứng minh $\lim_{n \to +\infty} a_n =0.$

Câu 2: Giả sử hai dãy $(a_n),(b_n)$ thoả các điều kiện sau:
i) $\frac{5}{12} \le a_n+b_n \le \frac{11}{12} $
ii) $a_{n+1}=a_n^2+2b_n(1-a_n-b_n)$
iii) $b_{n+1}=b_n^2+2a_n(1-a_n-b_n)$
Tìm $\lim_{n \to +\infty}a_n $, $ \lim_{n \to +\infty} b_n. $

Câu 3: Cho $P(x),Q(x)$ là các đa thức hệ số thực thoả mãn:
$$P\left[ e^x+xQ(x)+x^2Q^2(x) \right] =Q \left[ e^x+xP(x)+x^2P^2(x) \right] \;, \forall x \in \mathbb{R} $$
Chứng minh $P \equiv Q.$

Câu 4: Cho $f$ liên tục trên $[a;b]$, khả vi trên $(a,b)$ và $f'(x) \neq 0 \;, \forall x \in (a,b)$. Chứng minh rằng

$$\exists c \in (a,b) \frac{2}{a-c} < f'\left ( c \right ) \cot (f \left ( c \right )) < \frac{2}{b-c}.$$

Câu 5: Cho $a_1,a_2,...,a_{2013},b_1,b_2,...,b_{2013}>0$ sao cho :
$$a_1^x+a_2^x+...+a_{2013}^x \ge b_1^x+b_2^x+...+b_{2013}^x \;\;, \forall x \in \mathbb{R}$$.

Xét tính đơn điệu của hàm số
$$f(x)=\left( \frac{a_1}{b_1} \right)^x+\left( \frac{a_2}{b_2} \right)^x+...+\left( \frac{a_{2013}}{b_{2013}} \right)^x. $$

Câu 6:Cho $f \in C^2[0;a] \;, a>0, f(x) \geq 0,f''(x) \geq 0,\; \forall x \in [0;a]$. Giả sử $f(0)=f(a)=1$. Gọi $m=\min_{[0;a]} f(x)$, chứng minh
$$\int_0^a f(x) \sqrt{1+f'^2(x)}dx \leq a+1-m^2.$$

Đề thi môn Đại số.

Bài 1: Cho $A$ là ma trận cấp $2 \times 3$ và $B$ là ma trận cấp $3 \times 2 $ thỏa

$$BA=\begin{bmatrix}

8 &  2&-2 \\

2&  5& 4\\

-2&4  & 5

\end{bmatrix} $$

Tìm $AB$

Bài 2: Cho n là số nguyên dương, x, a, b là các số thực với $a \neq b$. Ký hiệu $M_n$ là ma trận vuông cấp $2n$ thỏa

$$m_{ij}=\left\{\begin{matrix}

x \; \text{nếu} \; i=j\\ a \; \text{nếu} \;i \neq j \; \text{và} \; i+j \;\text{là chẵn} \\

b \;\text{nếu} \; i \neq j \; \text{và} \; i+j \;\text{là lẻ}

\end{matrix}\right.$$

Tìm $\lim_{x \to a} \frac{\det(M_n)}{(x-a)^{2n-2}}$

Bài 3: Cho $A \in M_n (\mathbb{R})$. Chứng minh rằng $A^tA$ và $A^t$ có cùng hạng.

Bài 4: Cho ma trận $A$ như sau với $b_i \neq 0 \;, \forall i \in \{1;2;...;n\} $

$$A=\begin{bmatrix}

a_1 & b_1 &0  &0  &\cdots   & 0 &0 \\

b_1& a_2 & b_2 &0  &\cdots   &0  &0 \\

.& . &.  &.  & . & . &. \\

0& 0 & 0 & .  &.  &a_{n-1}  &b_{n-1} \\

0& 0 & 0 &.   & . & a_n &b_n

\end{bmatrix}$$

Chứng minh $rank(A) \ge n-1 $

Bài 5:

a) Cho $x_1,...,x_n$ là $n$ vector khác không của kgvt $V$ và $\varphi : V \to V $ là một phép biến đổi tuyến tính thỏa $\varphi x_1=x_2,\; \varphi x_k=x_k-x_{k-1} $ với $k=2,3,...,n $. Chứng minh rằng hệ vector $x_1,...,x_n$ độc lập tuyến tính.

b) Chứng minh rằng hệ vector $\{|x-1|,|x-2|,...,|x-n| \}$ độc lập tuyến tính trong không gian các hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$.

Bài 6: Cho $A,B$ là hai ma trận đối xứng cấp $n$. Giả sử tồn tại hai ma trận $X,Y$ cấp $n$ thỏa $\det(AX+BY) \neq 0$. Chứng minh $\det(A^2+B^2) \neq 0$.

Bài 7: Cho $A,B,C,D \in M_n(\mathbb{R})$ thỏa $AB^t$ và $CD^t$ là hai ma trận đối xừng và $AD^t-BC^t=I$. Chứng minh rằng $A^tD-C^tB=I$.

Bài 8: Cho $P,Q,U,V$ là các ma trận cấp 2 thỏa $U,V$ là 2 nghiệm phân biệt của phương trình $X^2-PX+Q=0$ và $U-V$ khả nghịch.

Chứng minh $Tr(U+V)=Tr(P) $ và $\det(UV)=\det(Q)$.

Bài 9: Cho $P$ là đa thức hệ số thực có $n$ nghiệm thực phân biệt lớn hơn 1. Xét

$$Q(x)=(x^2+1)P(x)P'(x)+x(P^2(x)+P'^2(x))$$

$Q(x)$ có ít nhất $2n-1$ nghiệm thực phân biệt đúng hay sai?

Về VNMATH.COM

VNMATH hoạt động từ năm 2008 với slogan Trao đổi để học hỏi, Sẻ chia để vươn lên. Hiện nay VNMATH.COM là trang web Toán học có lượt truy cập lớn nhất Việt Nam.

Chia sẻ bài viết này


Bài viết liên quan

Không có nhận xét nào :

Để lại Nhận xét