Đề thi THPT Quốc gia môn Toán năm 2015, De thi thu THPT Quoc Gia nam 2015

You are here: Home »

Like VNMATH on FACEBOOK để ủng hộ VNMATH.

Đề thi Olympic Toán Sinh viên Quốc tế 2012 (IMC 2012)

Kỳ thi Olympic Toán Sinh viên Quốc tế năm 2012 được tổ chức bởi University College London và American University đặt tại Bun-ga-ry. Sự kiện diễn ra tại Blagoevgrad, Bulgaria, từ 26/7 đến 1/8 năm 2012. Mỗi trường Đại học được mời sẽ gửi một số sinh viên và một giáo viên. Các thí sinh tham gia với tư cách cá nhân cũng được chào đón. Đề thi gồm 2 phần và mỗi phần được làm trong thời gian 5 giờ. Các bài toán thuộc các lĩnh vực của Đại số, Giải tích (thực và phức), Hình học và Tổ hợp.

VNMATH giới thiệu 10 bài toán (nguyên bản tiếng Anh) của hai vòng thi IMC 2012. Lời giải và bản dịch tiếng Việt sẽ được giới thiệu trong thời gian tới.

IMC 2012 Problems - Day 1
IMC 2012 Problems and solutions, đáp án đề thi olympic toán sinh viên quốc tế 2012

IMC 2012 Problems - Day 2

Problem 6

Consider a polynomial


\displaystyle f(x)=x^{2012}+a_{2011} x^{2011}+..+a_1x+a_0.


Albert Einstein and Homer Simpson are playing the following game. In turn, they choose one of the coefficients {a_0..a_{2011}} and assign a real value to it. Albert has the first move. Once a value has been assigned to a coefficient it cannot be changed anymore. The game ends after all the coefficients have been assigned values.


Homer’s goal is to make the polynomial {f(x)} divisible by a given polynomial {m(x)} and Albert’s goal is to prevent this.




  • (a) Which of the players has a winning strategy if {m(x)=x-2012}?

  • (b) Which of the players has a winning strategy if {m(x)=x^2+1}?


Problem 7

Define the sequence {a_0,a_1,..} inductively by {a_0=1, a_1=1/2} and


\displaystyle a_{n+1}=\frac{na_n^2}{1+(n+1)a_n} \text{ for }n \geq 1.


Show that the series {\displaystyle \sum_{k=0}^\infty \frac{a_{k+1}}{a_k}} converges and determine its value.


Problem 8

Is the set of positive integers {n} such that {n!+1} divides {(2012n)!} finite or infinite?


Problem 9

Let {n \geq 2} be an integer. Find all real numbers {a} such that there exist real numbers {x_1,..,x_n} satisfying


\displaystyle x_1(1-x_2)=x_2(1-x_3)=...=x_{n-1}(1-x_n)=x_n(1-x_1)=a.


Problem 10

Let {c \geq 1} be a real number. Let {G} be an abelian group and let {A \subset G} be a finite set satisfying {|A+A|\leq c|A|} where {X+Y=\{x+y : x \in X , \ y \in Y\}} and {|Z|} denotes the cardinality of {Z}. Prove that


\displaystyle |\underbrace{A+A+...+A}_{k \text{ times}}| \leq c^k |A|


for every positive integer {k}.

Về VNMATH.COM

VNMATH hoạt động từ năm 2008 với slogan Trao đổi để học hỏi, Sẻ chia để vươn lên. Hiện nay VNMATH.COM là trang web Toán học có lượt truy cập lớn nhất Việt Nam.

Chia sẻ bài viết này


Bài viết liên quan

Không có nhận xét nào :

Để lại Nhận xét