Đề thi THPT Quốc gia môn Toán năm 2015, De thi thu THPT Quoc Gia nam 2015

You are here: Home »

Like VNMATH on FACEBOOK để ủng hộ VNMATH.

Đề thi chọn đội tuyển Toán quốc gia Việt Nam dự thi Olympic Toán quốc tế năm 2015 (IMO 2015) tại Thái Lan.

Ngày thi thứ nhất

Bài 1.
Gọi $\alpha $ là nghiệm dương của phương trình ${{x}^{2}}+x=5$. Với số nguyên dương $n$ nào đó, gọi ${{c}_{0}},{{c}_{1}},{{c}_{2}}, \ldots ,{{c}_{n}}$ là các số nguyên không âm thỏa mãn đẳng thức $${{c}_{0}}+{{c}_{1}}\alpha +{{c}_{2}}{{\alpha }^{2}}+...+{{c}_{n}}{{\alpha }^{n}}=2015.$$
a) Chứng minh rằng ${{c}_{0}}+{{c}_{1}}+{{c}_{2}}+...+{{c}_{n}}\equiv 2\text{ }(\bmod 3).$
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng ${{c}_{0}}+{{c}_{1}}+{{c}_{2}}+...+{{c}_{n}}$.

Bài 2.
Cho đường tròn (O), dây cung $BC$ cố định và điểm $A$ chạy trên $(O)$. Gọi $I,H$ lần lượt là trung điểm cạnh $BC$ và trực tâm tam giác $ABC$, tia $IH$ cắt $(O)$ tại $K$, $AH$ cắt $BC$ tại $D$, $KD$ cắt $(O)$ tại $M$. Từ M vẽ đường vuông góc với $BC$ cắt $AI$ tại $N$.
a) Chứng minh rằng điểm $N$ thuộc một đường tròn cố định.
b) Đường tròn tiếp xúc với $AK$ tại $A$ và đi qua $N$ cắt $AB,AC$ tại $P,Q$. J là trung điểm $P,Q$. Chứng minh rằng $AJ$ đi qua một điểm cố định.

Bài 3.
Một số nguyên dương $k$ có tính chất “$t-m$” nếu với mọi số nguyên dương $a$, tồn tại số nguyên dương $n$ sao cho
$${{1}^{k}}+{{2}^{k}}+{{3}^{k}}+...+{{n}^{k}} \equiv a (\bmod m).$$
a) Tìm tất cả các số nguyên dương $k$ có tính chất $t-20$.
b) Tìm số nguyên dương $k$ nhỏ nhất có tính chất $t-{{20}^{15}}$.

Ngày thi thứ hai

Bài 4.
Trong một kỳ thi vấn đáp, có $100$ thí sinh và $25$ vị giám khảo, mỗi thí sinh thích ít nhất $10$ giám khảo.

a) Chứng minh rằng có thể chọn ra $7$ giám khảo mà mỗi thí sinh đều thích ít nhất $1$ trong $7$ người đó.
b) Chứng minh rằng có thể sắp xếp lịch thi sao cho mỗi thí sinh được đúng $1$ giám khảo mình thích hỏi và mỗi giám khảo hỏi không quá $10$ thí sinh.

Bài 5.
Cho tam giác$ABC$ nhọn và có điểm $P$ nằm trong tam giác sao cho $\angle APB=\angle APC = \alpha$ và $\alpha>180{}^\circ - \angle BAC $. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $APB$ cắt $AC$ ở $E,$ đường tròn ngoại tiếp tam giác $APC$ cắt $AB$ ở $F$ . Gọi $Q$ là điểm nằm trong tam giác $AEF$ sao cho $\angle AQE=\angle AQF$. Gọi $D$ là điểm đối xứng với $Q$ qua $EF$ , phân giác góc $EDF$ cắt $AP$ tại $T.$

a) Chứng minh rằng $\angle DET=\angle ABC,\angle DFT=\angle ACB$ .
b) Đường thẳng $PA$ cắt các đường thẳng $DE,DF$ lần lượt tại $M,N$ . Gọi $I,J$ lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác $PEM,PFN$ và $K$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $DIJ$ . Đường thẳng $DT$ cắt $(K)$ tại $H$. Chứng minh rằng $HK$ đi qua tâm đường tròn nội tiếp của tam giác $DMN.$

Bài 6.
Tìm số nguyên dương $n$ nhỏ nhất sao cho tồn tại $n$ số thực thỏa mãn đồng thời các điều kiện:

i) Tổng của $n$ số đó dương.
ii) Tổng lập phương của $n$ số đó âm.
iii) Tổng lũy thừa bậc $5$ của $n$ số đó dương.



