Đề thi THPT Quốc gia môn Toán năm 2015, De thi thu THPT Quoc Gia nam 2015

You are here: Home »

Like VNMATH on FACEBOOK để ủng hộ VNMATH.

2 Đề chọn đội tuyển Olympic Toán sinh viên 2012 ĐH Khoa học Tự nhiên Hà Nội

VnMaTh.CoM 9 tháng 3, 2012 , 0

VNMATH XIN GIÓI THIỆU ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN OLYMPIC TOÁN SINH VIÊN 2012 của ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN HÀ NỘI. Ngày thi: 04/03/2012. Thời gian làm bài: 180 phút

MÔN GIẢI TÍCH


Bài 1. Cho $P(x)$ là đa thức bậc $n$ thỏa mãn điều kiện $ \int_0^1 x^kP(x) \, \mathrm{d}x = 0, \quad k=1,2,\ldots,n $. Chứng minh rằng $$ \int_0^1 \big( P(x) \big)^2 \, \mathrm{d}x = (n+1)^2 \left( \int_0^1 P(x) \, \mathrm{d}x \right)^2 $$


Bài 2. Cho hàm số $f$ khả vi liên tục trên đoạn $[0,1]$ sao cho $f(0)=0,f(1)=1$ và $\big| f'(x) \big| \le 2$ với mọi $x \in [0,1]$. Chứng minh rằng $$ \int_0^1 f(x) \, \mathrm{d}x > \frac{1}{8} $$


Bài 3. Cho dãy số thực $\{a_n\}$ thỏa mãn điều kiện $$ \lim_{n \to \infty} (2a_{n+1}-a_n) = 2012 $$
Chứng minh rằng dãy số $\{a_n\}$ hội tụ.



Bài 4. Cho hai hàm số $f$ và $g$ xác định và liên tục trên đoạn $[0,1]$. Giả sử có tồn tại dãy số $\{x_n\}$ trong đoạn $[0,1]$ sao cho $f(x_n)=g(x_{n+1})$ với mọi $n \in \mathbb{N}$. Chứng minh rằng tồn tại một điểm $\alpha \in [0,1]$ sao cho $f(\alpha) = g(\alpha)$.



Bài 5. Tìm một hàm số $f$ khả vi liên tục trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn các điều kiện sau:



  1. $f(\mathbb{Q}) \subset \mathbb{Q}$ với ( $\mathbb{Q}$ là tập các số hữu tỉ);

  2. $f(\mathbb{R} \backslash \mathbb{Q}) \subset \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q}$;

  3. $f'$ không là hàm hằng.




MÔN ĐẠI SỐ


Câu 1:
a/ Cho $p$ là một số nguyên tố, $\zeta _{p}=cos(\frac{2\pi }{p})+isin(\frac{2\pi}{p}) \in \mathbb{C}$ là một căn nguyên thủy bậc $p$ của đơn vị. Giả sử $\mathbb{Q}(\zeta _{p})={f(\zeta _{p})}$ với $f(X)$ là đa thứ có hệ số hữu tỷ. Chỉ ra rằng $\mathbb{Q}f(\zeta _{p})$ là một không gian vectơ con (trên $\mathbb{Q}$) của $\mathbb{C}$, và tính số chiều của $\mathbb{Q}f(\zeta _{p})$ xem như một $\mathbb{Q}$ - không gian vectơ.
b/ Trong trường hợp tổng quát, không giả thiết n là số nguyên tố, hãy dự đốn số chiều của $\mathbb{Q}f(\zeta _{n})$ xem như một $\mathbb{Q}$ - không gian vectơ.
Câu 2:
Cho một đa thức $P(x)$ bậc n hệ số thực với hệ số của bậc cao nhất là 1. Hãy tìm một ma trận $n\times n$ hệ số thực có đa thức đặc trưng bằng $P(x)$.
Câu 3:
Với mỗi ma trận vuông A, ta định nghĩa:



$$sinA=\sum_{n=0}^{\infty }\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}A^{2n+1}$$


Tồn tại hay không một ma trận vuông cấp 2 hệ số thực sao cho:


$$sinA=\bigl(\begin{matrix} 1 &2012 \\ 0&1 \end{matrix}\bigr)$$


Câu 4:
Xét dãy số $(x_n)$ thỏa mãn: $x_{n+2}=ax_n+bx_{n+1}$ với $a,b$ là các hằng số. Đặt $A_n=\bigl(\begin{matrix} x_{n}\\x_{n+1} \end{matrix}\bigr)$. Khi đó:


$$A_{n+1}=\bigl(\begin{matrix} 0 &1 \\a &b \end{matrix}\bigr)A_n$$



Hãy viết $A_n$ theo $A_1$, với gợi ý đó hãy tìm công thức tính số hạng tổng quát của dãy Fibonacci.


--------------HẾT--------------

Về VNMATH.COM

VNMATH hoạt động từ năm 2008 với slogan Trao đổi để học hỏi, Sẻ chia để vươn lên. Hiện nay VNMATH.COM là trang web Toán học có lượt truy cập lớn nhất Việt Nam.

Chia sẻ bài viết này


Bài viết liên quan

Không có nhận xét nào :

Để lại Nhận xét