Đề thi THPT Quốc gia môn Toán năm 2015, De thi thu THPT Quoc Gia nam 2015

You are here: Home »

Like VNMATH on FACEBOOK để ủng hộ VNMATH.

Kết thúc có hậu của bài Bắt Rồng

VnMaTh.CoM 7 tháng 1, 2010 0

Bài bắt rồng đã được đăng trong Tạp Chí Toán Học và Tuổi Trẻ cách đây đã mười năm (năm 2000) với tiêu đề: Toán học thế kỷ 21, cơ hội và thách thức. Mười năm trôi qua thật nhanh, và trong 10 năm ấy, toán học đã đạt được nhiêu thành tựu tuyệt vời.

Đó là:

Thứ nhất là Bác Rồng “Giả Thuyết Poincaré về đồng phôi với hình cầu 3 chiều” đã bị nhà toán học Nga Perelman tóm gọn. Nhờ tóm được Bác Rồng này mà năm 2006 Perelman được trao tặng giải thưởng Fields. Thế nhưng, Perelman dã từ chối nhận giải thưởng này. Ông nói: tôi giải được giả thuyết này vì tôi say sưa làm toán chứ không phải vì Huân Chương (giải thưởng) Fields.

Thứ hai là, Việt nam ta có một người sẽ (với xác suất 95%) tóm được Chú Rồng “Bổ Đề Cơ Bản” trong Chương Trình Langlands.

Để hiểu về chuyện này, tôi xin giới thiệu vắn tắt Chương Trình này.

Robert Phelan Langlands là nhà toán học Mỹ gốc Canada (sinh ngày 6/10/1936 tuổi chuột, tại New Westminster, British Columbia, Canada) là giáo sư danh dự (emeritus professor) của Viện Nghiên Cứu Tiên Tiến (Institute for Advanced Study, Mỹ). Công trình của ông về các dạng tự đồng cấu và lý thuyết biểu diễn có ảnh hưởng rất lớn tới lý thuyết số.

Langlands tốt nghiệp đại học University of British Columbia năm 1957, và nhận bằng thạc sĩ cũng tại đại học này năm 1958, nhận học vị tiến sĩ tại đại học Yale University năm 1960. Sau đó, từ 1960 đến 1967 ông giảng dạy tại đại học Princeton University, và ông nhận học hàm phó giáo sư tại đại học này, rồi từ năm 1967 đến 1972 ông trở về giảng dạy tại đại học Yale University. Năm 1972 ông được công nhận là giáo sư tại viện Institute for Advanced Study (Mỹ) và trở thành giáo sư danh dự từ tháng 1/2007 của viện này.

Ông đã xây dựng lý thuyết giải tích của chuỗi Eisenstein đối với các nhóm khả qui có hạng lớn hơn một. Điều này cho phép mô tả một cách tổng quát phổ liên tục của các thương số học, và chứng tỏ rằng tất cả các dạng tự đồng cấu nảy sinh theo danh từ của các dạng mũi nhọn (cusp) và qui các chuỗi Eisenstein sinh ra từ các dạng mũi nhọn (cusp) về các nửa nhóm bé hơn.

Áp dụng đầu tiên của kết quả này là: ông chứng minh được giả thuyết của André Weil về số Tamagawa đối với lớp lớn của các nhóm Chevalley liên thông đơn bất kỳ xác định trên các số hữu tỷ. Trước đó, người ta chỉ biết điều này trong một vài trường hợp đơn lẻ và đối với một số nhóm cổ điển và có thể chứng minh bằng qui nạp.

Áp dụng thứ hai công trình của ông về chuỗi Eisenstein là: ông có thể chứng minh sự liên tục đòng phôi đối với một lớp lớn các L-hàm nảy sinh trong lý thuyết các dạng tự đồng cấu mà trước đó chưa ai biết . Các L-hàm xuất hiện trong các thành phần hằng số của chuỗi Eisenstein, và tính đồng phôi cũng như phương trình hàm yếu là hệ quả của các phương trình hàm đối với chuỗi Eisenstein. Vào mùa đông 1966/67, công trình này dẫn tới, các giả thuyết lập nên chương trình Langlands. Nói một cách đại thể, các giả thuyết này nhằm mở rất rộng các ví dụ đã biết trước đây của luật thuận nghịch (reciprocity), bao gồm (a) lý thuyết trường lớp cổ điển trong đó các đặc trưng của các nhóm Galois Abel địa phương và số học được đồng nhất với các nhóm nhân tính địa phương và nhóm thương idele (idele quotient group), tương ứng; (b) các kết quả trước đây của Eichler và Shimura, trong đó các các hàm zeta Hasse-Weil của thương số học của nửa mặt phẳng trên được đồng nhất với các L-hàm có mặt trong lý thuyết Hecke về các dạng tự đồng cấu đồng luân. Các giả thuyết này lần đầu tiên được đặt ra dưới dạng tương đối đầy đủ trong lá thư nổi tiếng gửi cho Weil tháng 1/1967. Trong lá thư này Langlands đưa ra khái niệm L-nhóm và cùng với nó khái niệm hàm tử (functoriality).

