đáp án đề thi đại học môn toán khối A năm 2013, dap an de thi mon hoa khoi A nam 2013, dap an de thi mon toan khoi b nam 2013, dap an de thi mon ly khoi A nam 2013

You are here: Home »

Like VNMATH on FACEBOOK để ủng hộ VNMATH.

[VNMATH.COM] - Câu chuyện về một nhà toán học thành công, giám đôc quỹ đầu tư tài ba và nhà từ thiện hào phóng.

James Harris Simons
 sinh năm 1938 trong một gia đình Do thái ở Brookline, Massachusetts, Hoa Kỳ.

Nhà Toán học thành công

James H. Simons nhận bằng cử nhân Toán học tại MIT vào năm 1958 và nhận bằng Tiến sĩ tại UC Berkeley vào năm 1961, lúc ấy mới 23.
Jame Simons. Ảnh: Beatrice de Gea 
Ông đã từng giảng dạy tại MIT và Harvard trước khi tham gia vào Cục An ninh Quốc gia (National Security Agency) và  viện Phân tích Quốc phòng (Institute for Defense Analyses) vào năm 1964. Năm 1968, ông chuyển tới SUNY Stonybrook làm trưởng khoa Toán.

Năm 1974, trong công trình với Shiing-Shen Chern, Simon  tạo nên một bước đột phá lớn trong lý thuyết trường lượng tử ba chiều bằng việc xây dượng cụ thể một dạng vi phân đặc biệt. Cống hiến đó hiện nay được gọi là lý thuyết Chern-Simons. Năm 1976, ông thắng Oswald Veblen Prize, giải thưởng danh giá nhất trong hình học.

Nhà đầu tư tài ba

Năm 1982, TS. Simons thành lập Renaissance Technologies, một công ty quỹ đầu tư. Qũy này tập trung vào thi trường ngoại tệ và các loại chứng khoán thuộc nghành khoáng sản. Ông đã dùng các mô hình toán học để phân tích và tiến hành các giao dịch trên thị trường khắp thế giới. Renaissance Technologies tuyển nhiều chuyên gia toán học, vật lí, xử lí tín hiệu và thống kê, đó là bí quyết góp phần tạo nên thành công lớn của nó.
Chẳng hạn, ông mời đồng nghiệp cũ tại Viện Phân tích Quốc phòng là Leonard Baum, đồng tác giả Thuật toán Baum-Welch dùng trong phân tích sinh học, tính toán thống kê nhưng áp dụng nó vào kinh doanh ngoại tệ và thu được thành công. Hay họ tạo phần mềm cho phép dự báo trước cấc thay đổi trên thị trường chứng khoán. Điều này giúp J. Simons tránh được yếu tố con người khi chơi chứng khoán. Cho đến nay, hệ thống kinh doanh của ông không thông qua các nhà môi giới mà chỉ thực hiện hợp đồng thông qua các thuật toán cơ bản.
“Chúng tôi thuê các nhà vật lý, các nhà toán học, các nhà thiên văn học và các chuyên gia thông tin. Họ hoàn toàn không hiểu về tài chính nhưng lại lập trình rất giỏi trên máy vi tính” – Simons nói như thế về các công sự của mình.

Giờ đây, chỉ riêng văn phòng của Renaissance Technologies ở New York có khảng 200 nhân viên, mà 1/3 trong số đó có bằng tiến sĩ. Các quỹ do Renaissance Technogogies điều hành trị giá khoảng 15 tỉ USD.  Với giá trị tài sản khoảng 12.5 tỉ đô la Mỹ, ông là người giàu thứ 93 trên thế giới năm 2013 theo tạp chí Forbes.

Nhà từ thiện hào phóng ...

Jame Simons và vợ Marilyn.
Năm 1994, ông và vợ Marilyn Simons đồng sáng lập Simons Foundation để hỗ trợ các nghiên cứu khoa học, giáo dục và sưc khỏe. Ông cũng đóng góp lớn cho các dịch vụ chăm sóc sức khỏe dành cho người Nepal thông qua Nick Simons Institute, viện này nhằm tưởng nhớ người con trai Nick Simons của ông đã làm việc ở Nepal. Gần đây ông thành lập quỹ " Math for America" để nâng cao việc giảng dạy toán trong các trường công. Các quỹ của họ đã chi hơn một tỷ đô la để hỗ trợ cho khoa học và toán học.

