Đề thi THPT Quốc gia môn Toán năm 2015, De thi thu THPT Quoc Gia nam 2015

You are here: Home »

Like VNMATH on FACEBOOK để ủng hộ VNMATH.

Đáp án Đề thi APMO 2012 (Olympic Toán Châu Á Thái Bình Dương 2012)

VNMATH xin giới thiệu đề thi Olympic Toán học Châu Á Thái Bình Dương năm 2012 có đáp án chi tiết.

Câu 1
Giả sử $P$ là điểm nằm ở miền trong tam giác $ABC$ còn $D, E, F$ tương ứng là giao điểm của $AP$ và $BC$, $BP$ và $CA$, $CB$ và $AB$. Chứng minh rằng diện tích tam giác $ABC$ là $6$ nếu diện tích mỗi tam giác $PFA, PDB, PEC$ đều bằng $1$.

Câu 2
Trong mỗi ô của bảng hình vuông $2012\times 2012$, người ta viết một số thực thuộc $[0;1]$. Chia bảng thành hai hình chữ nhật không rỗng bằng cách kẻ một đường thẳng song song với mép ngang hoặc mép dọc của bảng.
Giả sử rằng đối với ít nhất một trong các hình chữ nhật, tổng của các con số trong các ô bên trong hình chữ nhật nhỏ hơn hoặc bằng 1, với bất kì cách chia nào. Xác định giá trị lớn nhất có thể với tổng của tất cả $2012 \times 2012$ số được đưa vào các ô trong bảng.

Câu 3.
Xác định tất cả các cặp $(p,n)$ với $p$ là số nguyên tố, $n$ là số nguyên dương sao cho: $ \frac{ n^{p}+1 }{p^{n}+1} $ là một số nguyên

Câu 4.
Cho tam giác nhọn $ABC$ có đường cao $AD$, trung tuyến $AM$, trực tâm $H$, đường tròn ngoại tiếp kí hiệu là $\Gamma$. $\Gamma$ cắt $MH$ tại $E$, cắt $ED$ tại $F$ (khác $E$). Chứng minh rằng: $$ \frac{BF}{CF}=\frac{AB}{AC} $$

Câu 5.

Cho số nguyên $n \geq 2$. Chứng minh rằng nếu các số thực $a_1;a_2;...;a_n$ thỏa mãn:

$$ a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\cdots+a_{n}^{2}= n $$

thì:

\[ \sum_{1\le i < j\le n}\frac{1}{n-a_{i}a_{j}}\le\frac{n}{2} \]

File đáp án có thể tải về trong phần comments cuối bài viết.
Xem Thêm:
Đề thi và Đáp án Olympic Toán Châu Á Thái Bình Dương các năm trước.

Về VNMATH.COM

VNMATH hoạt động từ năm 2008 với slogan Trao đổi để học hỏi, Sẻ chia để vươn lên. Hiện nay VNMATH.COM là trang web Toán học có lượt truy cập lớn nhất Việt Nam.

Chia sẻ bài viết này


Bài viết liên quan

1 comments :

  1. Đáp án Đề thi APMO 2012 (Olympic Toán Châu Á Thái Bình Dương 2012). Download

    Trả lờiXóa