Ham tử, L-nhóm, nhập đề chặt chẽ của các nhóm adele, và áp dụng của lý thuyết biểu diễn về nhóm khả qui trên trường địa phương đã làm thay đổi hoàn toàn phương pháp nghiên cứu về các dạng tự đồng cấu đã tiến hành trước đó. Việc Langlands đưa ra khái niệm này đã bẻ những bài toán lớn và một số những bài toán tương tác mở rộng thành những bài toán nhỏ hơn và dễ giải quyết hơn. Đặc biệt, những khái niệm này đã qui lý thuyết biểu diễn nhóm vô số chiều của các nhóm khả qui thành một lĩnh vực chính của họat động toán học.

Hàm tử là giả thuyết nói rằng các dạng tự đồng cấu của các nhóm khác nhau có mối liên hệ theo danh từ các hàm tử Weil của các L -nhóm của chúng. Một ví dụ của giả thuyết này là lá thư gửi Weil đề ra khả năng giải quyết giả thuyết nổi tiếng của Emil Artin khi xét dáng điệu của các L-hàm Artin và hy vọng giải quyết một phần trong thư của Langlands nhờ thay đổi cơ sở. Áp dụng cho giả thuyết Artin ta có: hàm tử liên kết với mỗi biểu diễn N-chiều của nhóm Galois một biểu diễn tự đồng cấu của nhóm adelic dạng GL(N). Trong lý thuyết của các đa tạp Shimura nó liên kết của các biểu diễn tự đồng cấu của các nhóm khác nhau với các biểu diễn Galois l-adic

Hervé Jacquet và Langlands đã viết một cuốn sách về GL(2) trình bày lý thuyết các dạng tự đẳng cấu đối với nhóm tuyến tính tổng quát GL(2), thiết lập tương ứng Jacquet–Langlands chứng tỏ rằng hàm tử có khả năng giải thích rất chính xác các dạng tự đồng cấu đối với GL(2) gắn kết như thế nào với các tự đồng cấu đối với đại số quaternion. Sách này đã áp dụng công thức vết adeic đối với GL(2) và các đại số quaternion thực hiện vịệc đó. Sau đó, James Arthur, một sinh viên của Langlands đã phát triên thành công công thức vết cho các nhóm có hạng cao hơn. Đó là công cụ chính để nghiên cứu hàm tử tổng quát, đặc biệt, được áp dụng để chứng minh rằng các hàm zeta Hasse-Weil zeta của một số đa tạp Shimura là thuộc L-hàm nảy sinh từ các dạng tự đồng cấu.

Người ta cho rằng giả thuyết về hàm tử còn lâu mới được chứng minh. Một trường hợp riêng (giả thuyết Artin, do Langlands và Tunnell đề ra) là điểm xuất phát để Andrew Wiles tấn công vào giả thuyết Taniyama-Shimura và định lý cuối cùng Fermat.

Langlands đã nhận dược các giải thưởng sau:

  • 1996 Wolf Prize cùng với Andrew Wiles,
  • 2005 AMS Steele Prize,
  • 1980 Jeffery-Williams Prize,
  • 2006 Nemmers Prize in Mathematics,
  • 2007 Shaw Prize in Mathematical Sciences ( cùng với Richard Taylor) nhờ công trình của ông về các dạng tự đồng cấu.

Tóm lại, chuơng trình Langlands là nhằm giải quyết những giả thuyết của Langlands đề ra vào đầu năm 1967. Các giả thuyết này liên quan tới nhiều vấn đề rất quan trọng của toán học và vật lý lý thuyết, đặc biệt là lý thuyết số, lý thuyết nhóm, lý thuyết biễu diễn. Hầu hết các nhà toán học đều tin vào tính đúng đắn của các giả thuyết trong chương trình Langlands. Chính Langlands đã mất nhiều công sức nghiên cứu, và cũng chính ông phát biểu “BỔ ĐỀ CƠ BẢN” trên con đường chinh phục vấn đề này. Có thể nói hầu như tất cả đều nghĩ là còn lâu mới giải quyết được, trừ một người Việt Nam: Giáo sư toán học trẻ tuổi Ngô Bảo Châu.