... và bi kịch

Giàu có nhưng cuộc sống riêng của James Simons lại không mấy êm đềm. Ông có hai đời vợ và 5 người con, nhưng hạnh phúc không trọn vẹn. Năm 1996, người con trai cả - Paul, ki 34 tuổi đang đạp xe đạp dạo chơi thì bị xe hơi đâm chết. Năm 2003, một người con trai khác – Nick, bị chết đuối ở Bali, Indonesia khi mới 24 tuổi.

Trở về với Toán học

Tiến sĩ Simons cho biết ông đã bắt đầu suy nghĩ rất nhiều về câu đố toán học cũ. "Đó là một nơi ẩn náu", ông nói, "một nơi yên tĩnh trong đầu tôi."

Năm 2007, cùng với Dennis P. Sullivan ở Đại học Stony Brook ông đã viết bài báo toán học với tiêu đề “Axiomatic Characterization of Ordinary Differential Cohomology.

Năm 2013, để kỉ niệm 75 năm ngày sinh của Simons, bốn nhà toán học uy tín của Mỹ đã giảng các bài giảng về các lĩnh vực thuộc chuyên môn của ông trước đây.



Năm 2014, tại Seoul, ông đã nói về cuộc đời của mình trong Bài giảng đại chúng tại Đại hội Toán học thế giới.

Trong một phỏng vấn gần đây với tờ New York Times, ông phát biểu " Tôi không phải là người nhanh nhất tren thế giới. Tôi đã không giỏi ở các cuộc thi toán hay Olympic toán. Nhưng tôi thích suy nghĩ.  Và suy nghĩ về điều gì đó, chỉ suy nghĩ về nó sẽ biến thành một hướng tiếp cận tốt."

Tham khảo
[1] James Harris Simons, Wikipedia
[2]  Bài giảng đại chúng "My Life in Mathematics" của James H. Simons tại ICM 2014
[3] A Billionaire Mathematician’s Life of Ferocious Curiosity, New York Times
[4] James Simons - Mathematics, Common Sense, and Good Luck: My Life and Careers, Youtube

Đề thi môn Toán vào lớp Kĩ sư tài năng và Kĩ sư chất lượng cao của Đại học Bách Khoa Hà Nội năm 2014.

Câu I (2đ). Tìm $m$ để phương trình sau có nghiệm: $$m-\sqrt{9-x}-\sqrt{9+x}+\sqrt{81-x^2}=0.$$

Câu II (1,5đ). Tính đạo hàm cấp 2014 tại $x=0$ của hàm số $y=\sin x \sin 2x \sin 3x$

Câu III (2đ). Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ hình thang và $$SA=SB=SC=AD=2a, AB=BC=CD=a$$
a) Tính theo $a$ thể tích của khối chóp $S.ABCD$

b) Mặt phẳng $(\alpha)$ qua $BC$ tại với đáy một góc $30^0$. Tính theo $a$ diện tích thiết diện của hình chóp $S.ABCD$ khi cắt bởi mặt phẳng $(\alpha).$

Câu IV (1,5đ). Tìm tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y=\sqrt{x^2-2x-3}+\sqrt{2x^2+8x+15}$

Câu V (2đ). Chứng minh $$\int_{-2014\pi}^{2014 \pi} \frac{\sin^{2014}x}{1+2014^x}dx<1007 \pi.$$

Câu VI (1đ). Cho mảnh đất hình vuông kích thước $10m\times 10m$ và những viên gạch chữ T như hình bên dưới (gồm 4 ô vuông $1m\times 1m$) . Hỏi có thể lát kín mảnh đất bằng 25 viên gạch hay không? Vì sao?

Đề thi môn Vật lí vào lớp Kĩ sư tài năng và Kĩ sư chất lượng cao của Đại học Bách Khoa Hà Nội năm 2014.

Tiếp theo phần 1
1. Bất đẳng thức AM-GM
\displaystyle\frac{x_1+\dots+x_n}n\ge\sqrt[n]{x_1\dots x_n}
với mọi số không âm x_1,\dots,x_n. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x_1=\dots=x_n.