Viện Hàn lâm Khoa học và Văn chương Na Uy vừa quyết định trao giải thưởng Abel 2015 cho hai nhà toán học John F. Nash Jr. và Louis Nirenberg “vì những cống hiến nổi bật và có ảnh hưởng lớn của họ đến lý thuyết phương trình đạo hàm riêng phi tuyến và các ứng dụng của nó trong giải tích hình học”  vào ngày 25 tháng ba. Họ sẽ nhận giải thưởng vào ngày 19 tháng năm tại Oslo. Số tiền thưởng là 6 triệu NOK (khoảng US$765,000).
Ảnh: John Nash (trái) và Louis Nirenberg (phải)

John F. Nash Jr., 86 tuổi, từng làm việc tại Đại học Princeton và Học viện Công nghệ Massachusetts. Louis Nirenberg, 90 tuổi, đã làm việc tại Viện Toán Courant của Đại học New York. Mặc dù họ chưa từng có bài báo nào cùng nhau nhưng họ đã tạo ảnh hưởng rất lớn suốt những năm 1950. Ngày nay các kết quả của họ vẫn còn tầm ảnh hưởng mạnh mẽ.

Những gã khổng lồ toán học

Nash và Nirenberg là hai gã khổng lồ của toán học thế kỉ 20. Họ được công nhận vì các cống hiến cho lĩnh vực phương trình đạo hàm riêng (PDEs), là các phương trình liên quan đến sự thay đổi có nguồn gốc từ các hiện tượng vật lí nhưng họ cũng chỉ ra rằng chúng cũng rất hữu ích trong việc phân tích các đối tượng hình học trừu tượng. Ủy ban Abel viết: “Bước đột phá của họ đã phát triển thành các kỹ thuật linh hoạt và mạnh mẽ và đã trở thành công cụ cần thiết cho việc nghiên cứu các phương trình đạo hàm riêng phi tuyến. Tác động của họ có thể được thấy ở tất cả các nhánh của lý thuyết.”

Những năm 1950, Nash chứng minh các định lí quan trọng về PDEs, được bình duyệt bởi các đồng nghiệp là công trình sâu sác nhất của ông. Ngoài toán học, Nash còn rất nổi tiếng bởi các bài báo về lý thuyết trò chơi, toán học của việc đưa ra quyết định, đã giúp ông nhận giải Nobel kinh tế 1994, và là nhân vật chính trong bộ phim nổi tiếng năm 2011, A Beautiful Mind.

Sự nghiệp lâu dài

Nirenberg, sinh ra ở Canada, là mọt trong những nhà toán học có sự nghiệp toán học lâu dài và bền bỉ nhất, các kết quả quan trọng được công bố cho đến khi ông 70 tuổi. Không như Nash, người chỉ viết một mình, Nirenberg thích làm việc với các đồng nghiệp, hơn 90% bài báo của ông là viết chung. Nhiều kết quả quan trọng của phương trình đạo hàm riêng elliptic được đặt tên theo tên của ông và các cộng sự, chẳng hạn bất đẳng thức Gagliardo–Nirenberg, bất đẳng thứcJohn–Nirenberg và Lý thuyết toán tử giả vi phân Kohn–Nirenberg.
"Tôi bị choáng ngợp," Nirenberg cho biết. "Tôi đang ngủ khi điện thoại reng ngày hôm qua, và tôi chỉ đơn giản là ngạc nhiên, chỉ sửng sốt."

Nhiều giải thưởng danh giá

Cả hai đều nhận những giải thưởng xuất sắc. Bên cạnh nhận giải  Nobel, Nash còn nhận giải John von Neumann Theory Prize (1978) và Steele Prize cho các cống hiến nổi bật trong nghiên cứu (1999). Nirenberg đã nhận Bôcher Memorial Prize (1959), Crafoord Prize của viện Hàn lâm Khoa học Thụy Điển(1982), the Steele Prize cho thành tự trọn đời từ Hội toán học Hoa Kỳ (1994), giải thưởng Chern (2010).

