Đề thi THPT Quốc gia môn Toán năm 2015, De thi thu THPT Quoc Gia nam 2015

You are here: Home »

Like VNMATH on FACEBOOK để ủng hộ VNMATH.

Đề thi chọn đội tuyển Olympic Toán Sinh viên của ĐH FPT 2013

VnMaTh.CoM 23 tháng 2, 2013 , 0

VNMATH giới thiệu Đề thi chọn đội tuyển Olympic Toán Sinh viên của Đại học FPT năm 2013. 
Tải về file PDF De olympic SV DH FPT 2013. Download.
Môn Đại số.

Bài 1.
Tính định thức của ma trận vuông cấp $n$ sau
$\left[ \begin{matrix}
x+{{a}_{1}} & {{a}_{2}} & ... & {{a}_{n}} \\
{{a}_{1}} & x+{{a}_{2}} & ... & {{a}_{n}} \\
... & ... & ... & ... \\
{{a}_{1}} & {{a}_{2}} & ... & x+{{a}_{n}} \\
\end{matrix} \right]$

Bài 2.
Tìm tất cả các giá trị nguyên của $m$ sao cho $P(x)={{x}^{4}}-(2m+4){{x}^{2}}+{{(m-2)}^{2}}$ là tích của hai đa thức có hệ số nguyên có bậc ít nhất là 1.

Bài 3.
Cho ma trận $A$ vuông cấp $n$ có $rank(A)=r.$ Kí hiệu $W$ là không gian các ma trận vuông $X$ cấp $n$ có tính chất $AX=0$. Tính $dimW.$

Bài 4.
Cho $A=\left( {{a}_{ij}} \right)$ là ma trận vuông khác 0 cấp $n$ thỏa mãn ${{a}_{ik}}{{a}_{jk}}={{a}_{kk}}{{a}_{ij}}$ với mọi $i,j,k$. Kí hiệu $tr(A)$, vết của ma trận $A$ là tổng các phần tử trên đường chéo chính của $A.$
a) Chứng minh rằng $tr(A)\ne 0.$
b) Tính đa thức đặc trưng của $A$ theo $tr(A).$

Bài 5.
Một ma trận vuông $A$ được gọi là trực giao nếu $A{{A}^{T}}={{A}^{T}}A=I$ với $I$ là ma trận đơn vị có cùng cấp với $A.$ Cho $A,B$ là các ma trận đơn vị trực giao cùng cấp thỏa mãn điều kiện $\det (A)+\det (B)=0.$ Hỏi có thể kết luận $\det (A+B)=0$ được không?

Bài 6. Chọn một trong hai câu.

6a. Tính ${{\left[ \begin{matrix}
2013 & 2012 \\
2012 & 2013 \\
\end{matrix} \right]}^{n}}$.

6b. Cho $A,B$ là các ma trận vuông cấp 2. Giả sử ${{A}^{2}}={{B}^{2}}=0$ và $AB=BA.$ Chứng minh rằng $AB=0.$

Môn Giải tích.

Bài 1.
a) Chứng minh rằng với mọi $x$ thì $\cos x\le 1-\frac{{{x}^{2}}}{2!}+\frac{{{x}^{4}}}{4!}$.
b) Chứng minh rằng $\tan (\sin x)>x$ với $x\in \left[ 0;\frac{\pi }{3} \right]$

Bài 2.
Cho $a,b$ là các số thực dương. Chứng minh rằng $\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{\sqrt[n]{a}+\sqrt[n]{b}}{2} \right)^n=\sqrt{ab}$.

Bài 3.
Cho dãy số $({{a}_{n}})$ được xác định như sau
$\left\{ \begin{align}
& {{a}_{1}}=0,{{a}_{2}}=\frac{1}{2}, \\
& {{a}_{n}}=\frac{1}{3}\left( 1+{{a}_{n-1}}+a_{n-2}^{3} \right),n>2 \\
\end{align} \right.$
Chứng minh rằng dãy số này có giới hạn. Tìm giới hạn đó.

Bài 4.
Tính tích phân sau $I=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}}{\frac{\sin x}{\sin x+\cos x}dx}$.

Bài 5.
Cho hàm số $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ thỏa mãn điều kiện $f\left( x+2f(y) \right)=3f\left( xf(y) \right)$ với $x,y\in \mathbb{R}.$
Chứng minh rằng $f(x)=0$ với mọi $x.$

Bài 6. Chọn một trong hai câu.

6a. Cho $f(x)$ là hàm số liên tục trên đoạn $[1;2]$ và giả sử $\int\limits_{1}^{2}{f(x)dx=0}$. Chứng minh rằng tồn tại giá trị $\theta \in \left( 1;2 \right)$ sao cho $\int\limits_{1}^{\theta }{f(x)dx=\theta }f(\theta )$.

6b. Cho hàm số $f(x)$ khả vi trên $\left( 0;+\infty \right)$ và giả sử $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( f(x)+2\sqrt{x}{f}'(x) \right)=0$.
Chứng minh rằng $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)=0$.

Về VNMATH.COM

VNMATH hoạt động từ năm 2008 với slogan Trao đổi để học hỏi, Sẻ chia để vươn lên. Hiện nay VNMATH.COM là trang web Toán học có lượt truy cập lớn nhất Việt Nam.

Chia sẻ bài viết này


Bài viết liên quan

Không có nhận xét nào :

Để lại Nhận xét