Đề thi THPT Quốc gia môn Toán năm 2015, De thi thu THPT Quoc Gia nam 2015

You are here: Home »

Like VNMATH on FACEBOOK để ủng hộ VNMATH.

Đề thi chọn đội tuyển Đại số Olympic toán sinh viên 2012 của ĐH Sư phạm TPHCM

VnMaTh.CoM 9 tháng 3, 2012 , 0

ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN OLYMPIC TOÁN SINH VIÊN 2012 môn Đại số của TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH. Ngày thi: 04/03/2012.

Câu 1. Cho $X,B_{0}\in M_{n}\left ( R \right ).$.Ta định nghĩa dãy ma trận bằng quy nạp: $B_{k}=B_{k-1}X-XB_{k-1},k\in N^{*}$. Chứng minh rằng nếu $X=B_{n^{2}}$ thì $X=0$.

Câu 2. Cho $a \in (-1,1)$ và ma trận $A\in M_{n}(R)$ thỏa $det(A^{4}-aA^{3}-aA+I)=0$
a. Với $n=2$, tìm $detA$.
b. Tìm điều kiện của $n$ để tồn tại ma trận $A$, khi đó tính $detA$.

Câu 3. Cho $A=\begin{bmatrix}
1 & \frac{2012}{n}\\
\frac{-2012}{n}& 1
\end{bmatrix}$. Tìm $lim\frac{1}{2012}(A^{n}-I), n\rightarrow +\infty $

Câu 4. Cho $A,B,X\in M_{n}\,®,n\geq 2$ thỏa $AB=A+B, rank(X)=1, rank(A)\leq n-2$. Chứng minh rằng ma trận $B+X$ suy biến.

Câu 5. Với mỗi $n\in N^{*}$, tìm một ma trận $X$ thỏa $X^{n}=\begin{bmatrix}
4 &3 &2012 \\
0 &4 &3 \\
0 &0 &4
\end{bmatrix}$.

Câu 6. Một cuộc thi game online có 2013 game thủ phải chơi 2013 game. Mỗi game cả 2013 người cùng chơi, mỗi người chỉ thắng hoặc thua. Ta thành lập ma trận A,B vuông cấp 2013 như sau: Ba đầu gán $A=B=0$, với mỗi game nếu game thủ thứ i,j cùng thắng hoặc cùng thua thì tăng $)A_{ij})$ lên 1 đơn vị. Nếu game thủ i thắng j thua thì tăng $(B_{ij})$ lên 1 đơn vị và giảm $(B_{ji})$ đi 1 đơn vị. Chứng minh rằng sau khi cuộc chơi kết thúc thì $det(A+iB)$ là số nguyên không âm và chi hết cho $2^{2012}$

Về VNMATH.COM

VNMATH hoạt động từ năm 2008 với slogan Trao đổi để học hỏi, Sẻ chia để vươn lên. Hiện nay VNMATH.COM là trang web Toán học có lượt truy cập lớn nhất Việt Nam.

Chia sẻ bài viết này


Bài viết liên quan

Không có nhận xét nào :

Để lại Nhận xét