Điều này tương đương với đa thức
\displaystyle P(z_1,\dots,z_n)=\frac{z_1^{2n} + z_2^{2n} +\dots+z_n^{2n}}n -z_1^2\dots z_n^2
được phân tích thành tổng các bình phương. Ở đây ta thay x_i bởi y_i^2, để bỏ đi điều kiện  x_i không âm.

Một phân tích như vậy được đưa ra bởi Hurwitz vào năm 1891,trong bài báo Über den Vergleich des arithmetischen und des geometrischen Mittels, có thể tìm đọc trong Math. Werke, 505-507, Basel, E. Berkhäuser, 1933.
Để bieur diễn được đẹp mắt hơn, ta đưa ra một số kí hiệu. Cho hàm số f(z_1,\dots,z_n), ta viết{\mathcal P}f(z_1,\dots,z_n) cho kết quả của việc cọng thêm tất cả các biểu thức dạng  f(z_{i_1},\dots,z_{i_n}) với tất cả các hoán vị của bộ (i_1,\dots,i_n) các chỉ số (1,\dots,n) (có n! khả năng như vậy).
Chẳng hạn, {\mathcal P}z_1=(n-1)!(z_1+\dots+z_n) và {\mathcal P}(z_1\dots z_n)=n!z_1\dots z_n.
Ta viết
\phi_k(z_1,\dots,z_n) ={\mathcal P} ((z_1^{n-k}-z_2^{n-k}) (z_1-z_2)z_3 z_4\dots z_{k+1})
với k=1,\dots,n-1
f_k=\phi_k(z_1^2,\dots,z_n^2).
Lư ý rằng mỗi f_k không âm, vì (z_1^{n-k}-z_2^{n-k})(z_1-z_2)z_3 z_4\dots z_{k+1}=
\displaystyle (z_1-z_2)^2\left(\sum_{j=0}^{n-k-1}z_1^{n-k-1-j}z_2^j\right)z_3\dots z_{k+1}.
Khi đó
\displaystyle P(z_1,\dots,z_n)=\frac1{2(n!)}\sum_{k=1}^{n-1}f_k.
Dấu bằng xảy ra nếu z_i bằng nhau tất cả.
Ví dụ,
\displaystyle \frac{x_1^2+x_2^2}2-x_1x_2=\frac12(x_1-x_2)^2,
\displaystyle \frac{x_1^3+x_2^3+x_3^3}3-x_1x_2x_3=\frac16((x_1-x_2)^2x_3+(x_2-x_3)^2x_1 \displaystyle +(x_3-x_1)^2x_2+(x_1-x_2)^2(x_1+x_2) \displaystyle +(x_1-x_3)^2(x_1+x_3) +(x_2-x_3)^2(x_2+x_3)),
\displaystyle \frac{x_1^4+x_2^4+x_3^4+x_4^4}4-x_1x_2x_3x_4=\frac{(x_1^2-x_2^2)^2+(x_3^2-x_4^2)^2}4 \displaystyle +\frac{(x_1x_2-x_3x_4)^2}2.
2. Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz
\displaystyle \sum_{i=1}^n x_iy_i\le\sqrt{\left(\sum_{i=1}^n x_i^2\right)\left(\sum_{i=1}^n y_i^2\right)},
Dấu bằng xảy ra khi bộ n số  (x_1,\dots,x_n)  và  (y_1,\dots,y_n) tỉ lệ. Chứng minh hay gặp của nó là dùng định thức của đa thức bậc hai không âm. Dạng đơn giản hơn của nó là |\vec x\cdot\vec y|\le|\vec x||\vec y| với \vec x,\vec y là các vector bất kì trong {\mathbb R}^n và \cdot là tích vô hướng thông thường. Đặt
\displaystyle P(\vec x,\vec y)=\left(\sum_{i=1}^n x_i^2\right) \left(\sum_{i=1}^n y_i^2\right)-\left(\sum_{i=1}^n x_iy_i\right)^2,
bất đẳng thức tương đương với đa thức Pkhông âm, và có thể chứng minh bằng cách phân tích nó thành tổng các bình phương. Hằng đẳng thức Lagrange
\displaystyle P(x_1,\dots,x_n,y_1,\dots,y_n)=\sum_{1\le i<j\le n}(x_iy_j-x_jy_i)^2,
cho ta kết quả mong muốn.