Nguồn: http://www.abelprize.no/

(www.VNMATH.com) - Dưới đây là Tổng hợp các Đề thi và đáp án thi thử THPT Quốc gia môn Toán năm 2015 của các trường, các Trung tâm luyện thi trên cả nước. Hầu như các đề thi Đại học này đều có đáp án và thang điểm chi tiết.

Đề thi cũng như đáp án được cập nhật liên tục. Mời các bạn quay lại liên kết này để xem các đề mới.

Nếu bạn muốn chia sẻ đề thi của trường mình, vui lòng gửi về info=vnmath.com (ở đây = được thay bằng @). Cảm ơn.

TỔNG HỢP ĐỀ THI ĐẠI HỌC CHÍNH THỨC TỪ 2002 ĐẾN 2014. DOWNLOAD.

-1. Đề thi thử vào Đại học quốc gia Hà Nội năm 2015. Download.

0. Các đề thi thử của tạp chí Toán học và Tuổi trẻ năm 2015.

Đề số 1 (Trần Quốc Luật Hà Tĩnh). Đáp án.

Đề số 2 (Phạm Trọng Thư, Đồng Tháp). Đáp án.

Đề số 3 (Nguyễn Tất Thu, Đồng Nai). Đáp án.

Đề số 4 (Lê Xuân Đại, Vĩnh Phúc). Đáp án.

Đề số 5 (Nguyễn Quang Thi, Lâm Đồng). Đáp án.


Đề số 6 (Nguyễn Lái, Phú Yên). Đáp án.

1. Đề thi thử Đại học môn Toán năm 2015 trường THPT chuyên Lê Hồng Phong, Thành phố Hồ Chí Minh. Download.

2. Đề thi thử Đại học môn Toán năm 2015 của Đại học Sư phạm Hà Nội lần 1. Download.

3. Đề thi thử Đại học môn Toán năm 2015 của Đại học Khoa học Tự nhiên Hà Nội lần 1. Download.

4. Đề thi THPT Quốc gia môn Toán năm 2015 trường THPT chuyên Quốc Học, Huế lần 1. Download.

5. Đề thi THPT Quốc gia môn Toán năm 2015 Sở Giáo dục Bắc Ninh. Download.

6. Đề thi THPT Quốc gia môn Toán năm 2015 của THPT chuyên Vĩnh Phúc.
          6.1 Đề và đáp án lần 1.
         6.2 Đề và đáp án lần 2.

7. Đề thi THPT Quốc gia môn Toán năm 2015 của THPT Nguyễn Trung Thiên, Hà Tĩnh. Download.

8. Đề thi THPT Quốc gia môn Toán năm 2015 của THPT Đông Sơn 1, Thanh Hóa. Download.

9. Đề thi THPT Quốc gia môn Toán năm 2015 của THPT Hậu Lộc 2, Thanh Hóa. Download.

10. Đề thi THPT Quốc gia môn Toán năm 2015 của THPT Đào Duy Từ, Thanh Hóa. Download.

11. Đề thi THPT Quốc gia môn Toán của Sở Giáo dục và Đào tạo Vĩnh Phúc lần 1 năm 2015. Download.

12. Đề thi THPT Quốc gia môn Toán của THPT Nghi Sơn Thanh Hóa lần 1 năm 2015. Download.

13. Đề thi THPT Quốc gia môn Toán của DVH 2015. Download.

14. Đề thi THPT Quốc gia môn Toán của THPT Đồng Lộc, Hà Tĩnh lần 1 năm 2015. Download.

15. Đề thi THPT Quốc gia môn Toán của THPT Ngô Gia Tự, Bắc Ninh lần 1 năm 2015. Download.

16. Đề thi THPT Quốc gia môn Toán của THPT Yên Lạc, Vĩnh Phúc lần 1 năm 2015. Download.

17. Đáp án Đề thi thử THPT môn Toán của Đại học Sư phạm Hà Nội lần 2 năm 2015. Download.

Đề thi lần 2 các môn Hóa, Lý , Sinh, Tiếng Anh, Ngữ Văn có thể tải về ở đây.

18. Đáp án Đề thi thử THPT môn Toán của trường THPT Đa Phúc, Hà Nội. Download.

