Đề thi Olympic Sinh viên Đại học Bách khoa Hà Nội 2013 môn Giải tích. Download.
Đề thi Olympic Sinh viên Đại học Bách khoa Hà Nội 2013 môn Đại số. Xem ảnh.
Latex
Đề thi chọn Đội tuyển Olympic Sinh viên Đại học Bách khoa hà Nội năm 2013Môn Giải tích.
Câu 1: Tìm giới hạn: $\lim_{n \to \infty } \dfrac{{{1^5} + {2^5} + ... + {n^5}}}{{{n^6}}}$
Câu 2: Tìm $L = \lim\limits_{m \to \infty } {\alpha _m}$. Với ${\alpha _m} = \mathop {Max}\limits_{x \in \left[ {0;1} \right]} \left( {x - {x^m}} \right)$
Câu 3: Cho hàm $u(x)$ dương liên tục trên $[0; \infty )$. Hàm $\varphi \left( x \right)$ tăng và khả vi trên $[0;+ \infty )$, $\varphi \left( 0 \right) = 1$.
Biết rằng với mọi $x\geq 0$, ta có:
$$u\left( x \right) \le 1 + \int\limits_0^x {\frac{{\varphi '\left( t \right)}}{{\varphi \left( t \right)}}} u\left( t \right)dt$$
Chứng minh:
$$u(x) \leq \varphi \left( x \right), \forall x \in [0;+\infty )$$
Câu 4: Cho $f_1(x)=4x^3-3x$ , $f_{n+1}=f_1(f_n)$. Tính:
\[\lim\limits_{n \to \infty } \int\limits_{ - 1}^1 {f_n^2} \left( x \right)dx\]
Câu 5: Tìm tất cả hàm $f(x)$ xác định trên $(0;\infty )$ và khả vi 2 lần thỏa mãn :
$$ \left \{ \begin{array}{l}f'(x) > 0\\f\left( f'\left( x \right) \right) = - f(x) \end{array} \right.$$
Không có nhận xét nào :