Đề thi THPT Quốc gia môn Toán năm 2015, De thi thu THPT Quoc Gia nam 2015

You are here: Home »

Like VNMATH on FACEBOOK để ủng hộ VNMATH.

Đề thi học sinh giỏi Quốc gia môn Toán năm 2013

VNMATH.COM 12 tháng 1, 2013 , 2

VNMATH xin giới thiệu  Đề thi học sinh giỏi Quốc gia môn Toán năm 2013.  Kỳ thi chọn học sinh giỏi quốc gia năm 2013 diễn ra trong 3 ngày từ 11/1 đến 13/1/2013.
Tải về File PDF VMO2013. Download.

Đề thi VMO 2013 (LaTex)

Ngày thi thứ nhất: 11/01/2013
Bài 1 (5,0 điểm):
Giải hệ phương trình sau:
$$\left\{\begin{matrix}\sqrt{\sin^2x+\dfrac{1}{\sin^2x}}+\sqrt{\cos^2y+\dfrac{1}{\cos ^2y}}=\sqrt{\dfrac{20y}{x+y}} \textbf{ (1)}\\ \sqrt{\sin^2y+\dfrac{1}{\sin^2y}}+\sqrt{\cos^2x+\dfrac{1}{\cos ^2x}}=\sqrt{\dfrac{20x}{x+y}} \textbf{ (2)} \end{matrix}\right.$$

Bài 2 (5,0 điểm):
Cho dãy số xác định như sau:
$$\left \{ \begin{matrix} a_1&=&1 &\\a_{n+1}&=&3-\dfrac{a_n+2}{2^{a_n}}&, \forall \geq 1 \end{matrix}\right. $$
Chứng minh dãy số có giới hạn và tìm giới hạn đó

Bài 3 (5,0 điểm):

Cho tam giác không cân $ABC$. Kí hiệu $(I)$ là đường tròn tâm $I$ nội tiếp tam giác $ABC$ và $D,E,F$ là các tiếp điểm của $(I)$ với $BC,CA,AB$. Đường thẳng qua $E$ vuông góc $BI$ cắt $(I)$ tại $K$ khác $E$, đường thẳng qua $F$ vuông góc $CI$ cắt $(I)$ tại $L$ khác $F$. Gọi $J$ là trung điểm $KL$.
a) Chứng minh $D,I,J$ thẳng hàng
b) Giả sử $B,C$ cố định, $A$ thay đổi sao cho tỷ số $\frac{AB}{AC}=k$ không đổi. Gọi $M,N$ tương ứng là các giao điểm $IE, IF$ với $(I)$ ($M$ khác $E$, $N$ khác $F$). $MN$ cắt $IB, IC$ tại $P,Q$. Chứng minh đường trung trực $PQ$ luôn qua 1 điểm cố định

Bài 4 (5,0 điểm): Cho trước một số số tự nhiên được viết trên một đường thẳng. Ta thực hiện các bước điền số lên đường thẳng như sau: tại mỗi bước, trước tiên xác định tất cả các cặp số kề nhau hiện có trên đường thẳng theo thứ tự từ trái qua phải, sau đó điền vào giữa mỗi cặp một số bẳng tổng của hai số thuộc cặp đó. Hỏi sau $2013$ bước, số $2013$ xuất hiện bao nhiêu lần trên đường thẳng trong các trường hợp sau:

   a) Các số cho trước là: $1$ và $1000$?
   b) Các số cho trước là: $1,2,...,1000$ và được xếp theo thức tự tăng dần từ trái qua phải

Ngày thi thứ hai: 12/01/2013

Bài 5: (7,0 điểm)
Tìm tất cả hàm số $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ thỏa $f\left( 0 \right)=0;f\left( 1 \right)=2013$ và
$$\left( x-y \right)\left( f\left( {{f}^{2}}\left( x \right) \right)-f\left( {{f}^{2}}\left( y \right) \right) \right)=\left( f\left( x \right)-f\left( y \right) \right)\left( {{f}^{2}}\left( x \right)-{{f}^{2}}\left( y \right) \right)$$ đúng với mọi $x,y\in \mathbb{R}$, trong đó ${{f}^{2}}\left( x \right)={{\left( f\left( x \right) \right)}^{2}}$

Bài 6: (7,0 điểm)
Cho tam giác nhọn $ABC$ nội tiếp $(O)$ và $D$ thuộc cung $BC$ không chứ điểm $A$. Đường thẳng $\vartriangle $ thay đổi đi qua trực tâm $H$ của tam giác $ABC$ cắt đướng tròn ngoại tiếp tam giác $ABH, ACH$ tại $M,N$ ($M,N$ khác $H$)
a)Xác định vị trí của đường thẳng $\vartriangle $ để diện tích tam giác $AMN$ lớn nhất
b)Kí hiệu $d_1$ là đường thẳng qua $M$ vuông góc $DB, d_2$ là đường thẳng qua $N$ vuông góc $DC$. Chứng minh giao điểm $P$ của $d_1$ và $d_2$ luôn thuộc 1 đường tròn cố định

Bài 7: (6,0 điểm)
Tìm tất cả bộ sắp thứ tự $\left( a,b,c,{{a}^{'}},{{b}^{'}},{{c}^{'}} \right)$ thỏa

$$\left \{ \begin{array}{l} ab + a'b' \equiv 1\textbf{(mod 15) (1)}\\ ac + a'c' \equiv 1\textbf{(mod 15) (2)}\\ bc + b'c' \equiv 1\textbf{(mod 15) (3)} \end{array} \right.$$
Với $a,b,c,{{a}^{'}},{{b}^{'}},{{c}^{'}}\in \left\{ 0,1...14 \right\}$.
Đáp án  Đề thi học sinh giỏi Quốc gia môn Toán năm 2013 sẽ được cập nhật sau.

Về VNMATH.COM

VNMATH hoạt động từ năm 2008 với slogan Trao đổi để học hỏi, Sẻ chia để vươn lên. Hiện nay VNMATH.COM là trang web Toán học có lượt truy cập lớn nhất Việt Nam.

Chia sẻ bài viết này


Bài viết liên quan

2 comments :

  1. Admin mơi, có đề hóa không ạ
    Post lên em tham khảo với

    Trả lờiXóa
  2. Admin có đề tiếng pháp ko ạ? Cho em xin với! Có đáp án thì tốt quá

    Trả lờiXóa