19. Đáp án Đề thi thử THPT môn Toán của trường THPT Lý Tự Trọng, Khánh Hòa. Download.

20. Đáp án Đề thi thử THPT môn Toán của trường THPT Lương Thế Vinh, Hà Nội. Download.

21. Đáp án Đề thi thử THPT môn Toán của trường THPT Nông Cống 1, Thanh Hóa. Download.

22. Đáp án Đề thi thử THPT môn Toán của trường THPT chuyên Vĩnh Phúc, Vĩnh Phúc lần 3. Download.

23. Đáp án Đề thi thử THPT môn Toán của trường THPT Đồng Thọ, Tuyên Quang. Download.

24. Đáp án Đề thi thử THPT môn Toán của trường THPT chuyên Hạ Long, Quảng Ninh. Download.

25. Đáp án Đề thi thử THPT môn Toán của Bà Rịa Vũng Tàu. Download.

26. Đáp án Đề thi thử THPT môn Toán của THPT chuyên Lam Sơn, Thanh Hóa. Download.

27. Đáp án Đề thi thử THPT môn Toán của THPT Hồng Quang, Hải Dương. Download.

28. Đáp án Đề thi thử THPT môn Toán của THPT Nghèn, Hà Tĩnh. Download.

29. Đáp án Đề thi thử THPT môn Toán của THPT Cẩm Bình, Hà Tĩnh. Download.

30. Đáp án Đề thi thử THPT môn Toán của THPT chuyên Nguyễn Quang Diêu, Đồng Tháp lần 1. Download.

31. Đáp án Đề thi thử THPT môn Toán của THPT Quỳnh Lưu 1, Thanh Hóa. Download.

32. Đáp án Đề thi thử THPT môn Toán của THPT Hậu Lộc 2, Thanh Hóa. Download.

33. Đáp án Đề thi thử THPT môn Toán của THPT Triệu SƠn 5, Thanh Hóa. Download.

34. Đáp án Đề thi thử THPT môn Toán của THPT Nông Cống 1, Thanh Hóa. Download.

35. Đáp án Đề thi thử THPT môn Toán của THPT Lê Xoay, Vĩnh Phúc. Download.

36. Đáp án Đề thi thử THPT môn Toán của THPT Bảo Thắng 3, Lào Cai. Download.

37. Đáp án Đề thi thử THPT môn Toán của THPT chuyên Đại học Sư phạm, Hà Nội. Download.

38. Đáp án Đề thi thử THPT môn Toán của THPT Bắc Yen Thành, Nghệ An. Download.

39. Đáp án Đề thi thử THPT môn Toán của THPT chuyên Hưng Yên, Hưng Yên. Download.

40. Đề thi thử THPT môn Toán của THPT chuyên Hà Nội-Amsterdam, Hà Nội. Download.

41. Đáp án Đề thi thử THPT môn Toán của THPT chuyên Đại học Vinh, Nghệ An. Download.

Vẫn còn cập nhật...

Đề thi thử THPT quốc gia Toán của Đại học Sư phạm Hà Nội năm 2015 lần 3. Download.

Đề thi thử THPT quốc gia Lý của Đại học Sư phạm Hà Nội năm 2015 lần 3. Download.
Đề thi thử THPT quốc gia Hóa của Đại học Sư phạm Hà Nội năm 2015 lần 3. Download.
Đề thi thử THPT quốc gia Anh của Đại học Sư phạm Hà Nội năm 2015 lần 3. Download.
Đề thi thử THPT quốc gia Văn của Đại học Sư phạm Hà Nội năm 2015 lần 3. Download.

Bài tập Hệ phương trình ôn thi THPT quốc gia 2015 - Lê Văn Đoàn. Download.

Hồ sơ đăng ký dự thi THPT quốc gia gồm những gì? Làm phiếu đăng ký dự thi như thế nào? Xin xác nhận phiếu đăng ký dự thi ở đâu?

