Đề thi THPT Quốc gia môn Toán năm 2015, De thi thu THPT Quoc Gia nam 2015

You are here: Home »

Like VNMATH on FACEBOOK để ủng hộ VNMATH.

Các cách giải khác nhau cho bài toán Bất đẳng thức (Câu V) trong đề thi Đại học khối A 2009

VnMaTh.CoM 4 tháng 7, 2009 6

Đề thi Đại học năm nay được nhiều người cho là không dễ, đặc biệt là câu V về bất đẳng thức. Trước hết xin ghi lại nội dung câu V.


Sau đây vnmath.com xin giới thiệu các cách chứng minh khác nhau của Bất đẳng thức này.

Lời giải của Phan Huy Khải:



Lời giải của Lê Thống Nhất và các cộng sự



Lời giải của Nguyễn Anh Dũng và các cộng sự.


Lời giải trên báo Tuổi trẻ Online và Thanh niên Online


Lời giải của canhang_2007(mathvn.org)

Từ giả thiết ta có (x+y)(x+z)=4yz. Hơn nữa, áp dụng bdt AM-GM, ta dễ thấy 3yz=x(x+y+z) \geq 3x\sqrt[3]{xyz}, tức là x \leq \sqrt{yz}.

Đến đây, sử dụng hằng đẳng thức u^3+v^3=uv(u+v)+(u-v)^2(u+v), ta được

(x+y)^3+(x+z)^3 =(x+y)(x+z)(2x+y+z)+(y-z)^2(2x+y+z) \leq 4yz(2\sqrt{yz}+y+z)+(y-z)^2(2\sqrt{yz}+y+z) =(y+z)^2 (\sqrt{y}+\sqrt{z})^2 \leq 2(y+z)^3.

Ngoài ra, ta cũng có

3(x+y)(x+z)(y+z) =12yz(y+z) \leq 3(y+z)^3,

nên cộng cả hai đánh giá này, ta thu được

(x+y)^3+(x+z)^3+3(x+y)(x+z)(y+z) \leq 5(y+z)^3.

Đó chính là điều phải chứng minh.


Lời giải của tanpham90 (diendantoanhoc.net)

Bất đẳng thức đã cho tương đương với

x^3 + 3x^2(y+z)+3x[(y+z)^2-2yz]+3xyz  \leq 2(y+z)^3 \Leftrightarrow x^3 + 3x^2(y+z)+3x[(y+z)^2- \frac{2}{3}x(x+y+z)]+3xyz  \leq 2(y+z)^3

Đặt y+z=2a. Ta có

x^3 + 6x^{2}a+3x[4a^2- \frac{2}{3}x(x+2a)]+x^2(x+2a)  \leq 16a^3 \Leftrightarrow 4(x-a)(x+4a)a  \leq  0

Bất đẳng thức trên đúng vì nếu giả sử ngược lại thì x  > a hay x > \frac{y+z}{2},

theo điều kiện ban đầu suy ra :(y+z)^{2}<4yz

Vô lý.




Bạn có cách giải nào khác không? Nếu có hãy cho chúng tôi biết. Chúng ta cùng chờ xem đáp án chính thức của bộ Giáo dục.


------------------------------------------------------

Nếu thích các bài viết hãy đăng kí để nhận thông tin mới qua email!

Các bước như sau:
  • Điền e-mail của bạn vào ô dưới và chọn Đăng kí.


  • Nhập các kí tự chống xì-pam trong cửa sổ mới. Chọn Complete Supscription Request.
  • Đọc lá thư vừa nhận từ FeedBurner, click vào đường dẫn trong thư để hoàn thành đăng ký.

Về VNMATH.COM

VNMATH hoạt động từ năm 2008 với slogan Trao đổi để học hỏi, Sẻ chia để vươn lên. Hiện nay VNMATH.COM là trang web Toán học có lượt truy cập lớn nhất Việt Nam.

Chia sẻ bài viết này


Bài viết liên quan

6 comments :

  1. Cách của thầy Nguyễn Minh Nhiên
    đặt [TEX]y=ax,z=bx (a>0,b>0)[/TEX] ta đc [TEX]a+b+1=3ab [/TEX]và BDT trở thành
    [TEX](a+1)^3+(b+1)^3+3(a+1)(b+1)(a+b) \geq (a+b)^3[/TEX]
    [TEX]<=> (a+b+2)^3-3(a+1)(b+1)(a+b+2)+3(a+1)(b+1)(a+b) \geq (a+b)^3[/TEX]
    [TEX]<=>(a+b+2)^3-6(a+1)(b+1) \geq (a+b)^3[/TEX]
    [TEX]<=>(a+b+2)^3-2(3ab+3a+3b+3) \geq (a+b)^3[/TEX]
    [TEX]<=>(a+b+2)^3-8(a+b+1) \geq (a+b)^3 (*)[/TEX]
    Đặt [TEX]a+b=t>0[/tex] , có [tex]1+a+b \leq 3/4(a+b)^2 => 3t^2-4t-4 \geq 0 =>t \geq 2[/TEX]
    (*) trở thành [TEX](t+2)^3-8(t+1) \leq t^3 <=> 2t^2-3t-2 \geq 0 <=>(t-2)(2t+1) \geq 0[/TEX] luôn đúng

    Trả lờiXóa
  2. Đây còn ối cách :D
    http://k2pi.violet.vn/entry/show/entry_id/1518339/cm_id/580774#580774

    Trả lờiXóa
  3. Có nhiều các hay nhưng theo em thì cách của Thầy Phạm Kim Chung là hay và tự nhiên nhất!

    Trả lờiXóa
  4. Thật ra cách của Thầy Lê Thông Nhất nằm ở đây: http://www.maths.vn/forums/showthread.php?t=22850

    Trả lờiXóa
  5. Cách của e cũng ý tưởng giống đáp án của bộ, nhưng cái này em nghĩ ra trước khi có đáp.
    Cách giải như sau:
    sau khi đặt như cách đáp án của Bộ,
    Đặt: a=x+y, b=y+z, c=z+x khi đó:
    dk <=> a^2+c^2=b^2+ac (1)
    BDT <=> a^3+c^3+3abc <= 5b^3
    <=> (a+c)(a^2+c^2-ac)+3abc <=5b^3
    <=> (a+c)b^2 +3abc <=5b^3
    <=> ab+bc+3ac <=5b^2 <=> ab+bc+ac <=5b^2-2ac
    Theo BDT Bunhiscopxki, ta có:
    ab+bc+ac <= a^2+b^2+c^2.
    Ta sẽ chứng minh a^2+b^2+c^2 <= 5b^2-2ac (2).
    Thật vậy, theo (1)
    (2)<=>2b^2+ac <= 5b^2-2ac
    <=>ac <= b^2 <=> 2ac <= b^2 +ac = a^2+c^2
    <=> (a-c)^2 >= 0 luôn đúng.
    Vậy ta có đpcm

    Trả lờiXóa
  6. Thân tặng:

    http://www.maths.vn/forums/showthread.php?p=131038#post131038

    Trả lờiXóa