Đề thi THPT Quốc gia môn Toán năm 2015, De thi thu THPT Quoc Gia nam 2015

You are here: Home »

Like VNMATH on FACEBOOK để ủng hộ VNMATH.

Đề thi học sinh giỏi quốc gia môn Toán năm 2012

VnMaTh.CoM 12 tháng 1, 2012 , 0

Kỳ thi học sinh giỏi quốc gia năm 2012 diễn ra trong hai ngày 11 và 12/01/2012. VNMATH xin giới thiệu đến độc giả các đề thi này.
Xem Lời giải và Bình luận đề thi VMO 2012  của thầy Trần Nam Dũng tại đây.


KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA THPT NĂM 2012
Thời gian làm bài: 180 phút
-------- Ngày thi thứ nhất--------
Bài 1: (5 điểm)

Cho dãy số thực$(x_n)$ xác định bởi : $\begin{cases}

& x_1=3\\

& x_n = \frac{n+2}{3n} ( x_{n-1} + 2)

\end{cases}$ với mọi $n\geq 2$.

Chứng minh rằng dãy số có giới hạn hữu hạn khi $n \to + \infty $ và tính giới hạn đó.



Bài 2: (5 điểm)

Cho các cấp số cộng $(a_n), \ (b_n)$ và số nguyên $m>2$. Xét $m$ tam thức bậc hai: $P_k(x) = x^2 + a_k x + b_k ,\ k=1,2,3,....,m$ .

Chứng minh rằng nếu hai tam thức $P_1(x),\ P_m(x)$ đều không có nghiệm thực thì tất cả các đa thức còn lại cũng không có nghiệm thực.



Bài 3: (5 điểm)

Trong mặt phẳng, cho tứ giác lồi $ABCD$ nội tiếp đường tròn tâm $O$ và có các cặp cạnh đối không song song. Gọi $M,N$ tương ứng là giao điểm của các đường thẳng $AB$ và $CD$, $AD$ và $BC$. Gọi $P, Q, S, T$ tương ứng là giao điểm các đường phân giác trong của các cặp $\angle MAN$ và $\angle MBN, \angle MBN$ và $\angle MCN, \angle MCN$ và $\angle MDN, \angle MDN$ và $\angle MAN$. Giả sử bốn điểm $P, Q, S, T$ đôi một phân biệt.

1) Chứng minh rằng bốn điểm $P, Q, S, T$cùng nằm trên một đường tròn. Gọi $I$ là tâm của đường tròn đó.

2) Gọi $E$ là giao điểm của các đường chéo $AC$ và $BD$. Chứng minh rằng ba điểm $E, O, I$ thẳng hàng.

Bài 4: (5 điểm)

Cho số nguyên dương $n$. Có $n$ học sinh nam và $n$ học sinh nữ xếp thành một hàng ngang, theo thứ tự tùy ý. Mỗi học sinh (trong số $2n$học sinh vừa nêu) được cho một số kẹo bằng đúng số cách chọn ra hai học sinh khác giới với X và đứng ở hai phía của $X$. Chứng minh rằng tổng số kẹo mà tất cả $2n$ học sinh nhận được không vượt quá $\frac{1}{3}n(n^2-1)$.

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA THPT NĂM 2012
Thời gian làm bài: 180 phút
-------- Ngày thi thứ hai--------



Bài 5: (7 điểm)
Cho một nhóm gồm 5 cô gái, kí hiệu là $G_1, G_2, G_3, G_4, G_5$, và 12 chàng trai. Có 17 chiếc ghế được xếp thành một hàng ngang. Người ta xếp nhóm người đã cho ngồi vào các chiếc ghế đó sao cho các điều kiện sau được đồng thời thỏa mãn:
1/ Mỗi ghế có đúng một người ngồi;

2/ Thứ tự ngồi của các cô gái, xét từ trái qua phải, là $G_1, G_2, G_3, G_4, G_5$;

3/ Giữa $G_1$ và $G_2$ có ít nhất 3 chàng trai;

4/ Giữa $G_4$ và $G_5$ có ít nhất 1 chàng trai và nhiều nhất 4 chàng trai.

Hỏi có tất cả bao nhiêu cách xếp như vậy?

(Hai cách xếp được coi là khác nhau nếu tồn tại một chiếc ghế mà người ngồi ở chiếc ghế đó trong hai cách xếp là khác nhau).



Bài 6. (7 điểm)

Xét các số tự nhiên lẻ $a,b$ mà $a$ là ước số của $b^2+2$ và $b$ là ước số của $a^2+2$. Chứng minh rằng $a$ và $b$ là các số hạng của dãy số tự nhiên $(v_n)$ xác định bởi

$$v_1=v_2=1$$ và $$v_n=4v_{n-1}-v_{n-2}$$ với mọi $n \ge 3.$



Bài 7. (6 điểm)

Tìm tất cả các hàm số $f$ xác định trên tập số thực $\mathbb R$, lấy giá trị trong $\mathbb R$ và thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:

1/ $f$ là toàn ánh từ $\mathbb R$ đến $\mathbb R$;

2/ $f$ là hàm số tăng trên $\mathbb{R}$;

3/ $f(f(x))=f(x)+12x$ với mọi số thực $x$.

Về VNMATH.COM

VNMATH hoạt động từ năm 2008 với slogan Trao đổi để học hỏi, Sẻ chia để vươn lên. Hiện nay VNMATH.COM là trang web Toán học có lượt truy cập lớn nhất Việt Nam.

Chia sẻ bài viết này


Bài viết liên quan

Không có nhận xét nào :

Để lại Nhận xét