Đối với học sinh lớp 12 (đã hoàn thành chương trình THPT trong năm tổ chức thi) hồ sơ đăng ký dự thi bao gồm:


  • 02 Phiếu đăng ký dự thi giống nhau;
  • Học bạ THPT; học bạ hoặc Phiếu kiểm tra của người học theo hình thức tự học đối với GDTX (bản sao);
  • Các giấy chứng nhận hợp lệ để được hưởng chế độ ưu tiên, khuyến khích (nếu có). Để được hưởng chế độ ưu tiên liên quan đến nơi đăng ký hộ khẩu thường trú, thí sinh phải có bản sao Sổ đăng ký hộ khẩu thường trú;
  • 02 ảnh cỡ 4x6 cm và 02 phong bì đã dán sẵn tem và ghi rõ địa chỉ liên lạc của thí sinh.


Đối với thí sinh tự do đã tốt nghiệp THPT năm trước hồ sơ ĐKDT THPT QG bao gồm:

  • 02 Phiếu đăng ký dự thi giống nhau;
  • Bằng tốt nghiệp THPT hoặc trung cấp (bản sao);
  • 02 ảnh cỡ 4x6 cm và 02 phong bì đã dán sẵn tem và ghi rõ địa chỉ liên lạc của thí sinh.
  • Giấy tờ chứng nhận ưu tiên (nếu có)