3. Bất đẳng thức Young
Nếu $p$ và $q$ là các số hữu tỉ dương sao cho $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$, thì với mọi số dương $x$ và $y$ ta có $$\frac{x^p}p + \frac{y^q}q \ge xy.$$

Vì $\frac1p + \frac1q = 1$,ta có thể viết $p = \frac{m+n}m$, $q = \frac{m+n}n$ trong đó $m$ và $n$ là các số nguyên dương. Ta viết $x = a^{1/p}$, $y = b^{1/q}$. Khi đó $$\frac{x^p}p + \frac{y^q}q = \frac a{\frac{m+n}m} + \frac b{\frac{m+n}n} = \frac{ma + nb}{m + n}.$$

Theo bất đẳng thức AM-GM, $$\frac{ma + nb}{m + n} \ge (a^m \cdot b^n)^{\frac1{m+n}} = a^{\frac1p} b^{\frac1q} = xy,$$ và do đó $$\frac{x^p}p + \frac{y^q}q \ge xy.$$
Chứng minh này xuất hiện trong cuốn Mathematical Toolchest xuất bản năm 2004 bởi  Australian Mathematics Trust.

4. Bất đẳng thức Minkowski: Với các số không âm x_i,y_i, ta có
\displaystyle \left(\prod_{i=1}^n(x_i+y_i)\right)^{1/n}\ge\left(\prod_{i=1}^n x_i\right)^{1/n}+\left(\prod_{i=1}^n y_i\right)^{1/n}.
Ta cần chứng minh đa thức sau không âm
\displaystyle P(x_1,\dots,x_n,y_1,\dots,y_n) \displaystyle =\prod_{i=1}^n(x_i^{2n}+y_i^{2n})-\left(\prod_{i=1}^n x_i^2+\prod_{i=1}^n y_i^2\right)^n.
Bạn đọc tự tìm hiểu.
Còn nữa...

Khi nghiên cứu cực trị địa phương của các hàm nhiều biến, ví dụ quen thuộc là xét hàm đa thức
$P(x,y)=x^2+3xy+3y^2-6x+3y-6.$
Ta có $P_x=2x+3y-6$ và $P_y=3x+6y+3$, nên điểm dừng của $P$ là $(15,-8).$ Vì $'P_{xx}=2$ và Hessian của $P$ bằng $2\times 6-3^2=3>0$, nên $'(15,-8)$ là điểm cực tiểu của $P$, giá trị cực tiểu bằng $P(15,-8)=-63.$
$P$ là đa thức, người ta hy vọng có một giả thíc đại số tại sao $-63$ là cực tiểu của nó và tại sao lại đạt được tại $(15,-8)$. Đối với hàm một biến: Nếu $p(x)=ax^2+bx+c$ và $a>0$ thì
$\displaystyle p(x)=a\left(x+\frac b{2a}\right)^2+\frac{4ac-b^2}{4a},$
 do đó $p$ đạt cực tiểu tại $x=-b/2a$,và giá trị cực tiểu là $(4ac-b^2)/4a.$
Đa thức P ở trên cũng có thể biểu diễn theo cách này. Một chút tính toán đại số cho ta
$\displaystyle P(x,y)=\left(x-3+\frac32 y\right)^2+3\left(\frac y2+4\right)^2-63,$>
và giá trị nhỏ nhất của $P(x,y)$ là $-63$, đạt được khi $x-3+3y/2=0$ và $4+y/2=0$, tức là tại $(15,-8)$.
(Ta có thể giải thích phân tích của $P$ ở trên bằng một thuật toán, nhưng ta tạm bỏ qua.)