Ngô Bảo Châu từng là học sinh khối phổ thông chuyên toán trường Đại học Khoa học tự nhiên thuộc Đại học Quốc gia Hà Nội. Anh đã hai lần đoạt huy chương vàng Olympic toán quốc tế tại Australia năm 1988 và Cộng hoà Liên bang Đức năm1989. Anh cũng là người Việt Nam đầu tiên giành 2 huy chương vàng Olympic toán quốc tế. Ngô Bảo Châu được gửi đi học ở Pháp và tốt nghiệp đai học tại Trường Sư phạm (École normale supérieure) danh tiếng, Pháp.

Giáo sư Ngô Bảo Châu người thứ hai từ phải sang chụp ở Bridge of Sighs, Oxford, Anh Quốc.


Năm 2004, anh được trao tặng giải Nghiên cứu Clay của Viện Toán học Clay cùng với Gérard Laumon vì đã có chứng minh được Bổ Đề Cơ Bản cho các nhóm Unita.

Nào có ai đoán trước được rằng, bốn năm sau, năm 2008, GS. Châu công bố một chứng minh hoàn chỉnh cho bổ đề cơ bản trong trường hợp tổng quát cho các đại số Lie. Lúc đầu công trình “chỉ khoảng” 150 trang. Sau khi lược bỏ bớt những điều không hỗ trợ trực tiếp cho chứng minh Bổ đề cơ bản và diễn giải chi tiết hơn, công trình dài thành 188 trang! Dù ý tưởng chứng minh rất rành rọt, các nhà Toán học hàng đầu thế giới về chương trình Langlands phải mất hơn 1 năm để kiểm chứng các chi tiết của nó. Cuối cùng, mọi người đều công nhận sự đúng đắn của chứng minh này.

Và cuối năm 2009, kết quả chứng minh bổ đề cơ bản Langlands của Giáo sư Ngô Bảo Châu đã được tạp chí “The Time” bình chọn là 1 trong 10 (xếp thứ 7) phát minh khoa học tiêu biểu của năm 2009 (The top 10 every thing of 2009). Cần lưu ý là, đây là lần thứ hai “The Time” quan tâm đến Toán học; lần đầu, năm 2006, Perelman cũng đã có vinh dự này.

Anh còn nhận được giải thưởng của viện nghiên cứu toán học Oberwolfach (2007) và giải thưởng của Viện Hàn Lâm Khoa Học Pháp (2008). Thêm vào đó: Giáo sư Châu (là một trong hai người dưới 40 tuổi) được mời đọc báo cáo trong phiên họp toàn thể tại Đại Hội Toán Học Thế Giới (19-27/8/2010) tổ chức ở Ấn Độ .

Tất cả những điều này cho phép ta hy vọng (với độ tin cậy 95%) là: Đúng vào lễ kỷ niệm 1000 năm Thăng Long, Hà Nội (10/10/2010) một chàng trai Hà Nội sẽ mang về cho dân tộc Việt Nam (con Rồng cháu Tiên) một CHÚ RỒNG tuyệt vời.

Thế là, Cụ Rồng (bài toán Fermat) sau hơn 300 năm, đâ được Andrew Wiles ruớc về Mỹ để chiêm nguỡng Thần Tự Do, còn Bác Rồng (giả thuyết Poincaré) ở tuổi 100, được Perelman mời về Perterbuar của Nga để xem vở Ballet Hồ Thiên Nga. Và bây giờ Chú Rồng (Bổ đề cơ bản), ở tuổi 40, đuợc Ngô Bảo Châu sắp đón về Hà Nội để nghe các làn điệu Ca Trù , Quan Họ Bắc Ninh và cùng múa rồng với người Việt mừng Thăng Long Hà Nội 1000 tuổi.

Thật may mắn cho tôi, chuyện BẮT RỒNG kết thúc có hậu đến thế!


(Bài viết cập nhật tháng 12/2009 của GS. Nguyễn Duy Tiến)

Về VNMATH.COM

VNMATH hoạt động từ năm 2008 với slogan Trao đổi để học hỏi, Sẻ chia để vươn lên. Hiện nay VNMATH.COM là trang web Toán học có lượt truy cập lớn nhất Việt Nam.

Chia sẻ bài viết này


Bài viết liên quan

Không có nhận xét nào :

Để lại Nhận xét