Hướng dẫn ghi phiếu đăng ký dự thi Kỳ thi THPT quốc gia như sau: 
Mục SỞ GDĐT……… MÃ SỞ: Thí sinh đăng ký tại đơn vị đăng ký dự thi thuộc sở nào thì ghi tên sở đó vào vị tri trống …..., sau đó điền 2 chữ số biểu thị mã sở vào 2 ô trống tiếp theo, mã sở GDĐT do Bộ GDĐT quy định.
Mục 1, 2: Ghi theo hướng dẫn trên phiếu ĐKDT
Mục 3: a) Nơi sinh của thí sinh chỉ cần ghi rõ tên tỉnh hoặc thành phố, nếu sinh ở nước ngoài thí sinh cần ghi rõ thêm tên quốc gia (theo tiếng Việt Nam). b) Dân tộc ghi đúng theo giấy khai sinh.
Mục 4: Đối với chứng minh thư mẫu cũ, ghi 9 chữ số vào 9 ô cuối bên phải, ba ô đầu để trống; đối với chứng minh thư mẫu mới, ghi đủ 12 chữ số.
Mục 5: Cần ghi đúng mã tỉnh (thành phố), mã huyện (quận), nơi thí sinh có hộ khẩu thường trú vào các ô tương ứng ở bên phải. Đối với thí sinh được hưởng ưu tiên xét tốt nghiệp hoặc xét tuyển đại học, cao đẳng theo hộ khẩu thường trú tại các xã đặc biệt khó khăn theo quy định cần khai thêm mã xã (phường). Mã tỉnh (thành phố), mã huyện (quận), mã xã (phường) sẽ do Bộ GDĐT quy định. Sau khi điền đủ các mã đơn vị hành chính, thí sinh ghi rõ tên tỉnh (thành phố), huyện (quận), xã (phường) vào dòng trống.
Mục 6: Ghi tên trường và địa chỉ đến huyện (quận), tỉnh (thành phố) của trường vào dòng kẻ chấm. Ghi mã tỉnh nơi trường đóng vào 2 ô đầu, ghi mã trường vào 3 ô tiếp theo (mã trường ghi theo quy định của Sở GDĐT, nếu mã trường có 1 chữ số thì 2 ô đầu tiên ghi số 0, nếu mã trường có 2 chữ số thì ô đầu tiên ghi số 0).
Mục 7: Ghi rõ điện thoại, email (nếu có).
Mục 8: Thí sinh phải ghi rõ họ tên người liên hệ, địa chỉ chi tiết: xóm (số nhà), thôn (đường phố, ngõ ngách), xã (phường), huyện (quận), tỉnh (thành phố).
Mục 9: Thí sinh đăng ký dự thi với mục đích chỉ lấy kết quả để xét tốt nghiệp THPT, chỉ lấy kết quả xét tuyển vào đại học, cao đẳng hoặc cả hai mục đích. Thí sinh đăng ký dự thi với mục đích nào thì đánh dấu “X” vào ô tương ứng; nếu thí sinh dự thi với cảc hai mục đích thì đánh dấu vào cả hai ô.
Mục 10: Thí sinh đăng ký dự thi tại cụm thi nào thì ghi tên cụm thi và mã cụm thi do Bộ GDĐT quy định vào vị trí tương ứng.
Mục 11: Học sinh đang học lớp 12 THPT tại trường nào thì nộp hồ sơ ĐKDT tại trường đó. Các đối tượng khác nộp hồ sơ ĐKDT tại các địa điểm do Sở GDĐT quy định. Mã đơn vị ĐKDT ghi theo hướng dẫn của nơi thu hồ sơ.
Mục 12: Tất cả các thí sinh đăng ký dự thi để xét công nhận tốt nghiệp THPT và tuyển sinh đại học, cao đẳng đều phải đăng ký môn thi ở mục này, thí sinh đăng ký dự thi môn nào thì đánh dấu “X” vào ô môn thi tương ứng, riêng đối với môn Ngoại ngữ thí sinh điền mã số tương ứng với ngôn ngữ cụ thể như sau: 
N1 – Tiếng Anh; N2 – Tiếng Nga; N3 – Tiếng Pháp; N4 – Tiếng Trung Quốc; N5 – Tiếng Đức; N6 – Tiếng Nhật.
Mục 13: Thí sinh đánh dấu “X” vào 4 môn dùng để xét tốt nghiệp THPT (bao gồm các môn bắt buộc và môn tự chọn).
Mục 14: Đối với thí sinh xin miễn thi ngoại ngữ, cần ghi rõ loại chứng chỉ đủ điều kiện miễn thi hoặc ghi rõ là thành viên đội tuyển quốc gia dự thi Olympic quốc tế môn ngoại ngữ theo quy định tại Công văn số: 6031/BGDĐT-KTKĐCLGD ngày 23 tháng 10 năm 2014 của Bộ GDĐT về việc điều chỉnh, bổ sung miễn thi môn ngoại ngữ trong xét công nhận tốt nghiệp THPT năm 2015.
Mục 15: Thí sinh đã dự thi THPT những năm trước, nếu có những môn thi đủ điều kiện bảo lưu theo quy định, thí sinh muốn bảo lưu môn nào thì ghi điểm môn đó vào ô tương ứng.
Mục 16: Thí sinh tự xác định đối tượng ưu tiên, ghi đúng ký hiệu các đối tượng ưu tiên theo quy định của quy chế tuyển sinh ĐH, CĐ hệ chính quy. Nếu khai man sẽ bị xử lý theo các quy định hiện hành. Thí sinh thuộc diện ưu tiên phải nộp đủ giấy chứng nhận hợp pháp (bản sao) kèm theo phiếu đăng ký xét tuyển khi đăng ký xét tuyển vào các trường đại học, cao đẳng.
Mục 17: Đối với thí sinh dự thi có mục đích xét tuyển ĐH, CĐ cần ghi mã khu vực vào ô trống như sau: Khu vực 1 (KV1) điền chữ số 1, Khu vực 2 (KV2) điền chữ số 2, Khu vực 3 (KV3) điền chữ số 3, Khu vực 2 nông thôn (KV2-NT) điền 2NT. Trong 3 năm học THPT hoặc tương đương, học ở đâu lâu hơn hưởng ưu tiên khu vực ở đó. Nếu mỗi năm học một trường hoặc nửa thời gian học ở trường này, nửa thời gian học ở trường kia thì tốt nghiệp THPT ở đâu hưởng ưu tiên khu vực tại đó. Đối với thí sinh được ưu tiên theo hộ khẩu thường trú, căn cứ vào quy định của quy chế tuyển sinh và hướng dẫn của Bộ GDĐT để ghi cho đúng khu vực ưu tiên được hưởng.
Mục 18: Ghi theo hướng dẫn trên phiếu ĐKDT.
Mục 19: Đối với thí sinh thi với mục đích lấy kết quả để xét học liên thông lên cao đẳng, đại học cần đánh dấu “X” vào ô đã tốt nghiệp ở bậc học nảo tương ứng: Đã tốt nghiệp trung cấp (TC) hoặc Đã tốt nghiệp cao đẳng (CĐ)
Lưu ý:
- Thí sinh phải ghi đầy đủ, rõ ràng, sạch sẽ vào các mục theo yêu cầu và không sửa chữa, tẩy xoá.
- Nếu là số, ghi bằng chữ số Ả rập (0, 1, 2, 3,…), không ghi bằng chữ số La mã (I, II, III,…).

Tích phân trong các đề thi đại học và tốt nghiệp THPT từ 2002 đến 2014. Download file PDF.