Phân tích ở trên của  $P$ không chỉ là một sự trùng hợp. Bài toán thứ 17 trong 23 bài toán của Hilbert tại Đại hội Toán học Thế giới lần 2 ở Paris, 1900 phát biểu rằng liệu mọi đa thức với hệ số thực P(x_1,\dots,x_n) không âm với mọi giá trị  x_1,\dots,x_n là tổng các bình phương (gọi tắc là SOS) của các hàm số hữu tỉ. (Một hàm số hữu tỉ là thương của các đa thức.) Một đa thức như trên thường được gọi là xác định dương .

Nếu bài toán của Hilbert cho câu trả lời khẳng định, nó sẽ cho một lời giải thích rõ ràng tại sao P không âm. Chính Hilbert chứng minh rằng một đa thức không âm P là tổng các bình phương của các đa thức khi thuộc một trong các trường hopwj sau đây:
  • Plà đa thức một biến,
  • P là đa thức bậc hai n biến,
  • P là đa thức bậc bốn hai biến.
Emil Artin đã giải bài toán Hilbert vào năm 1927 với câu trả lời khẳng định. Kết quả mạnh hơn, P là tổng các bình phương của các đa thức thật đáng tiếc là không đúng trong trường hợp tổng quát. Sau đây là một phản thí dụ:
Q(x,y,z)=z^6+x^4y^2+x^2y^4-3x^2y^2z^2.
Đa thức này không âm theo bất đẳng thức AM-GM (xem ví dụ 1 bên dưới). Đa thức này xuất hiện trong bài báo của Marie-Francoise Roy, The role of Hilbert’s problems in real algebraic geometry, ở tạp chí Proceedings of the ninth EWM Meeting, Loccum, Germany 1999, và ta có thể chứng minh rằng nó không phảo là tổng bình phương của các đa thức bằng thuật toán được giới thiệu bên dưới.

Mặc dù Hilbert đã biết một số đa thức không âm P không là tổng bình phương các đa thức nhưng ví dụ tường minh đầu tiên cho thấy một đa thức như vậy thuộc về nhà logic học Rafael Robinson trong bài báo Some definite polynomials which are not sums of squares of real polynomials, in Selected questions of algebra and logic(collection dedicated to the memory of A. I. Malcev) (Tiếng Nga), pp. 264-282, Izdat.‘‘Nauka’’ Sibirsk.Otdel.,Novosibirsk, 1973.

Ta trích dẫn bình luận trên Mathscinet của W. Ellison:
Chìa khóa của vấn đề là bổ đề sau: Một đa thức f(x, y) có bậc tối đa bằng 3 triệt tiêu tại 8 trong 9 điểm (x, y) với x, y\in\{-1,0,1\} phải triệt tiêu tại điểm thứ 9.
Đa thức f(x, y) =x^2(x^2-1)^2+y^2(y^2-1)^2 triệt tiêu tại 9 điểm này và ta có thể tìm một đươngc cong bậc 6 g(x, y) = 0 không đi qua (0,0), nhưng triệt tiêu tại 8 điểm còn lại ví dụ như g(x, y)=(x^2-1)(y^2-1)(x^2+y^2+1). Hàm g(x, y)/f(x, y) bị chặn trên trên mặt phẳng (x, y) plane. Do đó với  \alpha >0 thích hopwj (thật ra ta có thể chọn  \alpha= 1) ta có S_\alpha(x,y)=f(x,y)-\alpha g(x,y) xác định dương và S_\alpha(0,0)\ne0. Rõ ràng ta không thể có S_{\alpha} (x,y)=\sum f_r^2 (x,y) với f_r, là các đa thức hệ số thực, với bậc cao nhất bằng 3 và nó sẽ triệt tiêu tại (0,0), vì nó triệt tiêu tại 8 điểm khác.
Hơn nữa còn có một thuật toán cho vấn đề này, cho một đa thức không âm, có hay không một biểu diễn thành tổng các bình phương và nếu có, hãy tìm nó. Đây là kết quả chính của bài báo An algorithm for sums of squares of real polynomials, của Victoria Powers và Thorsten Woermann, J. Pure and Appl. Alg. 127 (1998), 99-104. (Bài báo này có tại trang web của Powers)

Nhiều bất đẳng thức thường gặp trong giải tích có thể chứng minh một cách hiệu quả dựa vào các đa thức không âm. Mời các bạn đón xem trong phần sau.

Còn nữa...